福建省九所名校2025-2026学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析）

这是一份福建省九所名校2025-2026学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知平面向量a=2,x−1，b=6,2−x，若向量a→与b→共线，则x=（ ）
A．−2B．2C．5D．54
2．复数z满足z+1⋅i=1−2i（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（ ）
A．−3B．−3iC．1D．i
3．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为420π，则圆台较小底面圆的半径为（ ）
A．7B．6C．5D．3
4．在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则AB+AC−2AE=（ ）
A．0B．EDC．DED．2ED
5．如图，△O'A'B'是一个平面图形的直观图，其中△O'A'B'是直角三角形，∠O'A'B'=90∘,O'A'=2，则原图形的面积是（ ）
A．4B．42C．8D．82
6．已知向量a=x,1，b=4,x，则“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S．若a=1，C=π4且4S=acsB+bcsA，则B=（ ）
A．5π６B．7π12C．π6D．π3
8．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，AB⋅AD=42，点P在边CD上，则PA⋅PB的取值范围是（ ）
A．−1,8B．−1,4+2C．−2,4+42D．−2,0
二、多选题
9．已知向量a=1,3，b=2,y，a+b⊥a，则（ ）
A．b=2,−3B．向量a,b的夹角为3π4
C．a+12b=1D．a在b方向上的投影向量是−1，2
10．下列说法正确的是（ ）
A．z⋅z=|z|2,z∈C
B．i2025=i
C．若|z|=1,z∈C，则|z−2|的最小值为2
D．若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
11．对于△ABC有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若sin2A+sin2B+cs2CB，则不等式sinA>sinB恒成立
D．在△ABC中，若B=60°,b2=ac，则△ABC必是等边三角形
三、填空题
12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm．
13．海上一观测站A测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D，在商船D的正东方有一艘海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站107 海里，20分钟后测得海盗船B位于距观测站20海里的C处，再经___________分钟海盗船B到达商船D处．
14．如图，在△ABC中，AC=3AN,P是BN上的一点，若AP=m+13AB+19AC，则实数m的值为______________
四、解答题
15．已知复数z=1+im2−2+im−2im∈R．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，设AB=a,AD=b.
(1)用a,b表示AC,CE,DE；
(2)若AB=2,AD=6，且∠BAD=120°，求AC⋅DE.
17．如图，在△ABC中，AB=2，csB=13，点D在线段BC上.

(1)若∠ADC=34π，求AD的长；
(2)若BD=2DC，△ADC的面积为423，求AC的长.
18．如图，在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2,D是棱AB的中点．
(1)求该正三棱柱的体积；
(2)求三棱锥D−A1B1C的体积；
(3)设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为△ABC的费马点．
(1)若2sinBsinC+π3=3sinA，且△ABC面积为334．
（i）求角B；
（ii）求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(2)若cs2A2=b+c2c，△PCA，△PCB，△PAB的面积为S1，S2，S3，求S1+S2S3的最小值．
1．D
直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】因为向量a与 b共线，所以6(x−1)−2(2−x)=0，
解得x=54．
故选：D．
2．C
【详解】由题意可得：z=1−2ii−1=(1−2i)i−1−1=−3−i，所以z=−3+i，所以复数z的共轭复数的虚部为1.
3．A
设圆台的上下底面圆的半径分别为r,R，根据题意，求得R=3r，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解.
【详解】设圆台较小底面圆的半径为r，较大的底面圆的半径为R，
因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，
可得2πR=3×2πr，所以R=3r，
又因为圆台的侧面积为420π，可得S侧=πr+R⋅l=4πr×15=420π，解得r=7.
故选：A.
4．D
由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.
【详解】由已知，D为BC的中点，所以AB+AC=2AD，
所以AB+AC−2AE=2AD−2AE=2ED.
故选：D.
5．B
还原△OAB，求出其边长即可求解直角三角形的面积.
【详解】如图，△OAB的直观图是O'A'B'，则OA=O'A'=2,OB=2O'B'=42，
则△OAB的面积为12OA⋅OB=42.
故选：B
6．C
由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可.
【详解】若a//b，则x2=4，解得x=±2．
若向量a与b的夹角为锐角，则a⋅b>0且csa,b≠1，所以4x+x>0且x≠2，解得x∈0,2∪2,+∞．
故“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：C.
7．C
利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解．
【详解】在△ABC中，acsB+bcsA=a⋅a2+c2−b22ac+b⋅b2+c2−a22bc=c，而S=12absinC，
由4S=acsB+bcsA，得2absinC=c，又a=1，C=π4，则c=2b，
由正弦定理得2sinB=sinC=sinπ4，解得sinB=12，由b