2026届广东省广州市南沙区第一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广东省广州市南沙区第一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，则的值域为，已知集合，定义集合，则等于，函数的图像大致为，若集合，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为( )
A．B．C．D．
2．已知向量，则（ ）
A．∥B．⊥C．∥()D．⊥( )
3．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）
A．P1•P2＝B．P1＝P2＝C．P1+P2＝D．P1＜P2
4．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．
A．B．C．D．
8．已知集合，定义集合，则等于（ ）
A．B．
C．D．
9．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的最小值为2，则_________．
14．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.
15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．
16．设函数，若在上的最大值为，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（，），且对任意，都有.
（Ⅰ）用含的表达式表示；
（Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围，并证明；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断零点的个数，并说明理由.
18．（12分）年，山东省高考将全面实行“选”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人；女生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人.
（1）据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”；
（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学（其中男女喜欢物理）中，选取名男同学和名女同学参加座谈会，记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为，求的分布列及期望.
，其中.
19．（12分）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，且数列前项和为，求的取值范围．
20．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线：（为参数）被圆截得的弦长为，求直线的倾斜角.
21．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与直线的直角坐标方程；
（2）若曲线与直线交于两点，求的值.
22．（10分）已知函数
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积．
【详解】
由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，
由于，，∴，∴，，
∴点坐标为，代入抛物线方程得，，
∴，．
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．
2、D
【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.
【详解】
∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A；
显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B；
∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C；
∴•（）＝﹣2+2＝0，故 ⊥（），故D正确，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
3、C
【解析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.
【详解】
三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321
方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；
方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；
所以P1+P2＝
故选C.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.
4、A
【解析】
试题分析：设公差为
或（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质.
5、A
【解析】
先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.
【详解】
由，得 ，，令， ，，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为
故选A
【点睛】
本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题
6、D
【解析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
7、D
【解析】
因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，
所以二项式中奇数项的二项式系数和为．
考点：二项式系数，二项式系数和．
8、C
【解析】
根据定义，求出，即可求出结论.
【详解】
因为集合，所以，
则，所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.
9、A
【解析】
根据排除，，利用极限思想进行排除即可．
【详解】
解：函数的定义域为，恒成立，排除，，
当时，，当，，排除，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
10、D
【解析】
由题意，分析即得解
【详解】
由题意，故，
故选：D
【点睛】
本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
11、C
【解析】
分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果.
【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，
由间接法得到满足条件的情况有
共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，
故满足条件的事件的概率为：
故答案为：C.
【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
12、A
【解析】
设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.
【详解】
设平面向量与的夹角为，，可得，
在等式两边平方得，化简得.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.
【详解】
根据题意可知，
可以发现当或时是分界点，
结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，
故，解得，故答案是.
【点睛】
本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14、
【解析】
求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.
【详解】
的展开式的通项为，
令，得，所以，展开式中的常数项为；
令，令，即，
解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15、2
【解析】
利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值.
【详解】
由题意AB中有且只有一个元素，所以，即.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.
16、
【解析】
求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.
【详解】
解：定义域为
，
在上单调递增，
故在上的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
试题分析：利用赋值法求出关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需在内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.
试题解析：（Ⅰ）根据题意：令，可得，
所以，
经验证，可得当时，对任意，都有，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，
所以 ，
令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，所以
或
解得或无解，所以的取值范围，可得，
由题意知 ，
令 ，则 ．
而当时， ，即，
所以在上单调递减，
所以

即时，．
（Ⅲ）因为 ，．
令得，．
由（Ⅱ）知时，的对称轴，，，所以.
又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以 最多只有三个不同的零点．
又因为，所以在上递增，即时，恒成立．
根据（2）可知且，所以，即，所以，使得．
由，得，又，，
所以恰有三个不同的零点：，1，．
综上所述，恰有三个不同的零点．
【点睛】利用赋值法求出关系，利用函数导数，研究函数的单调性，要求函数有两个极值点，只需在内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围，利用函数的导数研究函数的单调性、极值，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点.
18、（1）有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给信息，列出列联表，计算的观测值，对照临界值表可得出结论；
（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，确定的所有取值为、、、、．根据计数原理计算出每个所对应的概率，列出分布列计算期望即可．
【详解】
（1）根据所给条件得列联表如下：
，
所以有的把握认为喜欢物理与性别有关；
（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，
由题意可知，的所有可能取值为、、、、．
，
，
，
，
.
所以的分布列为：
所以.
【点睛】
本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题．
19、（1）（2）
【解析】
（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求
（2）由，而，利用裂项相消法可求.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，①
②
②①得，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）
∴，
∴，
，
.
【点睛】
本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
20、（1）；（2）或
【解析】
（1）消去参数可得圆的直角坐标方程，再根据，，即可得极坐标方程；（2）写出直线的极坐标方程为，代入圆的极坐标方程，根据极坐标的意义列出等式解出即可.
【详解】
（1）圆：，消去参数得：，
即：，∵，，.
∴，
.
（2）∵直线：的极坐标方程为，
当时.
即：，∴或.
∴或，
∴直线的倾斜角为或.
【点睛】
本题主要考查了参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程以及极坐标的几何意义，属于中档题.
21、（1）曲线的直角坐标方程为；直线的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；
（2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离．
【详解】
解：（1）
曲线的直角坐标方程为
直线的直角坐标方程为
（2）据解，得或
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题．
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解；
（2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增，结合，即可得函数的单调区间和最小值，即可得证.
【详解】
（1）对任意恒成立等价于对任意恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
有最大值，
.
（2）证明：由（1）知，当时，即，
，，
令，则，
令，则，
在上是增函数，又，
当时，；当时，，
在上是减函数，在上是增函数，
，即，
．
【点睛】
本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
男
女
合计
喜欢物理
不喜欢物理
合计