北京市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷

这是一份北京市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（ ）
A. B. C. D.
2.向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
3.已知角的终边在第三象限，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.化简（ ）
A. B. C. 1D.
5.如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（ ）
A. B. C. D.
6.设，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（ ）
A. B. C. D.
8.设，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知向量，，其中，则的最大值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
10.对于函数，以下判断正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上恰有个零点
11.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在扇形OAB中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
13.已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
14.已知角终边经过点，则
15.已知，是两个单位向量，且，则
16.已知函数，，且在区间上的最小值是，则 ，的一个可能的取值为 ．
17.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 ．
18.已知函数．给出下列四个结论：
①任意，函数的最大值与最小值的差为2；
②存在，使得对任意，；
③当时，对任意非零实数x，；
④当时，存在和，使得对任意，都有．
其中所有正确结论的序号是 ．
19.在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为 ．
20.已知函数．
①若，则 ；
②若，使成立，则的最小值是 ．
21.已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论：
①若，则；
②若为奇数，则；
③若为偶数，则；
④若，则.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共5小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题9分)
已知向量．
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
23.(本小题9分)
某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：
(1)根据上表中数据，求出，的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)求函数在区间上的值域．
24.(本小题9分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟．
(1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式；
(2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值．
25.(本小题9分)
已知函数在上单调，再从条件①、条件②、条件③中选择一个条件，使得函数存在且唯一确定．
(1)求的值和函数图象的对称轴；
(2)若存在，使得，求实数m的取值范围．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
26.(本小题9分)
已知：集合，其中
．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：
①中元素个数不少于个．
②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．
（）若为的一个好子集，且，，写出，．
（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．
（）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】A
13.【答案】D
14.【答案】 /0.5
15.【答案】 /
16.【答案】 ； / ； 4/答案不唯一
17.【答案】
18.【答案】②④
19.【答案】
20.【答案】 ； ； /
21.【答案】①②④
22.【答案】解：（1）由向量，，得，
所以.
（2）依题意，，由，得，解得，
因此，所以.
（3）由与的夹角是钝角，得且与不共线，
因此且，解得且，
所以实数k的取值范围是.

23.【答案】解：（1）∵ 由“五点法”的表格数据可知，当时，；当时，.
∴ 列方程组得，两式相减得，解得.
将代入，解得，满足.
故，.
（2）由（1）得.
∵ 正弦函数的单调递减区间为.
∴ 令.
解左边不等式：，即.
解右边不等式：，即.
故函数的单调递减区间为.
（3）当时，∵.
令，则.
∵ 当时，取得最小值；当时，取得最大值.
∴，即在区间上的值域为.

24.【答案】解：（1）依题意，设，
由，得，由，，得，而，
则，由转一周需要24分钟，得，解得，
所以.
（2）由，得，当时，，
解得或，即或，
所以或.
（3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔，
则甲、乙两人距离地面的高度分别为，
因此，
当时，，则当，即时，，
所以H的最大值为米.

25.【答案】解：（1）函数，
当时，，由函数在上单调，
得，而，解得，
条件①：，则，而，因此，
解得，，由，解得，
所以，函数图象的对称轴为.
条件②：，则，而，因此，
解得，，由，解得，
所以，函数图象的对称轴为.
条件③：，则，而，
因此，解得，，由，解得，
所以，函数图象的对称轴为.
（2）条件①：，由，得，
由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
条件②：，由，得，
由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
条件③：，由，得，
由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.

26.【答案】（），．
（）对于，考虑元素；
显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，
可得，不可能都是好子集中．
又因为取定，则一定存在且唯一，而且，
由的定义知道，，,
这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过．
（），，定义元素，的乘积为
，显然．
我们证明“对任意的，都有．”
假设存在，使得，则由（）知，
．
此时，对于任意的，，，不可能同时为，矛盾，所以．
因为中只有个元素，我们记为中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道，
显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，
根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．
下面再证明的唯一性：
若还有，即中所有元素的坐标分量都为．
所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾．
所以结论成立．
x
0
0
1
0
0