贵州贵阳市2026年高三年级适应性考试(二)数学试卷（含解析）高考模拟

这是一份贵州贵阳市2026年高三年级适应性考试(二)数学试卷（含解析）高考模拟，共8页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必姓名、报名号用钢笔填写在答题卡相应位置上.
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4．请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】集合，
由，解得且，所以，
所以.
2. 若复数z满足（其中i是虚数单位），则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【详解】由可得，
即，
故.
3. 记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由，得，所以，所以，
又，所以.
4. 某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（ ）天启动．（参考数据：，，）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可得，所以，所以.
由，得，
两边取自然对数得，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即.
所以最迟应在发现疫情后第7天启动．
5. 在的展开式中，项的系数与常数项之比为4，则实数a的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式通项求解即可.
【详解】的展开式通项为.
令，解得，则项的系数为.
令，解得，则常数项为.
由题意，化简得，即.
6. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得.
【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减，
又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增，
故，
两边取平方得，即，解得或，
故不等式的解集为.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设，，根据，列式，联立即可求解.
【详解】根据，设，，
则，，
因为，所以，
在中，因为，所以，
即，①
在中，，
即，②
联立①②解得，，
所以椭圆的长轴长为.
8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将题设不等式转化为在上恒成立，构造函数，利用其单调性可得，从而只需使，利用导数求出最值即得参数a的最小值.
【详解】因对任意恒成立，即在上恒成立
变形得在上恒成立，即在上恒成立，
设，则有 ，由，可知函数在上单调递增，
故得，即在上恒成立，
设，则，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极大值，也是最大值为，
故得，即实数a的最小值为.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ）
A. 该样本的70%分位数为7分B. 该样本的极差为5分
C. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据分位数、均值、极差、方差的定义计算即可.
【详解】将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10,
选项A，分位数位置：，因为为整数，所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值，即分位数是，A错误
选项B，极差=最大值-最小值=10-5=5，B正确；
选项C，样本均值，用样本均值估计总体均值，C正确；
选项D，样本方差，D正确.
10. 已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 若函数在区间上单调，则的最大值为
C. 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象
D. 若函数在区间上有唯一零点，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用辅助角公式结合条件求出的解析式，再根据各选项的要求，结合正弦型函数的性质与诱导公式，图象变换以及函数与方程的关系逐一判断即得.
【详解】因的图象的一个对称中心为,
则，则得.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，可得，因函数在区间上单调，则有，
解得，故的最大值为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到，
再向上平移1个单位可得到，
而，故C正确；
对于D，由可得，依题意，方程在上只有1个实根，
也即直线与函数在上有唯一交点.
因时，，则作出函数在上的图象，要使直线与函数在上有唯一交点，
需使或，解得或，故D错误.
11. 已知圆台的上、下底面半径分别为，母线．AB是下底面的直径，点C在下底面圆周上，且，点是上底面圆周上的动点，则下列结论正确的有（ ）
A. 该圆台存在内切球，且内切球半径为
B. 存在两个点D，使点B到平面的距离为
C. 存在点D，使过点A的母线与平面平行
D. 存在点D，使得平面平面
【答案】AB
【解析】
【分析】根据几何体的内切球、点面距、线面平行、面面垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设，且，设是的中点，
，，
所以，过作，垂足为，
则，
而，所以该圆台存在内切球，且内切球半径为，A选项正确.
由于点C在下底面圆周上，且，所以，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示：
则,
设，,
设平面的法向量为，
则，
故可设，则
所以B到平面的距离为，
若，整理得，
而，
所以，
由于，所以或，
解得或，即存在两个点D，使点B到平面的距离为，B选项正确.
设平面的法向量为，
则，
故可设，而,
则,
所以不存在点D，使过点A的母线与平面平行，C选项错误.
易知
，
又因为，所以,
所以恒成立，即，
即不存在点D，使得平面平面，D选项错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，且，则ab的最小值是______．
【答案】4
【解析】
【详解】因，则，整理得，
解得，即，当且仅当时取等，
故当时，ab取得最小值为4.
13. 已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】设点，由题设等式代入坐标化简即得点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质即可求得答案.
【详解】设点，由可得，
两边平方，得，即，
故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
因抛物线的焦点为，则，
根据圆的几何性质可知， P到抛物线的焦点F的最小距离为.
14. 在一个袋子中装有4个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，3，4，现在有放回的抽取n次，每次只取一个小球，记这n次取到的小球的最大编号为X，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据古典概型概率公式，独立事件的概率乘法公式，以及数学期望的公式计算即得.
【详解】由题意，有放回的抽取n次，每次只取一个小球，取得每个编号的概率都是，
易得；
因，，2，3，4，
故.
四、解答题：共5个小题，满分77分.请回答写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的首项，前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的关系消去，得递推式，判断是等比数列，即可求得其通项；
（2）先求出的通项公式，利用分组求和法与等差、等比数列求和公式求解即得.
【小问1详解】
由①，当时，②，
①-②得，即，
又∵，满足，
∴是以3为首项，3为公比的等比数列，即
【小问2详解】
∵，
∴
．
16. 某兴趣小组对高二某次数学测试成绩进行随机调查，将选考物理的学生记为A类，选考历史的学生记为B类，并从这两类学生中各随机抽取100名考生的成绩，整理得数据如下表（单位：人）：
（1）把成绩在称为“及格”，成绩在称为“不及格”，在A类男生与B类男生中各抽取一名，估计他们数学成绩都及格的概率；
（2）填写下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该年级A类考生的本次考试成绩及格是否和性别有关？
（3）把每一类学生是否及格的频率作为概率，如果A类男生，A类女生，B类男生，B类女生占全年级学生的比例分别为42%，40%，8%，10%，从全年级考生中随机抽取一位学生，求这位学生考试成绩不及格的概率．
附：，
【答案】（1）
（2）
认为该年级A类考生的本次考试成绩及格与性别没有关系
（3）0.244．
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即得；
（2）根据题意完成列联表，计算出卡方值，利用独立性检验思想判断即可；
（3）利用全概率公式计算即得.
【小问1详解】
记“A类男生考试及格”的事件为，“B类男生考试及格”的事件为，
则“A类男生与B类男生都考试及格”的事件为，
所以，
【小问2详解】
完成列联表如下：
零假设为类考生的本次考试成绩及格与否与性别无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该年级A类考生的本次考试成绩及格与性别没有关系．
【小问3详解】
记“这位学生考试成绩不及格”的事件为E，
则，
所以从全年级考生中随机抽取一位学生，这位学生考试成绩不及格的概率为0.244．
17. 已知函数．
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）若，不等式有唯一的整数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，，无极大值；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数即可求解；
（2）由不等式有唯一的整数解，得到有唯一解，利用函数的单调性讨论函数与直线有且仅有一个整数交点即可.
【小问1详解】
由，
∴，且时，；时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，无极大值.
【小问2详解】
由，即，令，原不等式等价于只有唯一整数解，结合与的图象可知，
是过定点的一条直线，
当时，存在无数个负整数解满足该不等式，不满足题意，
当时，需且，得，解得，
即实数的取值范围是.
18. 已知双曲线E的方程为，是一个定点．
（1）若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率；
（2）若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点．
（i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程；
（ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】第（1）问将点M代入双曲线的渐近线中求出关系，再结合离心率公式求出离心率；第（2）问先设P，Q两点坐标和将M代入双曲线方程中，在（i）问中运用重心公式和斜率求出关系，从而求出双曲线方程；在（ii）问主要设直线PQ的方程，并与双曲线的方程联立，进行化简看是否能求出一个定圆.
【小问1详解】
双曲线E的渐近线方程为，若点M在双曲线E的渐近线上，
则，所以；
【小问2详解】
设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上，
所以，
（i）因为P，Q在双曲线E上，所以，
作差可得，即，
因为M是的重心，所以，即，，
又因为直线PQ的斜率为2，所以，即，
代入解得，
所以双曲线E的方程为；
（ii）因为，直线PQ不可能垂直于y轴，所以设直线PQ的方程为，
代入，化简得，
所以，
因为，所以，即，
即，
化简得，
所以原点到直线PQ的距离，存在定圆与直线PQ相切.
19. 如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，．
（1）若DC平分时，求的大小；
（2）如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC．
（i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

