2026年中考数学二轮复习 专题01 数与式(知识清单)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题01 数与式(知识清单)，共9页。学案主要包含了典例 01，变式 01，变式 02，变式 03，思考与推理，类比推广，问题解决，理解定义等内容，欢迎下载使用。
内 容 导 航
第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦►考查形式►能力清单
第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论
母题精讲&答题技法
变式应用
技法 01实数的混合运算
技法 04二次根式的运算
技法 07数与式运算的应用
技法 02 整式的混合运算
技法 05 规律探究类
技法 08 自定义运算
技法 03 分式的混合运算
技法 06 无关型运算
第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁
命 题 解 码
考向聚焦
技法 01 实数的混合运算：考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数及二
次根式的综合计算，强调运算顺序与符号处理，要求准确无误。
技法 02 整式的混合运算：侧重幂的运算性质、乘法公式的应用，涉及整式加减乘除及因
式分解，常结合代入求值考查化简能力与公式灵活运用。
技法 03 分式的混合运算：重点考查分式加减乘除混合运算，需先因式分解再通分约分，
注意分母不为零的限制，常与整式运算结合求代数式的值。
技法 04 二次根式的运算：涉及二次根式的化简、四则运算及估算，考查最简二次根式判
断、同类二次根式合并，常与实数运算或几何长度计算结合。
技法 05 规律探究类：通过数字或图形变化寻找规律，考查归纳推理能力，要求从特殊到
一般写出通项公式或第 n 项表达式，常涉及数列知识。
技法 06 无关型运算：考查代数式化简后结果与某字母取值无关，即该字母系数为零。需
先化简整理，令含该字母项系数为零，求解参数值。
技法 07 数与式运算的应用：考查列代数式表示数量关系，解决利润、行程实际问题。抽
象模型，计算推理，体现建模素养，常与方程函数综合。
技法 08 自定义运算：给出新运算规则，要求按定义转化为常规运算求解。考查阅读理解
技 法 清 单
技法01实数的混合运算
知识必备
实数的相关概念
相反数、倒数、绝对值：
数轴：①表示方法及三要素：
②性质：实数与数轴上的点是一一对应的
与迁移能力，需注意运算顺序，常涉及方程不等式求解。
考查形式
选择题、填空题为主，覆盖所有考向，侧重概念辨析与基础运算，属低中档题。
解答题以化简求值（整式/分式）、实数混合运算为主，强调步骤规范与运算准确性。
规律探究题常作为填空压轴，考查观察归纳能力；综合探究题结合实际背景，考查建模与分析能力。
能力清单
概念辨析能力：精准区分易混概念（如平方根与算术平方根、有理数与无理数），避免概念性错误。
运算能力：熟练掌握数与式的运算法则，规范步骤，保证准确率与速度。
条件分析能力：准确识别分式、二次根式等的隐含限制条件，避免漏解/错解。归纳推理能力：从数字、图形、式子中发现规律，并用代数式表达与应用。
建模应用能力：将实际问题转化为数与式模型，用代数式表示数量关系并分析。
数形结合能力：利用数轴等工具，实现数与形的转化，辅助解题。
原数
相反数
倒数
绝对值
a
－a
1
?
|a|
性质
互为相反数的两数相加得 0
互为倒数的两数相乘得 1(a≠0)
一个正数的绝对值是它本身；
0 的绝对值是 0；
一个负数的绝对值是它的相反数
实数的运算
零次幂：a0＝1(a≠0)
负整数指数幂：a－p＝ 1
(口诀：倒底数，反指数)
??
去绝对值符号：|a－b|＝
? ― ? (? > ?) 0(? = ?)
? ― ?(? < ?)
2 026
－1 的奇偶次幂：(－1)n＝ _1?为偶数 ，如( ―1)= 1
―1 ?为奇数 ，如( ―1)2 025 = ―1
乘方：an＝a·a·…·an 个 a
先乘方，再乘除，后加减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行运算
特殊角的三角函数值
答题技法
按“先乘方开方，再乘除，后加减”顺序。优先处理零指数、负指数、绝对值等特殊值，注意符号，逐步演算确保准确。
母题精讲
α
sin α
cs α
tan α
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
【典例 01】（2025·云南·模拟预测）计算： 
0 1 1
1  
π
4
 
