2026届广西桂林、贺州、崇左三市高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届广西桂林、贺州、崇左三市高三第二次调研数学试卷含解析，共18页。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．是恒成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )
A．国防大学，研究生B．国防大学，博士
C．军事科学院，学士D．国防科技大学，研究生
3．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（ ）
A．2B．C．D．
7．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
9．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，为虚数单位，且，则=_____.
14．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.
15．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________.
16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为（单位：瓶）时，的数学期望的取值范围？
18．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由.
19．（12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时，湖北省累计接收捐赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？
20．（12分）设函数.
（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，，，求证：当时，．
21．（12分）设函数，，
（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
22．（10分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
设 成立；反之，满足 ，但，故选A.
2、C
【解析】
根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.
【详解】
由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；
则丙来自军事科学院；
由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；
由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，
故丙为学士.
综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.
故选：C.
【点睛】
本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.
3、B
【解析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】
可能的取值为；可能的取值为，
，，，
故，.
，，
故，,
故，.故选B.
【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
4、A
【解析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
【详解】
解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.
5、B
【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，
在中，，化为，
，
，
当且仅当时取等号，此时.
故选：B.
【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
6、D
【解析】
选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．
【详解】
由题意是的重心，
，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．
7、D
【解析】
利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.
【详解】
取的中点，则由得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，所以，
解得，
故选：D
【点睛】
本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.
8、C
【解析】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．
【详解】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积，高，
故体积，
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
9、A
【解析】
化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。
【详解】
函数可化为：，
将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，
所以，解得：，即：，
又，所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。
10、B
【解析】
分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.
详解： 记执行第次循环时，的值记为有，则有；
记执行第次循环时，的值记为有，则有.
令，则有，故
，故选B.
点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.
11、D
【解析】
根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据
，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，与为函数的“线性对称点”，
所以，
故（当且仅当时取等号）.
又与为函数的“线性对称点，
所以，
所以，
从而的最大值为.
故选:D.
【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.
12、B
【解析】
奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可.
【详解】
A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误；
B：定义域关于原点对称，且
满足奇函数，又，所以在上，正确；
C：定义域关于原点对称，且
满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误；
D：定义域关于原点对称，且，
满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误；
故选：B
【点睛】
此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
解：利用复数相等，可知由有．
14、
【解析】
画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．
【详解】
函数的图象如图所示：
因为方程有且只有两个不相等的实数根，
所以图象与直线有且只有两个交点即可，
当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．
15、
【解析】
由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.
【详解】
设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图
则，所以，，解得，
所以，，，
由，得，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.
16、
【解析】
设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解
【详解】
设圆柱的轴截面的边长为x，
则由，得，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）X的可能取值为300,500,600，结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；
（2）由题意得，分，及，分别得到y与n的函数关系式，得到对应的分布列，分析即得解.
【详解】
（1）由题意：X的可能取值为300,500,600

故：六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列为
（2）由题意得.
1°.当时，
利润
此时利润的分布列为
.
2.时，
利润
此时利润的分布列为
.
综上的数学期望的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18、（1）（2）是定值，详见解析
【解析】
（1）根据长轴长为，离心率，则有求解.
（2）设，则，直线，令得，，则，直线，令，得，则，再根据求解.
【详解】
（1）依题意得，
解得，
则椭圆的方程.
（2）设，则，
直线，
令得，，
则，
直线，
令，得，
则，
.
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.
19、每天派出A型卡车辆，派出B型卡车辆，运输队所花成本最低
【解析】
设每天派出A型卡车辆，则派出B型卡车辆，由题意列出约束条件，作出可行域，求出使目标函数取最小值的整数解，即可得解.
【详解】
设每天派出A型卡车辆，则派出B型卡车辆，运输队所花成本为元，
由题意可知，，
整理得，
目标函数，
如图所示，为不等式组表示的可行域，
由图可知，当直线经过点时，最小，
解方程组，解得，，
然而，故点不是最优解.
因此在可行域的整点中，点使得取最小值，
即，
故每天派出A型卡车辆，派出B型卡车辆，运输队所花成本最低.
【点睛】
本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题，考查了数形结合的思想，解题关键在于列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，同时注意整点的选取，属于中档题.
20、（1）（2）见解析
【解析】
(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），时，，
，
∵在上单调递减．
∴，．
令，
，
时，；时，，
∴在上为减函数，在上为增函数．
∴，∴．
∴的取值范围为．
（2）若，，时，，
，
令，显然在上为增函数．
又，，∴有唯一零点．
且，时，，；
时，，，
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴．
又，∴，，．
∴
．
，．
∴当时，．
【点睛】
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
21、（1）（2）
【解析】
分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.
详解：（Ⅰ）当，. ，
当，， 所以切线方程为.
（Ⅱ）,
,因为，所以.
令，，则在单调递减，
因为，所以在上增，在单调递增.
,,
因为，所以在区间上的值域为.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.
22、（1）答案见解析．（2）
【解析】
（1）根据题意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.
（2）以为原点建立直角坐标系，求出面的法向量为，的法向量为，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】
（1）由
由
因为是正四棱锥，故
于是，
由余弦定理，在中，设
再用余弦定理，在中，
∴是直角，
同理，而在平面上，
∴平面平面
（2）以为原点建立直角坐标系，如图：
则
设面的法向量为，的法向量为
则
，取
于是，二面角的余弦值为：
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.
最高气温
天数
4
14
36
27
6
3
300
500
600