2026届广东省深圳市菁华中英文实验中学高考数学一模试卷含解析

这是一份2026届广东省深圳市菁华中英文实验中学高考数学一模试卷含解析，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知数列满足，则，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（ ）
A．B．
C．D．
3．复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图像大致为（ ）.
A．B．
C．D．
6．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．B．C．2D．
9．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ）
A．B．2C．4D．
11．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A．B．C．D．
12．已知的面积是,, ,则（ ）
A．5B．或1C．5或1D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.
14．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，且,，则椭圆的离心率为__________．
15．已知正项等比数列中，，则__________．
16．如图是一个算法流程图，若输出的实数的值为，则输入的实数的值为______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的导函数的两个零点为和．
（1）求的单调区间；
（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．
18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.
19．（12分）已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
20．（12分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数）
（1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字）
（2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；
（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.
参考公式：，
参考数据：，，，
21．（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据：；；.）
22．（10分）已知函数
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：数列的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.
【详解】
解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），
∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到，
设＝(a，b)，，
则，
即，
又，
解得：，
∴，
对应复数为.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
2、A
【解析】
由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.
【详解】
由题意，2c＝8，则c＝4，
又，且a2+b2＝c2，
解得a2＝4，b2＝12.
∴双曲线C的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.
3、C
【解析】
由复数除法求出，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得
【详解】
解析：，，
对应点为，在第三象限．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．
4、B
【解析】
由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.
【详解】
由题意可知，
框图的作用是求分段函数的值域，
当；
当
综上：.
故选：B
【点睛】
本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
5、A
【解析】
本题采用排除法:
由排除选项D；
根据特殊值排除选项C;
由,且无限接近于0时, 排除选项B；
【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数 ,
则,;
即.故选项D排除;
对于选项C：因为,故选项C排除;
对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;
故选项:A
【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
6、A
【解析】
先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，
∴正整数的最小值为3.
【点睛】
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
7、C
【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以.
依题意，，
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
8、A
【解析】
由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，
且两直角边分别为和，所以底面面积为
高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．
9、A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10、C
【解析】
设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.
【详解】
圆可化为.
设，
则的斜率分别为，
所以的方程为，即，
，即，
由于都过点，所以，
即都在直线上，
所以直线的方程为，恒过定点，
即直线过圆心，
则直线截圆所得弦长为4.
故选:C.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.
11、B
【解析】
把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．
【详解】
由题意，，或，，
不妨取或，
若，则函数为，四个选项都不合题意，
若，则函数为，只有时，，即是对称轴．
故选：B．
【点睛】
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
12、B
【解析】
∵，,
∴
①若为钝角，则，由余弦定理得，
解得；
②若为锐角，则，同理得.
故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．
【详解】
的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，
通项公式为，令，求得，
可得二项展开式常数项等于，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14、
【解析】
设,则,,由知, ,,作,垂足为C，则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率.
【详解】
如图,设,则,,
由椭圆定义知,,
因为,所以,,
作,垂足为C，则C为的中点,
在中,因为,
所以，
在中,由余弦定理可得,
，
即,解得,
所以椭圆的离心率为.
故答案为:
【点睛】
本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
15、
【解析】
利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
由，
所以，解得.
，所以，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.
16、
【解析】
根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.
【详解】
解：程序的功能是计算，
若输出的实数的值为，
则当时，由得，
当时，由，此时无解.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是．
【解析】
（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.
【详解】
（1），
令，
因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．
又因为，所以当时，，即；当或时，，即.
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）由（1）知，是的极小值点，
所以有，解得，， ，
所以．
因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.
所以为函数的极大值，
故在区间上的最大值取和中的最大者，
而，所以函数在区间上的最大值是．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.
18、（1）：，：；（2）
【解析】
（1）由直线参数方程消去参数即可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角坐标方程互化的公式即可得曲线的直角坐标方程；
（2）由即可得的底，由点到直线的距离的最大值为即可得高的最大值，即可得解.
【详解】
（1）由消去参数得直线的普通方程为，
由得，曲线的直角坐标方程为；
（2）曲线即，
圆心到直线的距离，
所以，
又 点到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；
（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.
【详解】
（1）已知，
，
由可得，
又由,知
在上单调递减，
令，记，则
在上单调递增；
，在上单调递增；
，
（2），，
在上不单调，
在上有正有负，在上有解，
，，
恒成立，
记，则，
记，，
在上单调增，在上单调减.

于是知
（i）当即时，恒成立，在上单调增，
，
，.
（ii）当时，
，故不满足题意.
综上所述，
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
20、（1）；（2）117人；（3）分布列见解析，
【解析】
（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得关于的线性回归方程；
（2）根据回归直线方程计算公式，计算可得人数；
（3）和被选中的人数分别为2和3，利用超几何分布分布列的计算公式，计算出的分布列，并求得数学期望.
【详解】
（1）由题，
所以线性回归方程为
（若第一问求出 .）
（2）当时，
所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人
（3）由题知和被选中的人数分别为2和3，进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0，1，2
，，
的分布列为
【点睛】
本小题主要考查平均数有关计算，考查回归直线方程的计算，考查期望的计算，考查超几何分布和数据处理能力，属于中档题.
21、（1），，；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），计算P（51＜X＜93）即可；
（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．
【详解】
解：（1）由已知频数表得：，
，
由，则，
而，所以，
则X服从正态分布，
所以；
（2）显然，，
所以所有Y的取值为15，30，45，60，
，
，
，
，
所以Y的分布列为：
所以，
需要的总金额为：.
【点睛】
本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．
22、 (Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
试题分析：将，求出切线方程求导后讨论当时和时的单调性证明，求出实数的取值范围先求出、的通项公式，利用当时，得，下面证明：
解析：（Ⅰ）因为，所以，，切点为.
由，所以，所以曲线在处的切线方程为，即
（Ⅱ）由，令，
则（当且仅当取等号）.故在上为增函数.
①当时，,故在上为增函数，
所以恒成立，故符合题意；
②当时，由于，，根据零点存在定理，
必存在，使得，由于在上为增函数，
故当时，,故在上为减函数，
所以当时，,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为
（III）证明：由
由（Ⅱ）知当时，，故当时，，
故，故.下面证明：
因为
而，
所以，，即：
点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题．
年份（届）
2014
2015
2016
2017
2018
41
49
55
57
63
82
96
108
106
123
组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
0
1
2
Y
15
30
45
60
P