  3 2
3
1  2cs30 ．
【答案】1
【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关 键．先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方，去绝对值和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即
可．
3
【详解】解：原式 1 4  3 1 2  3
2
3
3
 1 4  3 1
 1 ．
变式应用
【变式 01】（2026·上海虹口·一模）计算： cs2 30  tan 45  sin2 45 ．

1 cs 60
【答案】 3
4
【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数值的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数
的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解： cs2 30 
tan 45 1 cs 60
 sin2 45

 3 21 2 2
 2  1   2 
1
2
 3  2  1
42
  3 ．
4
【变式 02】（2025·山西·一模）计算： 13  4  22  3  2 ．
【答案】1
【分析】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
先计算乘方运算、化简绝对值、负整数指数幂运算，去括号，然后计算乘法运算，最后计算加减法即可．
【详解】解： 13  4  22  3  2 ，
 1 4  1 1，
4
 111，
 1 ．
技法 02整式的混合运算
知识必备
2. 整式的运算
整式的加减，可归结为去括号与合并同类项
单项式的乘除运算：把系数、同底数幂分别相乘(除)，作为积(商)的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积(商)的因式
多项式的乘除运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(a＋b＋c)÷m＝ ? + ? + ? ；(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋
???
na＋nb
乘法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
常见的变形有 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2
2. 整式的运算
整式的加减，可归结为去括号与合并同类项
单项式的乘除运算：把系数、同底数幂分别相乘(除)，作为积(商)的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积(商)的因式
多项式的乘除运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(a＋b＋c)÷m＝ ? + ? + ? ；(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋
???
na＋nb
乘法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
常见的变形有 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2
答题技法
遵循运算顺序，灵活运用幂的性质和乘法公式。先化简代数式，再代入数值，注意整体代入和括号变号，避免计算错误。
母题精讲
【典例 01】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值： 2x3 y  3y2  1 x3 y  3y2 ，其中 x  1 ，
y  2 ．
【答案】3x3 y 1； 7
【分析】本题考查整式的化简求值，利用去括号法则去括号后合并同类项，然后将已知数值代入化简结果中计算即可．
【详解】解： 2x3 y  3y2  1 x3 y  3y2 
 2x3 y  3y2 1 x3 y  3y2
 3x3 y 1 ；
当 x  1 ， y  2 时，原式 313  2 1
 6 1
 7 ．
变式应用
【变式 01】（2025·吉林·三模）先化简，再求值： a  ba  b  2a2 ，其中a  1 ， b ．
2
【答案】3a2  b2 ，1
【分析】本题考查整式的化简求值，二次根式的运算，先计算平方差，再合并同类项，最后将a  1 ，
2
b 代入求值．
【详解】解： a  ba  b  2a2
 a2  b2  2a2
 3a2  b2 ，
2
将a  1 ， b 代入，得：
原式 312   2 2  3  2  1．
【变式 02】（2025·陕西咸阳·二模）化简： a  ba  b  4a2b2  2ab3   2ab ．
【答案】a2  2ab
【分析】本题考查整式化简，平方差公式，同底数幂相除等．根据题意先利用平方差公式展开，后再利用同底数幂相除计算，再合并同类项即可．
【详解】解：原式 a2  b2  2ab  b2   a2  b2  2ab  b2  a2  2ab ．
【变式 03】（2025·北京东城·二模）已知3a2  2a  1 ，求代数式3a a  2  a  22  a 1a 1 的值．
【答案】6
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据单项式乘以多项式、完全平方公式和平方差公式将括号展开后合并同类项得最简结果，再把3a2  2a  1 代入计算即可得到结果．
【详解】解： 3a a  2  a  22  a 1a 1
 3a2  6a  a2  4a  4  a2 1
 3a2  2a  5 ，
Q3a2  2a  1，
原式 1 5  6 ．
技法03分式的混合运算
知识必备
分式的运算
加减运算：
①同分母：?±?=?±?
②异分母：?±?=??±??=??±??
? ??
? ? ?? ????
乘除运算：
①乘法：?·?=??
②除法：?÷?=?·?=??
? ? ??
? ? ? ? ??
答题技法
先对分子分母因式分解，再通分约分。化简至最简分式后代入，务必检验代入值是否使分母为零，确保分式有意义。
母题精讲
【典例 01】计算：  m  2  5   2m  4
2  m  3  m

