2026届广东省中山一中、潮阳一中等高考数学一模试卷含解析

这是一份2026届广东省中山一中、潮阳一中等高考数学一模试卷含解析，共19页。试卷主要包含了函数的定义域为等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率
A．B．
C．D．
3．已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
4．当时，函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（ ）
A．B．f（sin3）＜f（cs3）
C．D．f（2020）＞f（2019）
6．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的定义域为（ ）
A．或B．或
C．D．
8．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．20B．27C．54D．64
9．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是_____，_____．
14．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为_______．
15．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________．
16．已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；
（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．
附：，其中．
18．（12分）直线与抛物线相交于，两点，且，若，到轴距离的乘积为．
（1）求的方程；
（2）设点为抛物线的焦点，当面积最小时，求直线的方程．
19．（12分）设函数，
（1）当，，求不等式的解集；
（2）已知，，的最小值为1，求证：.
20．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.
22．（10分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知，若，，，求的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.
【详解】
，当时，，充分性；
当，取，验证成立，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
2、B
【解析】
设，则，，
因为，所以．若，则，所以，
所以，不符合题意，所以，则，
所以，所以，，设，则，
在中，易得，所以，解得（负值舍去），
所以椭圆的离心率．故选B．
3、A
【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知③错误；令，在和两种情况下知均无零点，知④正确.
【详解】
由题意得：定义域为，
，为奇函数，图象关于原点对称，①正确；
为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误；
，，不是最值，③错误；
令，
当时，，，，此时与无交点；
当时，，，，此时与无交点；
综上所述：与无交点，④正确.
故选：.
【点睛】
本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.
4、B
【解析】
由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
5、B
【解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.
【详解】
由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，
先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，
并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，
选项A，，
所以，选项A错误；
选项B，因为，所以，
所以f（sin3）＜f（﹣cs3），即f（sin3）＜f（cs3），选项B正确；
选项C，，
所以，即，
选项C错误；
选项D，，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.
6、B
【解析】
由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，
即，①.
因为，①式两边同除以，得.
所以方程有三个不等的正实根.
记，，则上述方程转化为.
即，所以或.
因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，.
当时，，在上单调递减，且时，.
所以当时，取最大值，当，有一根.
所以恰有两个不相等的实根，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
7、A
【解析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】
由题意可得，解得或.
因此，函数的定义域为或.
故选：A.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
8、B
【解析】
设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。
【详解】
设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，
设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：
故选：B
【点睛】
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。
9、C
【解析】
函数的定义域应满足
故选C.
10、C
【解析】
转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】
函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
【点睛】
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
11、A
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
12、C
【解析】
首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.
【详解】
设公差为d，由题知，
，
解得，，
所以数列为，
故.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数的共轭复数和的模．
【详解】
，则复数的共轭复数为，且.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．
14、
【解析】
由焦点坐标得从而可求出，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.
【详解】
解：因为一个焦点坐标为，则，即，解得或
由表示的是椭圆，则，所以，则椭圆方程为
所以.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略，从而未对 的两个值进行取舍.
15、2
【解析】
如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.
【详解】
由题得,.
因为.
所以,
过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,
设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，
所以|AE|=n-m，因为,
所以|AB|=3(n-m)，
所以3(n-m)=n+m，
所以.
所以.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16、
【解析】
作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解与点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立，解得点B坐标，即可求得答案.
【详解】
作出满足约束条件的可行域，该目标函数视为可行解与点的斜率，故
由题可知，联立得,联立得
所以，故
所以的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析.
【解析】
（1）计算得到，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.
【详解】
（1）∵的观测值，
有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
（2）根据分层抽样方法得：男生有人，女生有人，
选取的人中，男生有人，女生有人．
则的可能取值有，
，，
，，
的分布列为：
．
【点睛】
本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得.利用向量的数量积坐标运算，将转化为.再利用两点均在抛物线上，即可求得p的值，从而求出抛物线的方程；
（2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l恒过定点，将面积用参数t表示，求出其最值，并得出此时的直线方程.
【详解】
解：（1）由题设，
因为，到轴的距离的积为，所以，
又因为，，
，
所以抛物线的方程为．
（2）因为直线与抛物线两个公共点，所以的斜率不为，
所以设
联立，得，
即，，
即直线恒过定点，
所以，
当时，面积取得最小值，此时.
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题.
19、（1）或；（2）证明见解析
【解析】
（1）将化简，分类讨论即可；
（2）由（1）得，，展开后再利用基本不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
所以或或
解得或，
因此不等式的解集的或
（2）
根据
，当且仅当时，等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
20、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【解析】
（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.
【详解】
（1），
当时，，在上单调递增；
当时，，，，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
当时，，，，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知：
当时，，∴成立.
当时，，
，∴.
当时，
，
，∴，即.
综上.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21、（1）当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，确定单调区间；
（2）题意说明,利用导数求出的最小值，由（1）可得的最小值，从而得出结论．
【详解】
解：（1）定义域为
当时，即在上增；
当时，即得得
综上所述，当时，在上增；
当时，在上减，在上增
（2）由题
在上增
由（1）当时，在上增，所以此时无最小值；
当时，在上减，在上增，
即，解得
综上
【点睛】
本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化为，求出两函数的最小值后可得结论．
22、（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可求得该函数的单调递增区间；
（2）由求得，由得出或，分两种情况讨论，结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为，
由得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2）由，得，或，或，
，，
又，
，即.
①当时，即，则由，，得，则，此时，的面积为；
②当时，则，即，
则由，解得，，.
综上，的面积为.
【点睛】
本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.
愿意
不愿意
男生
60
20
女士
40
40
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828