2026届甘肃省天水市秦安县第二中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省天水市秦安县第二中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析，共4页。试卷主要包含了复数，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A．B．
C．D．
2．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．复数（ ）．
A．B．C．D．
6．已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入
A．B．
C．D．
7．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
8．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18种B．20种C．22种D．24种
10．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）
A．B．C． 或 D． 或
12．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )
A．线性相关关系较强，b的值为1.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为－0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．根据如图所示的伪代码，若输入的的值为2，则输出的的值为____________.
14．给出下列等式：，，，…请从中归纳出第个等式：______.
15．运行下面的算法伪代码，输出的结果为_____．
16．若，则_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：
（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；
（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；
（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．
18．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.
(1)求证:平面；
(2)求三棱锥的体积.
19．（12分）已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点．
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求的面积．
20．（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：
（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.
21．（12分）如图，在直三棱柱中，，点P，Q分别为，的中点.求证：
（1）PQ平面；
（2）平面.
22．（10分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.
已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；
（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.
参考数据：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．
2、A
【解析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】
因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
3、C
【解析】
模拟程序的运行即可求出答案．
【详解】
解：模拟程序的运行，可得：
p＝1，
S＝1，输出S的值为1，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，
此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，
故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查程序框图，属于基础题．
4、B
【解析】
求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
设双曲线的一条渐近线方程为，
且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于，
可得，可取，则，
设，，则，，，
由，，成等差数列，可得，
化为，即，
可得，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
5、A
【解析】
试题分析：，故选A.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
6、C
【解析】
由于中正项与负项交替出现，根据可排除选项A、B；执行第一次循环：，①若图中空白框中填入，则，②若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第二次循环：由①②均可得，③若图中空白框中填入，则，④若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第三次循环：由③可得，符合题意，由④可得，不符合题意，所以图中空白框中应填入，故选C．
7、A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8、D
【解析】
由题意得，再利用基本不等式即可求解．
【详解】
将平方得，
（当且仅当时等号成立），
，
的最小值为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
9、B
【解析】
分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.
【详解】
根据医院A的情况分两类：
第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同
分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，
共有种不同分配方案；
第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，
在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，
共有种不同分配方案；
共有20种不同分配方案.
故选：B
【点睛】
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.
10、D
【解析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.
【详解】
由余弦定理得：，
整理可得：，.
故选：.
【点睛】
本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.
11、D
【解析】
由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.
【详解】
由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选：D．
【点睛】
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
12、B
【解析】
根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.
【详解】
散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，
故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，
且直线斜率小于1，故选B.
【点睛】
本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
满足条件执行，否则执行.
【详解】
本题实质是求分段函数在处的函数值，当时，.
故答案为：1
【点睛】
本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.
14、
【解析】
通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第个等式即可．
【详解】
解：因为：，，，
等式的右边系数是2，且角是等比数列，公比为，则角满足：第个等式中的角，
所以；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题．
15、
【解析】
模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出的值,用裂项相消法求和即可.
【详解】
模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：
.
故答案为:
【点睛】
本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.
16、
【解析】
因为，所以.因为，所以，又，所以，所以..
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）64，65；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据频率分布直方图及其性质可求出，平均数，中位数；
（2）设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，由条件概率公式可求出；
（3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为，“合格”的学生数为6；由题意可得，5，10，15，1，利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望．
【详解】
由题意知，样本容量为，
．
（1）平均数为，
设中位数为，因为，所以，则，
解得．
（2）由题意可知，分数在内的学生有24人，分数在内的学生有12人．设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，
则，所以．
（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为．
由题意可得的所有可能取值为0,5,10,15,1．
，
．
所以的分布列为
．
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了计算能力，属于中档题．
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）第（1）问，连交于,连接.证明// ，即证平面. (2)第(2)问，主要是利用体积变换，,求得三棱锥的体积.
【详解】
（1）方法一：连交于,连接.
由梯形，且，知
又为的中点，为的重心，∴
在中， ,故// .
又平面, 平面,∴ 平面.
方法二：过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,
G为△PAD的重心，
又ABCD为梯形，AB||CD,
又由所作GN||AD,FM||AD,得// ，所以GNMF为平行四边形.
因为GF||MN,

（2） 方法一:由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由（1）知//平面，∴
又由梯形ABCD，AB||CD，且，知
又为正三角形，得，∴，
得
∴三棱锥的体积为.
方法二: 由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由，∴
而又为正三角形，得，得.
∴，
∴三棱锥的体积为.
19、（1）的值为或.（2）
【解析】
（1）分类讨论，当时，线段与抛物线没有公共点，设点在抛物线准线上的射影为，当三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当时，线段与抛物线有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.
（2）由题意可得轴且设，则，代入抛物线方程求出，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由题，，若线段与抛物线没有公共点，即时，
设点在抛物线准线上的射影为，
则三点共线时，
的最小值为，此时
若线段与抛物线有公共点，即时，
则三点共线时，的最小值为：
，此时
综上，实数的值为或.
因为，
所以轴且
设，则，代入抛物线的方程解得
于是，
所以
【点睛】
本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列，再根据期望公式即可求出；
（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为，可根据上述方法求出，解，即可得出最小值.
【详解】
（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：
所以的数学期望的估计为
.
（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件，则，故不符合概率不小于0.8的要求.
设生产一件产品为标准长度的概率为，
由题意，又，解得，
所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的应用，对立事件的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．
21、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）取的中点D，连结，.根据线面平行的判定定理即得；（2）先证，，和都是平面内的直线且交于点，由（1）得，再结合线面垂直的判定定理即得.
【详解】
（1）取的中点D，连结，.
在中，P，D分别为，中点，
，且.在直三棱柱中，，.Q为棱的中点，，且.
，.
四边形为平行四边形，从而.
又平面，平面，平面.
（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D为中点，.
由（1）知，，.
又，平面，平面，
平面.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.
22、（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式
【解析】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；
（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；
（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.
【详解】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，
表示数列的前项和，则，，
则，
故小张该笔贷款的总利息为元.
（2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，
则，
所以，
即，
因为，
所以小张该笔贷款能够获批.
（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：
，
因为，
所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.
等级
不合格
合格
得分
频数
6
24
0
5
10
15
1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
频率
0.4
0.3
0.2
0.075
0.025