【答案】2m  6
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的加减乘除混合运算是关键．先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可．
【详解】解：  m  2 5  2m  4
2  m  3  m
  m  2 

5  2m  4
m  2  3  m

  m2  4 5  2m  4


 m  2m  2  3  m
 m2  9  2m  4
m  23  m
 m  3m  3  2 m  2
m  2m  3
 2 m  3
 2m  6 ．
变式应用
1 x2  2x  1
【变式 01】（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值： 1  x  x2  1，其中 x  2 ．
【答案】

x  13
，
x2
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算法则是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式 x 1   x 1 x 1
x x 12
 x 1 ；
x
当 x  2 时，
原式 2 1  3 ．
22
【变式 02】（2025·四川广元·一模）先化简、再求值：
2x 1  4x2  4x 1
x 11 x
其中 x 为方程 x2 -1 = 0 的根．
【答案】
1
2x 1
，当 x  1 时，分式的值为 1
3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，
先根据分式的乘除法法则计算，并化到最简，然后求出方程的解，舍去不符合题意的解，最后代入求值即
可．
【详解】解：原式 2x 1  1 x
 1．
2x 1

x 1(2x 1)2
解方程 x2 -1 = 0 ，得 x  1 或 x  1 ，
∵ x 1  0 且2x 1  0 ，
∴ x  1且 x  1 ，
2
∴ x  1 ，
当 x  1 时，原式 1 1 ．
2 (1) 13
【变式 03】（2025·江西抚州·模拟预测）先化简，再求代数式的值：  3  a  3   a ，其中
 a 1a2 1 a 1

sin30  a  tan2 60 ，请你取一个合适的整数作为 a 的值代入求值．
【答案】 2 ， 2
a 13
【分析】此题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值确定出 a 的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式 3a 1  a  3  a 1

2a
a 1a 1
 a 1
a
a 1a 1a
 2 ，
a 1
∵ sin30  a  tan2 60 ，且 a 为整数，

∴  1  a 
2
∴ a  2 ，
3 2  3 ，又a  1，
则当a  2 时，原式 2  2 ．
2 13
技法04二次根式的运算
知识必备
二次根式的运算
加减
①先将各二次根式分别化成最简二次根式
②再将被开方数相同的二次根式进行合并
乘除
①乘法：
= ab(a≥0，b≥0)②除法： a =a(a ≥ 0，b＞0)
a∙ b
bb
答题技法
先将二次根式化为最简，合并同类二次根式。涉及分母时进行有理化，估算大小可利用夹逼法确定整数范围。
母题精讲
【典例 01】计算：
1
2026
 1 1
2
  
 
  π 10 ；
3
5
5
5
12   6  6  ．
3
【答案】(1) 2 
5
(2) 7  2
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
先计算乘方，零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可得解；
3
先利用平方差公式以及完全平方公式进行计算，再计算加减即可得解．
【详解】（1）解： 1
2026
 1 1
2
  
 
  π 10
3
 1  2  1
 2  3 ；
5
5
5
（2）解： 12   6  6 
5
 5  21 5  6
5
 6  2 1
5
 6  21
 7  2 5 ．
变式应用
【变式 01】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  x 1  x 1   x 1 其中

x  (2 
2)(2 
2)  tan 60  (3)0
 x2  xx2  2x 1 x
11
【答案】  x 12 ， 3
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出 x 的值，代入化简后的式子计算求解，即
可解题．
【详解】解：原式
  x 1  x 1   x

x  x 1 x 12x 1
  x 1 

1   x

 x  x 1
 x 1 x 
x  x 1
x 1
x
x 1

x 1
 1 
x 1
1
1
x 1
 x 12 ，
又 x  (2  2)(2  2)  tan 60  (3)0
3
 4  2 1
3
1，
3
将 x  1代入式子得：上式 
1
3
112
1 1

