湖南省张家界2026届高三5月三模考试数学试卷含答案（word版）

这是一份湖南省张家界2026届高三5月三模考试数学试卷含答案（word版），共9页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答， 考试结束后，将答题卡上交， 已知抛物线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，将答题卡上交。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={1,3,5,23},B={a+b∣a∈A,b∈A} ，则 A∩B=
A. ⌀ B. {1,3,5,7} C. {3,7} D. {1,3}
2. 已知复数 z=7−i3−i ,则 z 等于
A. 5 B. 10 C. 5 D. 2
3、已知 a,b 均为单位向量，且满足 a−6b=35 ，则 a⋅a+2b=
A. 1 B. 2C. 32 D. 43
4. 已知等比数列 an 满足 a4=1,a7a9=8a8−2 ,则 a6=
A. -2 B. 2 C. ±2 D. 4
5. 已知函数 fx 是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时, fx=lg2x+1+2x2+2x ,则不等式 fx>26 的解集为
A. −3,3 B. −∞,−3∪3,+∞
C. −3,0∪3,+∞ D. 3,+∞
6. 函数 fx=tanωx+φω>0 的图象关于点 π6,0 对称,且直线 y=2 与函数 fx 图象的相邻两个交点的距离为 π2 ,则正实数 φ 的最小值为
A. π12 B. π6 C. π3 D. 2π3
7. 已知变量 x 和变量 y 的一组成对样本数据为 xi,yii=1,2,⋯,10 ，其中 x=2 ，其回归直线方程为 y=3x−2 ，当增加两个样本数据 −4,−13 和 8,9 后，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据 4,9 所对应的残差为 -1，求重新得到的回归直线方程斜率为 (残差=观察值-估计值)
A. −72 B. 72 C. 52 D. 32
8. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形, AB=AA1=9 , ∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60∘ ,设 △A1BD,△BC1D,△A1BC1,△A1C1D 的重心分别为 O,P,Q,R ,则四面体 OPQR 的体积为
A. 322 B. 922 C. 924 D. 324
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图，矩形 ABCD 是圆柱 OO1 的轴截面， AB=5,AD=25 ， E 为 AB⏜ 的中点， M 为 BE 的中点,则
A. O1M// 平面 ADE
B. 圆柱 OO1 的侧面积为 20π
C. 三棱锥 B−ADE 的体积为 556
D. 圆柱 OO1 的外接球的表面积为 25π
10. 已知抛物线 C:y2=4x ,设 O 为坐标原点, T4,4,Pm,n ,过点 Pm,n 作抛物线 C 的两条切线,切点分别为 A,B (异于点 T ),则下列结论正确的是
A. 若 m=−1,△OAB 可能为锐角三角形
B. 若 m=−1 ，点 P 在直线 AB 上的投影为定点
C. 若 m=−1 ，且直线 AT ， BT 分别交 x 轴于点 M ， N ，则 OMON=4
D. 若 m=−4 ，且直线 AP ， BP 分别交 y 轴于点 M ， N ，则 OMON=4
11. 定义在 R 上的函数 fx,gx 满足: fx+y=fxgy+gxfy , gx+y=fxfy+gxgy ,若 gx 为偶函数,且 g0≠12,gx 恒大于 0, 则下列选项正确的是
A. fx 为奇函数
B. g2x−f2x=1
C. gx+ygx−y=f2x−f2y
D. 若 f1+g1=2 ,则 g1024−f1024=121024
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 2−x3 的展开式中， x 的系数为_____. (请用数字作答)
13. 在等差数列 an 中,若前 n 项和 Sn 有最大值,且 a1013a10140 时的最大正整数 n 为_____.
14. 设椭圆 C:x24+y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,斜率为 −2 的直线 l 与椭圆 C 相切于第一象限内点 P ，直线 l 与 x 轴交于点 M ，则 ∠F1PM= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的菱形， ∠BAD=60∘ ， PB=PD=3,PA=5,AC 与 BD 交于点 O .

(1)求证: PO⊥ 平面 ABCD ；
(2)求平面 PAB 与平面 PCD 的夹角的余弦值.
16. (15 分)在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知函数 fx=2sinxcsx−23cs2x+3 ,且 fA=0 .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a=3 ， △ABC 的周长为 3+3 ，求 △ABC 的面积.
17. (15分)某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了 A 、 B 两类实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有 A 任务合格后，才能参与 B 任务的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅 A 任务合格评定为良好， A 任务不合格直接评定为不合格,已知学生甲完成 A 任务合格的概率为 34 ,若 A 任务合格,完成 B 任务合格的概率为 23 ; 学生乙完成 A 任务合格的概率为 23 ,若 A 任务合格,完成 B 任务合格的概率为 12 ; 且甲、乙两人完成任务的结果相互独立.
(1)求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率；
(2)在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率;
(3)从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为:不合格为 0 分,良好得 4 分,优秀得 8 分,设选取学生的得分为随机变量 X 。求 X 的分布列和数学期望 EX .
18.(17分)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点.
(1)若椭圆 C 的离心率为 22 ，点 M1,22 在椭圆上，求椭圆 C 的标准方程；
(2)在(1)的条件下，若直线 l 的斜率为 77 ，求 ∠AF2B 的大小；
(3)若存在这样的直线 l 使得 AF2⊥BF2 ，求椭圆离心率的取值范围.
19. (17 分)已知曲线 Γ:x2+y2=4y>0 ，函数 fx=ax−1 ，其中 a>1 .
(1)试求曲线 Γ 与函数 fx 的交点个数；
(2)设曲线 Γ 与函数 fx 的交点为 Tm,n ，作 Γ 在点 T 处的切线，交 y 轴于点 K .
(i) 证明: TK