【答案】（1）
（2）（i）；（ii）．
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式及DC平分，可得，在中应用余弦定理，可求得，在中应用余弦定理即可求得；
（2）设，用表示三棱锥的体积，并求出三棱锥的体积最大时的，从而求得此时三棱锥的外接球半径，进而求得外接球的表面积；建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，用表示直线与平面所成角的正弦值，利用基本不等式，结合同角三角函数关系式即可求得该正弦值的最大值.
【小问1详解】
因为，所以，
即，
若DC平分，则，所以.
设，则，
因为，，所以.
由，得，
解得，即.
所以，
又，所以；
【小问2详解】
（i）设，作，垂足为O，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面BDC.
又，
所以，
当且仅当时取最大值，此时，，即BD，CD，PD两两垂直，
设三棱锥的外接球半径为R，则，
所以三棱锥的外接球的表面积为；
（ii）如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，
，，，
则，
设平面PBD的一个法向量为，则，
所以，

令，则，
所以，，
设直线PC与平面PBD所成角为，则
，
令，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
故直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值为．
分类\成绩
A类男生
10
30
20
B类男生
20
23
7
A类女生
10
22
8
B类女生
21
22
7
及格
不及格
合计
A类男生
A类女生
合计
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
及格
不及格
合计
A类男生
50
10
60
A类女生
30
10
40
合计
80
20
100
及格
不及格
合计
A类男生
50
10
60
A类女生
30
10
40
合计
80
20
100