 3 23 ．
【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键．
技法05规律探究类问题
知识必备
等差与等比数列 通项公式 aₙ=a₁+(n-1)d 或 aₙ=a₁qⁿ⁻¹，识别差或比为定值，常用于数字序列规律，需熟练运用公式求解第 n 项表达式。
完全平方与立方数 熟记 1-25 的平方数及 1-10 的立方数，识别 n²±k 或 n³±k 的变形结构，快速匹配数值规律特征，辅助发现通项。
循环周期规律 识别数值或图形呈周期性重复，利用总数除以周期长度所得余数确定第 n 项状态，解决循环类探究问题。
符号交替规律 掌握 (-1)ⁿ 或 (-1)ⁿ⁺¹ 控制正负号变化，结合数值规律综合写出通项，注意根据首项符号确定指数形式。
分式裂项知识 熟悉1= 1 ― 1等裂项公式，用于解决分式求和类规律题，简化复杂计算过程，提高
解题效率。
n(n+1)
nn+1
图形数量转化 将图形中的点、线、面数量转化为数字序列，利用累加法或递推关系建立函数模型，实现形数转化求解。
数表坐标关系 掌握行列号与数值对应关系，常用有序数对表示位置，通过行列规律推导通项公式，解决数表探究类问题。
答题技法
从特殊情形入手，列出前几项数据。观察序号与数值间规律，归纳出含 n 的通项公式，并代入验证确保正确性。
母题精讲
【典例 01】（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在 A 处的数是（填正数或负数）；第 2025 个数对应排在位置（从 A，B，C，
D 中选择填写）．
【答案】正数B
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，确定循环规律是解题的关键．
通过观察发现，每 4 个数为一组循环，并且是正数负数交替出现，再结合所给的 A 的位置可确定此处是正数，由于2025  4  506LL1，可确定 2025 在 B 处．
【详解】解：∵A 的位置与 4、8、12.对应，
∴A 处是正数；每 4 个数为一组循环，
∵ 2025  4  506LL1，
∴2025 排在对应的 B 处，故答案为：正数，B．
变式应用
【变式 01】（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数n ，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称n 为“差方数”． 例如：
8  32 12 ，且3 1  4  22 ，所以8 是“差方数”． 则第50 个“差方数”是．
【答案】20000
【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 2k 1 和 2k 1 ，其中 k 为正整
数，根据差方数的定义可知4k  a2 ，其中a 为偶数， k 为整数，根据“差方数”的定义可知n  8b2 ，当
b  50 时，代入求出第50 个“差方数”即可．
【详解】解：设两个连续奇数为 2k 1 和 2k 1 ，其中 k 为正整数，
则平方差为
(2k 1)2  (2k 1)2  8k ，即
n  8k ，
Q两个连续奇数的和为 2k 1  2k 1  4k ，且4k 必须为某个正整数的平方，
a2
设 4k  a2 ，则
k ，
4
Q k 为整数，
 a 必须为偶数，
令a  2b ，则 k  b2 ，
代入得 n  8b2 ，
“差方数”为 8b2 ，其中 b 为正整数，
第50 个“差方数”对应b  50 ，
即 n  8 502  20000 ．
【变式 02】（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数n1  5 ，计算
n1·3n1 1 得a1 ．第二步：算出a1 的各位数字之和得n2 ，计算n2·3n2 1 得a2 ．第三步：算出a2 的各位数字之和得n3 ，计算n3·3n3 1 得a3 ……以此类推，则a2025 的值为．
【答案】14
【分析】本题考查代入求值，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算发现an 的值循环出现，周期为 3，据此进行解答即可．
【详解】解：由题意，
n1  5，a1  53 5 1  80 ；
n2  8  0  8，a2  83 8 1  200 ； n3  2  0  0  2，a3  2 3 2 1  14 ； n4  1 4  5，a4  53 5 1  80 ；
…，
发现an 的值是80, 200,14 循环出现，周期为 3，
2025  3  675 ，
故a2025  14 ． 故答案为：14 ．
【变式 02】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线DA B C D A …是
21 1 1 1 2
由多段圆心角为90 的圆弧组成的． B‸C 的圆心为点C ，半径为CB1 ， C‸D 的圆心为点 D，半径为
1 11 1
