2026届广东省广州铁一中学高三第二次联考数学试卷含解析

这是一份2026届广东省广州铁一中学高三第二次联考数学试卷含解析，共6页。试卷主要包含了函数的图象可能是下列哪一个？，设，，则，已知复数，其中为虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．是虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．D．
3．将函数f(x)=sin 3x-cs 3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：
①它的图象关于直线x=对称；
②它的最小正周期为；
③它的图象关于点(，1)对称；
④它在[]上单调递增.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
4．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）
A．B．
C．D．
5．设，，则（ ）
A．B．C．D．
6．设m，n为直线，、为平面，则的一个充分条件可以是( )
A．，，B．，
C．，D．，
7．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）
A．50cmB．40cmC．50cmD．20cm
8．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则
A．1B．2C．3D．4
9．已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．2D．
10．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，若函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．若，则下列关系式正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.
14．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.
15．已知向量满足，，则______________.
16．在的展开式中的系数为，则_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
当时，求不等式的解集；
，，求a的取值范围．
18．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：
注：年返修率=
（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程中， ，.
19．（12分）如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．
（1）求证：VA∥平面BDE；
（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．
20．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
21．（12分）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若“，”为假命题，求的取值范围.
22．（10分）已知的内角的对边分别为，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.
【详解】
由图像可知，即，
所以，解得，
又，
所以，由，
所以或，
又，
所以，，
所以，，
即，
因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.
2、C
【解析】
由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.
【详解】
由.
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的除法和模，属于基础题.
3、B
【解析】
根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.
【详解】
因为f(x)=sin 3x-cs 3x+1=2sin(3x-)+1，由图象的平移变换公式知，
函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期为，故②正确；
令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是对称轴，故①错误；
令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函数g(x)的图象关于点(，1)对称，故③正确；
令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④错误；
故选：B
【点睛】
本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型
4、A
【解析】
由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果.
【详解】
由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
5、D
【解析】
集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】
，
，
则
故选
【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
6、B
【解析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，当，，时，由于不在平面内，故无法得出.
对于B选项，由于，，所以.故B选项正确.
对于C选项，当，时，可能含于平面，故无法得出.
对于D选项，当，时，无法得出.
综上所述，的一个充分条件是“，”
故选：B
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.
7、D
【解析】
过点做正方形边的垂线，如图，设，利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.
【详解】
过点做正方形边的垂线，如图，
设，则，，
则
，
因为，则，
整理化简得，又，
得 ，
.
即该正方形的边长为.
故选：D.
【点睛】
本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.
8、D
【解析】
先用公差表示出，结合等比数列求出.
【详解】
,因为成等比数列，所以，解得.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.
9、D
【解析】
把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.
【详解】
解：，
则.
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.
10、A
【解析】
点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【详解】
不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，
因为，，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立，
此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入可得，．
所以双曲线的方程为．
故选：
【点睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11、C
【解析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当时有极大值，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点的通项公式，且相应极大值，分组求和即得
【详解】
当时，，
显然当时有，，
∴经单调性分析知
为的第一个极值点
又∵时，
∴，，，…，均为其极值点
∵函数不能在端点处取得极值
∴，，
∴对应极值，，
∴
故选：C
【点睛】
本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题
12、D
【解析】
a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.
【详解】
令，，
作出图象如图，
由，的图象可知，
，，②正确；
，，有，①正确；
，，有，③正确；
，，有，④正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.
【详解】
当时，令，解得，
所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
当时，单调递减，且，
作出函数的图象如图：
（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；
（2）若，则当时，方程整理得，
则，，此时各有1解，
故当时，方程整理得，
有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；
或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；
或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，
或有0解同时有3解，则，解得，
故，
（3）若，显然当时，和均无解，
当时，和无解，不符合题意．
综上：的范围是，
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．
14、
【解析】
求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式．
【详解】
解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能，
故概率为，
故答案为．
【点睛】
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题
15、1
【解析】
首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算可得；
【详解】
解：因为，
所以
又
所以
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.
16、2
【解析】
首先求出的展开项中的系数，然后根据系数为即可求出的取值.
【详解】
由题知，
当时有，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）； （2）.
【解析】
（1）当时，，
①当时，，
令，即，解得，
②当时，，显然成立，所以，
③当时，，
令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，
因为，有成立，
所以只需，
解得，
所以a的取值范围为．
【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先判断得到随机变量的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的数据后不影响的值，可根据表中数据求出；然后再根据去掉年的数据后所剩数据求出即可得到回归直线方程．
【详解】
（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀．
由题意的所有可能取值为，，，，
，
，
，
．
故的分布列为：
所以．
（2）因为，所以去掉年的数据后不影响的值，
所以．
又去掉年的数据之后，
所以，
从而回归方程为：．
【点睛】
求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．
19、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）连结OE，证明VA∥OE得到答案.
（2）证明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到证明.
【详解】
（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，
又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，
所以VA∥平面BDE；
（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，
所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．
【点睛】
本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
【点睛】
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
21、（1）
（2）
【解析】
（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式的解集.
（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.
【详解】
解：（1）当时，
由，得.
故不等式的解集为.
（2）因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
所以.
因为，
所以，则，所以，
即，解得，即的取值范围为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.
【解析】
（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（Ⅱ）由正弦定理可得，则，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
（Ⅰ）由得
再由正弦定理得
因此，
又因为，所以.
（Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3，
理由如下：
由正弦定理得，
所以，
所以.
因为，所以，
所以当即时，取到最大值2，
所以的周长有最大值，最大值为3.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
6
6.5
年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果：，，，
，