2026届广东肇庆市高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

这是一份2026届广东肇庆市高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析，共11页。试卷主要包含了已知，，则，在函数，设双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）.
A．432B．576C．696D．960
2．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )
A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个
D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
5．已知，复数，，且为实数，则（ ）
A．B．C．3D．-3
6．已知，，则（ ）
A．B．C．3D．4
7．已知函数，若曲线上始终存在两点，，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
9．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A．B．C．D．
10．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ）
A．4B．C．D．
12．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.
14．设复数满足,则_________.
15．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______．
16．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
18．（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下：
（1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人；
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；
（3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？
附：，.
19．（12分）在三棱柱中，，，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）设二面角的大小为，求的值.
20．（12分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．
21．（12分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.
（1）若，求直线AP与平面所成角；
（2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有，并证明你的结论.
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.
【详解】
首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；
根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为种.
故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.
2、A
【解析】
设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程.
【详解】
设，，其中，
，即
关于轴对称

故选：
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.
3、D
【解析】
根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.
【详解】
如图，
因为为等腰三角形，，
所以，,
，
又，
，
解得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.
4、D
【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.
【详解】
由绘制出的折线图知：
在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；
在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；
在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；
在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.
5、B
【解析】
把和 代入再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值．
【详解】
因为为实数，所以，解得.
【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力.
6、A
【解析】
根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
解得
则.
故选：A.
【点睛】
本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.
7、D
【解析】
根据中点在轴上，设出两点的坐标，，（）.对分成三类，利用则，列方程，化简后求得，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.
【详解】
根据条件可知，两点的横坐标互为相反数，不妨设，，（），若，则，由，所以，即，方程无解；若，显然不满足；若，则，由，即，即，因为，所以函数在上递减，在上递增，故在处取得极小值也即是最小值，所以函数在上的值域为，故.故选D.
【点睛】
本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.
8、A
【解析】
逐一考查所给的函数：
，该函数为偶函数，周期 ；
将函数 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.
本题选择A选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
9、A
【解析】
详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
10、C
【解析】
由题得，，又，联立解方程组即可得，，进而得出双曲线方程.
【详解】
由题得 ①
又该双曲线的一条渐近线方程为，且被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，
所以 ②
又 ③
由①②③可得：，，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.
11、D
【解析】
试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.
考点：线性规划.
12、C
【解析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：
由数据可知选C.
【点睛】
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.
【详解】
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;
因此共有种.
故答案为：
【点睛】
本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
14、.
【解析】
利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果.
【详解】
∵复数满足，
∴，∴，
故而可得，故答案为.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．
15、
【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.
【详解】
第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；
从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是，
没有被选中的概率是．
次传播是相互独立的，故为
故答案为：
【点睛】
本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.
16、
【解析】
由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为，由，解得，
.
所以，当时，取得最大值，
对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等差数列前项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)证明见解析；(2)60°.
【解析】
试题分析：
（1）连结PD，由题意可得,则AB⊥平面PDE，；
（2）法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为，故二面角的大小为；
法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量为．据此计算可得二面角的大小为.
试题解析：
（1）连结PD，PA=PB，PDAB．，BCAB，DEAB．
又，AB平面PDE，PE平面PDE，
∴ABPE．
（2）法一：
平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．
则DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,
过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，∠DFE为所求二面角的平面角，
则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为
法二：
平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0)，
=(1，0，)，=(0，，）．
设平面PBE的法向量，
令，得．
DE平面PAB，平面PAB的法向量为．
设二面角的大小为，由图知，，
所以即二面角的大小为.
18、（1）（万）（2）（3）填表见解析；有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关
【解析】
(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.
(2) 由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.
(3)计算的值,对照临界值表可得答案.
【详解】
（1）（万）
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”，则,.
（3）列联表如下
，
所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.
【点睛】
本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）要证明平面平面，只需证明平面即可；
（2）取的中点D，连接BD，以B为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为与平面的法向量为，利用夹角公式计算即可.
【详解】
（1）在中，，
所以，即.
因为，，，
所以.
所以，即.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由题意知，四边形为菱形，且，
则为正三角形，
取的中点D，连接BD，则.
以B为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则
，，，，.
设平面的法向量为，
且，.
由得取.
由四边形为菱形，得；
又平面，所以；
又，所以平面，
所以平面的法向量为.
所以.
故.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.
20、（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.
（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.
【详解】
（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，
当n＝2时，，解得a2＝0或，
而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；
（2）当p＝2时，①，则②，
②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，
④﹣③得（n∈N*），
又因为，所以数列{an}是等比数列，且；
（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，，，
满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；
必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，
所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1，
显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．
【点睛】
本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
21、（1）；（2）存在， Q为线段中点
【解析】
解法一：（1）作出平面与平面的交线，可证平面，计算，，得出，从而得出的大小；（2）证明平面，故而可得当Q为线段的中点时.
解法二，以为原点，以为建立空间直角坐标系：（1）由，利用空间向量的数量积可求线面角；（2）设上存在一定点Q，设此点的横坐标为，可得，由向量垂直，数量积等于零即可求解.
【详解】
（1）解法一：连接交于，
设与平面的公共点为，连接，
则平面平面，
四边形是正方形，，
平面，平面，
，又，
平面，
为直线AP与平面所成角，
平面，平面，平面平面，
，又为的中点，
，
，，
直线AP与平面所成角为.
（2）四边形正方形，
，
平面，平面，
，又,
平面，又平面，
，
当Q为线段中点时，对于任意的实数，都有.
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，，，
又由，，则为平面的一个法向量，
设直线AP与平面所成角为，
则，
故当时，直线AP与平面所成角为.
（2）若在上存在一定点Q，设此点的横坐标为，
则，，
依题意，对于任意的实数要使，
等价于，
即，解得，
即当Q为线段中点时，对于任意的实数，都有.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.
22、（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）
【解析】
（1）根据三角函数恒等变换可得， ，可得曲线的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；
（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；
法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；
【详解】
（1），
，即曲线的普通方程为，
依题意得曲线的普通方程为，
令，得曲线的极坐标方程为；
（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则
，，，异号
，
，，；
法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，
则，，，异号
，，.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.
来A城市发展的理由
人数
合计
自然环境
1.森林城市，空气清新
200
300
2.降水充足，气候怡人
100
人文环境
3.城市服务到位
150
700
4.创业氛围好
300
5.开放且包容
250
合计
1000
1000
自然环境
人文环境
合计
男
女
合计
P（）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
数学抽象
逻辑推理
数学建模
直观想象
数学运算
数据分析
甲
4
5
4
5
4
5
乙
3
4
3
3
5
4
自然环境
人文环境
合计
男
100
400
500
女
200
300
500
合计
300
700
1000