DC1 ，…， D‸A ， A‸B ， B‸C ， C‸D 的圆心依次为 A, B, C, D 循环，则弧 A2024 B2024 的长是．
11 11 11 1
【答案】 4047π
2
【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题关键是根据图形求出弧长半径的规律．先观察图形，分别找
出DA1B1C1D1 A2 的半径，从而得到后一段90 的圆心角所对的弧比相邻的前一段90 的圆心角所对的弧的半
1nnnAB
径大 2 ，从而求出 A2 B2 、A3 B3 、A4 B4 的半径，从而找出规律，求出 2024 2024 的半径，最后根据弧长公式求出
弧长即可．
nn3nn
【详解】解：由题意可知： A1B1
5 …，
2
的半径为1， B1C1
的半径为 2 ， C1D1
的半径为2 ， D1 A2
的半径为
∴后一段90 的圆心角所对的弧比相邻的前一段90
1
的圆心角所对的弧的半径大 2 ，
n
∴ A2 B2
的半径为3 ，即2  2 1  3 ，
n
A3 B3
的半径为5 ，即2  3 1  5 ，
n
A4 B4 的半径为7 ，即2  4 1  7 ，
…，
n
∴ An Bn 的半径为： 2n 1，
n
∴ A2024 B2024
的半径为： 2  2024 1  4047 ，
∴ A n的长为： 90π 4045 = 4047π ，
2024 B2024
故答案为： 4047π ．
2
1802
技法07无关型运算
知识必备
合并同类项法则 依据 axⁿ + bxⁿ = (a+b)xⁿ，将含特定字母项合并，整理成标准多项式形式，便于观察系数，确保化简彻底。
系数为零性质 若结果与某字母无关，则该字母各项系数之和为 0，据此列方程求解参数，注意常数项不受影响，独立于该字母。
多项式恒等原理 若 A = B 恒成立，则对应项系数相等，常用于处理复杂无关型问题，通过对比系数建立方程组，求解多个参数值。
答题技法
将代数式化简整理为关于该字母的多项式。令含该字母项的系数为零，建立关于参数的方程，求解即可得参数值。
母题精讲
【典例 01】已知(3x  m)(x2  x 1) 的展开式中不含 x 的二次项， (a  2b)2  (1 b)2  0 ，求：
m 的值；
(a  b)m 的值．
【答案】(1) m  3 ；
(2) 27 ．
【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项，因式分解，以及非负性．
根据多项式乘多项式的法则，进行化简后，根据展开式中不含 x 的二次项，得到 x 的二次项的系数为
0，求出m 的值，即可；
将等式的左边进行因式分解后，利用非负性求出a, b 的值，再将a, b, m 的值代入代数式求值即可．
【详解】（1）解： (3x  m)(x2  x 1)  3x3  3x2  3x  mx2  mx  m  3x3  (3  m)x2  (3  m)x  m ，
∵展开式不含 x 的二次项，
∴ 3  m  0 ，
∴ m  3 ；
（2）∵ (a  2b)2  (1 b)2  0 ，且(a  2b)2  0 ， (1 b)2  0
∴ a  2b  0 ，1  b  0 ，
∴ a  2 ， b  1 ，
∴ (a  b)m  (2 1)3  27 ．
变式应用
【变式 01】（18-19 九年级·四川成都·自主招生）五张如图所示的长为a ，宽为b a＞b 的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形 ABCD 中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右
下角的阴影部分的面积的差的绝对值为S ，当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式， S 始终保持不变，则a ， b 满足的关系式为（）
a  2b
a  3b
3a  2b
2a  3b 1
【答案】A
【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．
用含a ， b ， BC 的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到S ，因为当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式， S 始终保持不变，所以可推得 BC 前的系数值为 0，则问题可解．
【详解】解：由题意有， S左上角  2bg BC  a ， S右下角  ag BC  3b ，
 S  S左上角  S右下角  2b· BC  a  a· BC  3b  2b  a BC  ab ．
Q当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式， S 始终保持不变，
 2b  a  0 ，
 a  2b ．故选：A．
【变式 02】（14-15 九年级·河南郑州·月考）课堂上，王老师出了这样一道题：
x2  2x 1 
x  3 
3

