2026届甘孜市重点中学高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届甘孜市重点中学高三最后一卷数学试卷含解析，共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，如果，那么下列不等式成立的是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．
3．函数在上的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
5．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；
③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．函数在上递增
C．函数的一条对称轴是D．函数的一个对称中心是
7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( )
A．B．C．D．
8．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
10．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．函数的定义域为（ ）
A．或B．或
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．
14．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.
15．在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______.
16．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点且，，，.
求证：平面平面以；
求二面角的大小.
18．（12分）已知关于的不等式解集为（）.
（1）求正数的值；
（2）设，且，求证：.
19．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系．
20．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，证明：对；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。
21．（12分）在锐角中，分别是角的对边，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域．
22．（10分）设，，，.
（1）若的最小值为4，求的值；
（2）若，证明：或.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据演绎推理进行判断．
【详解】
由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．
故选：D．
【点睛】
本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．
2、D
【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．
3、D
【解析】
讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.
【详解】
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令，则，
根据三角函数的性质，
当时，，故切线的斜率变小，
当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令 ，，
当时，，故切线的斜率变大，
当时，，故切线的斜率变小，可排除C，
故选：D
【点睛】
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.
4、A
【解析】
观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。
【详解】
设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为
，故选A。
【点睛】
本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。
5、C
【解析】
根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.
【详解】
使用主要听音乐的人数为，使用主要看社区、新闻、资讯的人数为，所以①正确；
使用主要玩游戏的人数为，而调查的总人数为，，故超过的大学生使用主要玩游戏，所以②错误；
使用主要找人聊天的大学生人数为，因为，所以③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.
6、D
【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.
【详解】
，
又，即，
有且仅有满足条件；
又，则，
，函数，
对于A，，故A错误；
对于B，由，
解得，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，由，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.
7、B
【解析】
利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.
【详解】
设抛物线的焦点为F,设点，
由抛物线的定义可知，
线段AB中点的横坐标为3，又，，可得，
所以抛物线方程为.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.
8、C
【解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】
函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9、B
【解析】
构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.
【详解】
设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，
则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,
故不等式的解集为.故选:.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.
10、D
【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.
【详解】
∵，∴，，，.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
11、D
【解析】
利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．
【详解】
已知，赋值法讨论的情况：
（1）当时，令，，则，，排除B、C选项；
（2）当时，令，，则，排除A选项.
故选：D.
【点睛】
比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．
12、A
【解析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】
由题意可得，解得或.
因此，函数的定义域为或.
故选：A.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案.
【详解】
满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有种情况，又从中任意摸取3个小球，有种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.
14、
【解析】
设，可表示出，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积．
【详解】
设则，由两两垂直知三棱锥的三条棱的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为，
∴
当时，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．
15、
【解析】
先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题，即可求得结果.
【详解】
因为两两垂直且，
故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.
且外接球的球心为正方体的体对角线的中点，如下图所示：
容易知外接球半径为.
设线段的中点为，
故可得
，
故当取得最大值时，取得最大值.
而当在同一个大圆上，且，
点与线段在球心的异侧时，取得最大值，如图所示：
此时，
故答案为：.
【点睛】
本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.
16、(或写成)
【解析】
试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为
考点：函数最值，函数单调区间
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、证明见解析；.
【解析】
推导出，，从而平面，由此证明平面平面以；
以为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的大小.
【详解】
解：，，为的中点，
四边形为平行四边形，.
,，即.
又平面平面，且平面平面，
平面.
平面，
平面平面.
，为的中点，
.
平面平面，且平面平面，
平面.
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面的一个法向量为，
，，，，
设，则，，
，
，
，
在平面中，，，
设平面的法向量为，
则，即，
平面的一个法向量为，
，
由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.
18、（1）1；（2）证明见解析.
【解析】
（1）将不等式化为，求解得出，根据解集确定正数的值；
（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出，，，三式相加，即可得证.
【详解】
（1）解：不等式，即不等式
∴，而，于是
依题意得
（2）证明：由（1）知，原不等式可化为
∵，
∴，同理，
三式相加得，当且仅当时取等号
综上.
【点睛】
本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.
19、（1）（2）点在曲线外．
【解析】
（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；
（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即
（2）由题,点是曲线上的一点,
因为,所以,即,
所以点在曲线外.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.
20、 (1)见证明；(2)
【解析】
（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；
（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．
【详解】
(1)当时，，于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，
①当时，为上的增函数，
注意到，，
所以，存在唯一实数，使得成立.
于是，当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数；
所以为函数的极小值点；
②当时，在上成立，
所以在上单调递增，所以在上没有极值；
③当时，在上成立，
所以在上单调递减，所以在上没有极值，
综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.
方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.
即在上存在零点.
设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.
即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.
下面证明，当时，函数在上存在极值.
事实上，当时，为上的增函数，
注意到，，所以，存在唯一实数，
使得成立.于是，当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数；
即为函数的极小值点.
综上所述，当时，函数在上存在极值.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；
（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.
【详解】
（1），，
由正弦定理得：，
即，
，，，
又，.
（2）在锐角中，，．
．
，，，，
函数的值域为．
【点睛】
本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.
22、（1）2；（2）见解析
【解析】
（1）将化简为，再利用基本不等式即可求出最小值为4，便可得出的值；
（2）根据，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范围.
【详解】
解：（1）由题可知，，，，
，
∴.
（2）∵，
∴，
∴，
∴，即：或.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.