湖北省襄阳市五中2025-2026年高三下5月联考数学试卷（含答案）

这是一份湖北省襄阳市五中2025-2026年高三下5月联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知椭圆 C等内容，欢迎下载使用。
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin15∘+cs15∘=
A. 22B. 32C. 62D. 2
2.已知集合A=(x|x>a),B=(x|-1≤x≤2),若(CRA)∩B=∅,则a的取值范围是
A.(-∞,-1)B.[-1,2]C.(一,2)D.[2,+ )
3.已知复数z满足：zz=2i(1-z),则z=
A. iB.-iC.1+iD.1-i
4.已知一组样本数据有两层，第一层有N个数据，平均数为x，第二层有M个数据，平均数为y，两层数据合到一起计算出的平均数为z，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为m，则新的样本数据的平均数为
A. x+m+y3 B. x+m C. z+nmM+N+n1/
5.已知函数 fx=1+22x−11x,则f(x)
A.是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递增B.是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递减
C.是奇函数，且在区间(0，十∞)单调递减D.是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递增
6.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0的离心率为e，点(1，e)在C上，则b=
A.1B. 2C. 3D.2
7.已知随机事件A、B、C满足 PA=13,PB=PC=14,PAB=PAC=0,PBC=16,则A、B、C至少有一个发生的概率为
A. 12B. 23C. 34D. 56
8.在△ABC中,已知AB=2AC,BC=3.记点A 的运动轨迹为曲线E,△ABC 的外接圆M与曲线E 交于A、D两点.当∠ABC 取最大值时,AD=
A. 433B. 477C. 4217D. 23
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知等比数列{aₙ}的公比q>1，则
A.数列{aₙ}是递增数列B.数列{|aₙ|}是递增数列
C.数列{a²}是递增数列D.数列{a₁a₂ₙ}是递增数列
10.已知函数 fx=x3−3ax+b,则
A. f(x)一定有零点
B.曲线y=f(x)与直线y=x+b恒有3个交点
C.若f(x)有3个零点，则它们的和为0
D.曲线y=f(x)上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形
11.已知正四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为2的正方形，高为h，其五个顶点均在半径为R 的球O₁ 的球面上，半径为r的球O₂与正四棱锥的五个面均相切，则
A.若四棱锥( O2−ABCD和三棱锥 O2−PBC的体积相等，则 ℎ=15
B.若O₁为底面中心，则 r=6−22
C.若O₁与O₂重合,则. R=1+2
D.若O₁在棱锥内，且在球O₂的球面上，则 R=1+3r
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量a=(1,-1),b=(0,2),若a+b与2a-kb平行,则实数k= .
13.已知 A133,B73−3为曲线 y=3sinωx+(00,解得 a>12e.
所以a的取值范围是 12e+∞.(6分)
(2)由(1)知, 12a为f(x)的极值点.
由不动点的定义，有 12−12ln12a=12a,整理得 1+ln2a−2a=0.(8分)
令 ℎx=1+ln2x−2x,则 ℎ'x=1x+22x32.由h'(x)>0,知h(x)单调递增.(9分)
因为 ℎ12=1−2=−10,(11分)
所以存在 a∈12e2,使得f(x)的极值点同时也是不动点.(13分)
16.(1)由题意 a3=3a1+2,S2=4S1,所以 a1+2d=3a1+2,2a1+d=4a1,解得 a1=1,d=2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
所以 an=2n−1.(5分)
(2)由(1)知, Tn=2n2n+1=1−12n+1,b1=T1=23.(6分)
所以当n≥2时， bn=Tn−Tn−1=12n−1−12n+1.(8分)
当n=1时, b1=1−13=23也成立，所以 bn=12n−1−12n+1.(9分)
Tn≤kan+bn等价于 1−12n+1≤k2n−1+12n−1−12n+1.
整理得 k≥12n−1−12n−12.(11分)
记 fn=12n−1−12n−12,则 fn=−12n−1−122+14,而2n-1≥1,月所以
当n=1或n=2时,f(n)有最大值. (13分)
当n=1时,f(1)=0;当n=2时, f2=29.·(14分)
所以f(n)的最大值为 29,即( 12n−1−12n−12的最大值为 29，故 k≥29.(15分)
17.(1)由条件可知, BD⊥AC,∣AB∣=∣AD∣=a,∣AA1∣=b.
因为 BD=AD−AB,
所以 BD⋅AA1=AD−AB⋅AA1=AD⋅AA1−AB⋅A1=abcsθ−abcsθ=.
所以BD⊥AA₁. (2分)
因为AC⊂平面A₁ACC₁,AA₁⊂平面.A₁ACC₁,AC∩AA₁=A,
所以BD⊥平面A₁ACC₁. (3分)
因为 BD⊂平面 D₁DBB₁,所以平面A₁ACC₁⊥平面D₁DBB₁. (4分)
(2)平行六面体的表面积 S=2AB⋅ADsinθ+4AD⋅AA1sinθ=2a2+4absinθ.(6分)
所以，当 θ=π2时，平行六面体的表面积取最大值.(7分)
(3)在(2)的条件下，该平行六面体为长方体.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A₁(0,0,b),C(a,a,0),B₁(a,0,b).所以 AC=aa0,AB1=a0b,A1C=aa−b.