已知 x  2015  5
，求代数式
x2 1
1 x 1  的值．
小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与 x 无关” 解答过程如下：
原式 =
 x 12
 x 1 x 1 
x 1 x  3 ①
x 1
=
 x 1
 x 1 ②
=  x 1  x 1 ③
 x 12  x 1
=
1 ④
2
从原式到步骤①，用到的数学知识有：；
步骤②中的空白处的代数式为：；
从步骤③到步骤④，用到的数学知识有：．
【答案】（1）因式分解，通分，分解因式中的完全平方公式和平方差公式，分式的基本性质；(写对一个
即可) （2） 2x  2 （或 2(x 1) ）；（3）约分（或分式的基本性质）．
x 1
x  1
【详解】试题分析：先算括号内的，同时将第一个分式分子分母分解因式，最后用除法法则转化为乘法，约分即可．
试题解析：（1）因式分解，通分，分解因式中的完全平方公式和平方差公式，分式的基本性质 (写对一个即可) ；
（2） 2x  2 （或 2(x 1) ）；
x 1
x  1
（3）约分（或分式的基本性质）．考点：分式的化简求值．
【变式 03】（2025·河北沧州·模拟预测）在化简整式 x  2■ x  2  ▲中，“ ■ ”表示运算符号“  ”“ ”中的某一个，“ ▲ ”表示一个整式．
(1)若 x  2 x  2 ▲  2x2  3 ，求出整式▲ ；
(2)已知 x  2■ x  2  ▲的计算结果是二次单项式，当▲ 是常数项时，直接写出■ 表示的符号及▲ 的值．
【答案】(1) x2 1
(2) ， 4
【分析】（1）由 x  2 x  2 ▲  2x2  3 可得▲  2x2  3   x  2 x  2 ，利用平方差公式及整式的混合运算法则即可得出答案；
（2）由 x  2■ x  2 ▲的计算结果是二次单项式且▲ 是常数项可得■ 表示的运算符号是“ ”，进而可
得 x  2■ x  2 ▲   x  2 x  2 ▲  x2  4 ▲ ，由计算结果是二次单项式且▲ 是常数项可得
4 ▲  0 ，解方程即可求出▲ 的值．
【详解】（1）解：Q x  2 x  2 ▲  2x2  3 ，
▲  2x2  3   x  2 x  2
 2x2  3  x2  4
 2x2  3  x2  4
 x2 1 ；
（2）解：Q x  2■ x  2 ▲ 的计算结果是二次单项式，且▲ 是常数项，
■ 表示的运算符号是“ ”，
 x  2■ x  2 ▲   x  2 x  2 ▲  x2  4 ▲，
Q计算结果是二次单项式，且▲ 是常数项，
4 ▲  0 ，解得： ▲  4 ，
▲的值为4 ．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，整式的加减运算，计算多项式乘多项式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握整式的运算法则及平方差公式是解题的关键．
技法07数与式运算的应用
知识必备
文字语言转化 关键词“和差积商”对应加减乘除，注意“倒数”“相反数”概念，将文字语言准确转化为代数式，避免逻辑错误。
常见数量关系模型 掌握路程=速度×时间，工作总量=效率×时间，利润=售价 - 成本，利率=利息/本金等基础公式，快速构建模型。
整体代入求值 先化简再代入，注意整体代入思想，处理分数或负数代入时加括号，确保运算顺序正确无误，减少计算量。
分段与梯度计费 识别水费、电费等分段模型，用代数式表示不同区间费用，如费用=基础价 + 超额价×(总量
- 临界值)，注意分类讨论。
结果实际意义检验 注意单位统一与换算，结果需符合实际情境（如人数为正整数），检验解的合理性，排除不符合实际的解。
答题技法
审题找出关键数量关系，用字母表示未知量。构建代数式或方程模型，求解后检验结果是否符合实际意义及单位。
母题精讲
【典例 01】（2025·河北邢台·模拟预测）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位
数为“友好数对”．例如： 43 68  34 86  2924 ，所以 43 和 68 是“友好数对”．
(1) 21 和 36“友好数对”．（填“是”或“不是”）
(2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为 a，个位数字为 b，且a  b  0 ；另一个数的十位数字为 c，个位数字为 d，且c  d  0 ，请找出 a，b，c，d 之间存在一个等量关系，并说明理由．
【答案】(1)是
(2) ac  bd ；理由见解析
【分析】本题考查了新定义，对于数的表示、整式的运算，多项式乘多项式等知识点，理解新定义列出整式是解题的关键．
根据“友好数对”的定义解答即可；
根据题意可得这两个数分别为10a  b 、10c  d  ，再由交换位置后的两个数分别为10b  a 、
10d  c ，然后结合“友好数对”的定义，可得99ac  99bd ，即可解答．
【详解】（1）解： 21 36  756 ，
12  63  756 ，
21 36  12  63  756 ，
所以 21 和 36 是“友好数对”．故答案为：是．
（2）解：这两个数分别为10a  b 、10c  d  ，交换位置后的两个数分别为10b  a 、10d  c ，可得： 10a  b10c  d   10b  a10d  c ，
即100ac 10ad 10bc  bd  100bd 10bc 10ad  ac ，所以99ac  99bd ，
即ac  bd ，
a，b，c，d 之间存在一个等量关系为ac  bd
变式应用
【变式 01】如图，在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm2 和12cm2 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） cm2 ．
3
16  8
12  8
C． 8  4
4  2
3
3
3
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出CD 、 BC 的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出CD 、 BC ，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：Q在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm2 和12cm2 的两张正方形纸片，
12
小正方形边长为：
 2 3cm，大正方形边长CD 为
 4cm，
16
3
 BC  2 4cm ，
3
3
图中空白部分的面积为： S长方形 12 16  CD  BC  28  4 2 4  28  812cm2 ，
故选：B．
【变式 02】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a, b, c ，则该三角形的面积为
1  a2  b2  c2 2 
S a2b2    ．现已知VABC 的三边长分别为a  3, b  2, c  5 ，则VABC 面积为
11
4 2 
（ ）
1 11
4
【答案】B
1 11
2
​
1 15
2
【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把a 
3，b  2，c 
代入计
5
算即可．
【详解】解：Q a  3，b  2，c  5 ，
 a2  3，b2  4，c2  5 ，
1 
4 
a2b2  
 a2  b2  c2 2 

