2026届辽宁省大连市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届辽宁省大连市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知且，函数，若，则，已知函数，则不等式的解集是，已知命题，已知，则的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若是定义域为的奇函数，且，则
A．的值域为B．为周期函数，且6为其一个周期
C．的图像关于对称D．函数的零点有无穷多个
2．已知，若则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为
A．B．C．D．
4．已知且，函数，若，则（ ）
A．2B．C．D．
5．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
9．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（ ）
A．3.132B．3.137C．3.142D．3.147
10．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
11．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（ ）
A．B．C．D．
12．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，已知是的中点，且，点满足，则的取值范围是_______.
14．集合，，则_____.
15．已知函数，若，则实数的取值范围为__________．
16．双曲线的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
18．（12分）设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且，求的最小值．
19．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.
（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；
②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.
20．（12分）设函数，，
（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
21．（12分）设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
22．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，．
（1）若，证明：．
（2）若，，求的面积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.
【详解】
是定义域为的奇函数，则，，
又，，
即是以4为周期的函数，，
所以函数的零点有无穷多个；
因为，，令，则，
即，所以的图象关于对称，
由题意无法求出的值域，
所以本题答案为D.
本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.
2．C
【解析】
根据，得到有解，则，得，，得到，再根据，有，即，可化为，根据，则的解集包含求解，
【详解】
因为，
所以有解，
即有解，
所以，得，，
所以，
又因为，
所以，
即，
可化为，
因为，
所以的解集包含，
所以或，
解得，
故选：C
本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
3．B
【解析】
推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．
【详解】
解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，
基本事件总数，
6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28恰好在同一组的概率．
故选：B．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．C
【解析】
根据分段函数的解析式，知当时，且，由于，则，即可求出.
【详解】
由题意知：
当时，且
由于，则可知：，
则，
∴，则，
则.
即.
故选：C.
本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.
5．C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
6．D
【解析】
推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.
【详解】
，
则，
，
，所以，函数的图象关于直线对称.
若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，，即，解得或.
①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：
此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；
②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.
综上所述，.
故选：D.
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．B
【解析】
由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
函数，可得，
时，，单调递增，
∵，
故不等式的解集等价于不等式的解集．
．
∴．
故选：B．
本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.
8．A
【解析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.
【详解】
当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，
所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件，
当直线和直线互相垂直时，，解得.
所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.
：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题．
当时，没有零点，
所以命题是假命题．
所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题．
故选：．
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．B
【解析】
结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可
【详解】
如图，由几何概型公式可知：.
故选：B
本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题
10．B
【解析】
利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.
【详解】
依题意，函数与函数关于直线对称，则，
即，又，
所以，.
故选：B.
本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.
11．D
【解析】
由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
故选D.
12．B
【解析】
结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.
【详解】
结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故
可以转换为
对应于恒成立,即
即对恒成立
即对恒成立
令,则上递增,在上递减,
所以
令,在上递减
所以.故,故选B.
本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由中点公式的向量形式可得，即有，
设，有，再分别讨论三点共线和不共线时的情况，找到的关系，即可根据函数知识求出范围．
【详解】
是的中点，∴，即
设，于是
(1)当共线时，因为，
①若点在之间，则，此时，；
②若点在的延长线上，则，此时，．
(2)当不共线时，根据余弦定理可得，
解得，由，解得
．
综上，
故答案为：．
本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题．
14．
【解析】
分析出集合A为奇数构成的集合，即可求得交集.
【详解】
因为表示为奇数，故.
故答案为：
此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.
15．
【解析】
画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.
【详解】
作出函数的图如下所示，
观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，故
，
故实数的取值范围为.
故答案为：
本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式. 函数奇偶性的常用结论：
(1)如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
16．
【解析】
通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果．
【详解】
由双曲线，可得，，则，
所以双曲线的焦点坐标是，
渐近线方程为：．
故答案为：；．
本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域.
【详解】
（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；
由③得，，，；
若①②成立，则，，，
若①③成立，则，，不合题意，
若②③成立，则，，
与③中的矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，，
所以函数的值域为.
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
18．（1）或（2）最小值为．
【解析】
（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.
（2）计算得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
（1）
当时，由，解得；
当时，由，解得；
当时，由，解得．
所以所求不等式的解集为或．
（2）根据函数图像知：当时，，所以．
因为
，
由，可知，
所以，
当且仅当，，时，等号成立．
所以的最小值为．
本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.
19．（1）；（2）①可能是2件；②详见解析
【解析】
（1）由一件手工艺品质量为B级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，可知，分别令、、，可求出使得最大的整数，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；
②分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可.
【详解】
（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，
则，其中，
.
由得，整数不存在，
由得，所以当时，，即，
由得，所以当时，，
所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.
②由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，
一件手工艺品质量为C级的概率为，
一件手工艺品质量为D级的概率为，
所以X的分布列为：
则期望为.
本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
20．（1）（2）
【解析】
分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.
详解：（Ⅰ）当，. ，
当，， 所以切线方程为.
（Ⅱ）,
,因为，所以.
令，，则在单调递减，
因为，所以在上增，在单调递增.
,,
因为，所以在区间上的值域为.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.
21．（1）（2）
【解析】
(1) 利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式的解集;
(2) 求出函数的最小值,把问题化为,从而求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，
则
所以不等式的解集为.
（2）等价于，
而，
故等价于，
所以或，
即或，
所以实数a的取值范围为.
本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度一般.
22．（1）见解析（2）
【解析】
（1）由余弦定理及已知等式得出关系，再由正弦定理可得结论；
（2）由余弦定理和已知条件解得，然后由面积公式计算．
【详解】
解：（1）由余弦定理得，
由得到，由正弦定理得．
因为，，所以．
（2）由题意及余弦定理可知，①
由得，即，②
联立①②解得，．所以．
本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．
X
900
600
300
100
P