设平面AB₁C 的法向量为rn=(x,y,z).
由 {AC→·n=0,AB1→·n=0.写 {ax+ay=0,ax+bx=0.
令x=b,得y=-b,z=-a,所以n=(b,-b,-a).(10分)
设直线 A₁C 与平面ABC所成的角为φ，₁
则 sin=∣cs∣=ab2a2+b22b2+a2
(13分)
因为 a2b2+b2a2≥2,当且仅当a=b时取等号，所以 sin≤13.(14分)
所以，直线A₁C与平面AB₁C 所成的角最大时，a=b.(15分)
18.(1)由题意,a=1,c=2,所以 b2=c2−a2=3.(1分)
所以E的方程为 x2−y23=1.(2分)
(2)设M(x₀,y₀),则 x02−y023=1.
因为 ab=13,−ab=−13,
所以MG 的方程为 y−y0=13x−x0,MH的方程为 y−y0=−13x−x0.(3分)
设G(x₁,y₁),H(x₂,y₂).
将直线MG 的方程与曲线E 方程联立，
得 83x2−23y0−13x0x−3−y0−13x02=0,
解得 x1=−3−y0−13x0283x0.(4分)
同理，可得 x2=−3−y0+13x0283x0.(5分)
所以 x1−x2=23x0y083x0=32y0,x1+x2=−6−2y02−23x0283x0=−52x0.(6分)
所以 ∣GH∣2=x1−x22+y1−y22=34y02+x1+x23−2x032
=343x02−3+274x02=944x02−1.(7分)
由于 x02≥1,所以 ∣GH∣2≥274,从而|GH|的最小值为 332.(8分)
(3)设 l1:y=k1x+2,l2:y=k2x−2,则 k1k2=b2a2=3.
设P(x₀,y₀),则 y02=3x02−4.(9分)
设l₁的倾斜角为α,l₂的倾斜角为β,∠F₁PF₂=θ,则θ=β-α.
所以sinθ= sin(β-α). (10分)
于是， sin2θ=sin2αcs2β+cs2αsin2β−2sinαcsαsinβcsβsin2α+cs2αsin2β+cs2β
=tan2α+tan2β−2tanαtanβ1+tan2α1+tan2β=k12+k22−61+k121+k22. (11分)
联立l₁与E的方程，得( 3−k12x2−4k12x−4k12−3=0.
设A(x₃,y₃),B(x₄,y₄).
则 x3+x4=4k123−k12,x3x4=−4k12−33−k12. (12分)
所以， ∣PA∣∣PB∣=1+k12∣x3−x0∣∣x4−x0∣
=1+k12∣x3x1−x0x3+x4+x02∣
=1+k12∣3−k12∣∣−4k12−3−4k12x0+3−k12x02∣
=1+k12∣3−k12∣∣k12x0+22−3x02+3∣
=1+k12∣3−k12∣∣y02−3x02+3∣=91+k12∣3−k12∣. (14分)
同理， ∣PC∣∣PD∣=91+k22∣3−k22∣. (15分)
所以 S△PADS△PDC=12×∣PA∣∣PD∣sinθ×12∣PC∣∣PB∣sinθ
=14×91+k12∣3−k12∣×91+k22∣3−k22∣×k12+k22−61+k121+k22
=814×k12+k22−6∣9−3k12−3k22+k12k22∣=814×k12+k22−6∣18−3k12−3k22∣=274,为定值. (17分)
19.(1)当n=2时,由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4.
PX=0=C20×122=14,
PX=1=C21×122×C10×12=14.
PX=2=C22×122×C11×12+C22×
PX=3=C23×122×C21×122=18,
PX=4=C22×122×C22× (4分)
X 的分布列为
EX=0×14+1×14+2×516+3×18+4×116=32.(6分)
(2)当n=3时，求得X 的分布列为
当n为偶数时,m=n; (8分)
当n为奇数时,m=n-1. (10分)
(3)设第一次正面朝上的次数为i,i=0,1,2,…,n,第二次正面朝上的次数为j,j=0,1,2,…,i,则x=i+j.
PX=i+j=Cni×12n×Cij×12i. (12分)
从而， EX=i=0jnj=0ii+jCni×12n×Cij×12i. (13分)
由组合数的性质， kCnb=nCnk=1,所以 k=0nkCnk=nh=1nCn−1k−1=n⋅2n−1. (14分)
所以 EX=i=0nj=0ii+jCni×12n×Cij×12i
=i=0nj=0jiCijCni12n+l+jCiiCni12α+t
=i=0n[iCni12n+ij=0iCij+Cni12n+ij=0ijCij
=l=0niCni12n+i×2i+Cni12n+i×i2i−1
=12ni=0niCni+12n+1i=1niCni
=12n×n⋅2n−1+12n+1×n⋅2n−1=34n. (17分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
C
D
B
A
B
C
BCD
AC
ABD
x
0
1
2
3
4
P
14
14
516
18
116
x
0
1
2
3
4
5
6
P
864
1°
64
18
64
1364
61
364
16