2026届广东顺德华侨中学高考冲刺模拟数学试题含解析

这是一份2026届广东顺德华侨中学高考冲刺模拟数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列中，，，则数列前6项和为（）
A．18B．24C．36D．72
3．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
4．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．已知函数在上单调递增，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
6．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．5
9．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（ ）
A．B．4C．5D．
10．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
11．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________ .
14．数列满足，则，_____.若存在n∈N*使得成立，则实数λ的最小值为______
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
16．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在平面四边形中，，，.
（1）求；
（2）求四边形面积的最大值.
18．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.
（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；
（2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率.
19．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）证明：
20．（12分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
（Ⅰ）解不等式f(x)>1；
（Ⅱ）当x>0时，若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围．
21．（12分）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
22．（10分）已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
求出集合，然后进行并集的运算即可.
【详解】
∵，，
∴.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
2、C
【解析】
由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
∵等差数列中，，∴，即，
∴，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.
3、B
【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.
【详解】
，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真.
故选:B.

【点睛】
本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.
4、C
【解析】
模拟程序的运行即可求出答案．
【详解】
解：模拟程序的运行，可得：
p＝1，
S＝1，输出S的值为1，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，
此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，
故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查程序框图，属于基础题．
5、B
【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.
【详解】
由,可得,
时,,而,
又在上单调递增,且,
所以,则,即,故.
故选:B.
【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
6、D
【解析】
先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解.
【详解】
,
将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
,
再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为
,
，
可得函数图象的一个对称中心为，故选D.
【点睛】
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
7、D
【解析】
圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．
【详解】
圆的圆心为，
由题意可得，即，，，
则，当且仅当且即时取等号，
故选：．
【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
8、B
【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.
【详解】
.选B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.
9、D
【解析】
由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出 的值.
【详解】
解：，即
，即.
，则.
，解得.
，
故选:D.
【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角 的正弦值余弦值.
10、B
【解析】
根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】
因为终边上有一点，所以，
故选：B
【点睛】
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
11、D
【解析】
先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.
【详解】
由已知得，则.
因为，数列是单调递增数列，
所以，则，
化简得，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.
12、C
【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28不在同一组的概率.
故选：C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、7
【解析】
根据题意，当时，，可得，进而得数列为等比数列，再计算可得，进而可得结论.
【详解】
由题意，当时，，又，解得，
当时，由，
所以，，即，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
又，，
所以，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了数列递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，计算得是解决本题的关键，属于中档题.
14、
【解析】
利用“退一作差法”求得数列的通项公式，将不等式分离常数，利用商比较法求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.
【详解】
当时
两式相减得
所以
当时，满足上式
综上所述
存在使得成立的充要条件为存在使得，
设，所以，即，
所以单调递增，的最小项，即有的最小值为.
故答案为：(1). (2).
【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题.
15、130. 15.
【解析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】
(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】
本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
16、
【解析】
先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.
【详解】
由题意作出区域，如图中阴影部分所示，
易知，故 ，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.
【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据同角三角函数式可求得，结合正弦和角公式求得，即可求得，进而由三角函数
（2）设根据余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大值，即可求得四边形面积的最大值.
【详解】
（1），
则由同角三角函数关系式可得，
则
，
则，
所以.
（2）设
在中由余弦定理可得，代入可得
，
由基本不等式可知，
即，当且仅当时取等号，
由三角形面积公式可得
，
所以四边形面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.
18、（1）;（2）从而的分布列为
;（3）.
【解析】
（1）运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；（2）借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解：
（1）记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件，则
，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.
（2）由题，知的可能取值分别为0，1，2
，
，
，
从而的分布列为
.
（3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为，所以，所以事件“”的概率为
.
19、（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；
（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.
【详解】
（Ⅰ）
则
当且仅当，即，时，
所以的最小值为．
（Ⅱ）要证明：，
只需证：，
即证明：，
由，
也即证明：．
因为，
所以当且仅当时，有，
即，当时等号成立．
所以
【点睛】
本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【解析】
（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集；（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得，，再由，求得的范围．
【详解】
（Ⅰ）当时，原不等式可化为，此时不成立；
当时，原不等式可化为，解得，即；
当时，原不等式可化为，解得.
综上，原不等式的解集是．
（Ⅱ）因为，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，所以．
所以，解得，故实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
21、横线处任填一个都可以，面积为．
【解析】
无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式，展开后，可求得角，再由余弦定理求得，从而易求得三角形面积．
【详解】
在横线上填写“”.
解：由正弦定理，得.
由，
得.
由，得.
所以.
又（若，则这与矛盾），
所以.
又，得.
由余弦定理及，
得，
即.将代入，解得.
所以.
在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得
.
又，
所以有.
因为，所以.
从而有.又，
所以
由余弦定理及，
得
即.将代入，
解得.
所以.
在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，
所以
由二倍角公式，得.
由，得，所以.
所以，即.
由余弦定理及，
得.
即.将代入，
解得.
所以.
【点睛】
本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积时，
①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
22、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）先连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，证明平面平面，得到点在底面上的投影必落在直线上，记为点在底面上的投影，连接，，得出即是直线与平面所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.
【详解】
（1）连接，因为等腰梯形中（如图1），，，
所以与平行且相等，即四边形为平行四边形；所以；
又为线段的中点，为中点，易得：四边形也为平行四边形，所以；
将四边形沿折起后，平行关系没有变化，仍有：，且，
所以翻折后四边形也为平行四边形；故；
因为平面，平面，
所以平面；
（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，
因为，，翻折前梯形的高为，
所以，则，；
所以；
又，，
所以，即，所以；
又，且平面，平面，
所以平面；因此，平面平面；
所以点在底面上的投影必落在直线上；
记为点在底面上的投影，连接，，
则平面；
所以即是直线与平面所成角，
因为，所以，
因此，，
故；
因为，
所以，
因此，故，
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.
0
1
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0
1
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