2
 
 
 S 
1 
4

3 4 


 3  4  5 2 
2
 
 

4
1 12 12 
 11
4
 11 ，
2
故选：B．
技法08自定义运算
知识必备
新定义代入规则 严格遵循 a ⊗ b = 式 格式，将对应位置数值或式子代入，不可混淆顺序，注意括号整体代入，避免符号错误。
运算优先级处理 注意括号优先，先算括号内自定义运算，再算外部，避免顺序错误导致结果偏差，逐步计算，确保每一步合规。
转化为常规方程 将自定义符号运算转化为常规四则运算或方程不等式，利用移项、去分母等方法求解未知数，回归基础运算逻辑。
答题技法
审题找出关键数量关系，用字母表示未知量。构建代数式或方程模型，求解后检验结果是否符合实际意义及单位。
母题精讲
【典例 01】（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数 a，b，新定义一种运算“※”如下：
a  b
b  a
a※b （ b  a ），则2※6 ．
3
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．根据新定义运算的规则计算即可．
【详解】解： 2※6
2  6
6  2

12
4

 3 ．
故答案为： 3 ．
变式应用
【变式 01】（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数 a，b，有
a★b  a2  2b ．
求3★2 的值；
若a  5105 , b  2 1010 ，求a★b 的值（结果用科学记数法表示）．
【答案】(1)13
(2) 2.1 1011
【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键．
根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可；
根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果．
【详解】（1）解：由题意，得3★2  32  2 2  13 ；
（2）解： a★b  5 105 2  2  2 1010 
 25 1010  4 1010
 211010
 2.11011 ．
【变式 02】（2025·河北·模拟预测）对于三个实数 a，b，c，用 F{a，b}表示这两个数的平方差，用
max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如： F{1，2}  12  22  1 4  3 ， max{1，2，1}  2 ， max{2，1，1}  2 ．
请结合上述材料，解决下列问题：
F{2，3}  ， max{22，22 ， 22}  ；
若 F a  2,3  maxa2 ,a2 1,  3，则负整数 a 的值是．
【答案】(1) 5 ，4
(2) 1
【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键．
由新定义即可求解；
首先得max{a2，a2 1,， 3}  a2 1，则得不等式(a  2)2  32  a2 1 ，解不等式，即可求得负整数 a
的值．
【详解】（1）解： F 2，3  (2)2  32  4  9  5 ，
max22，22 ， 22  max4，4， 4  4 ，故答案为： 5 ，4；
（2）解：∵ a2 1  a2  0  3 ，
∴ maxa2，a2 1, 3  a2 1 ，
∵ F a  2,3  maxa2 ,a2 1,  3，
∴ (a  2)2  32  a2 1 ，
解得： a   3 ，
2
满足条件的负整数为1，故答案为： 1．
实 战 演 练
巩固提升
1．（2024·广东·模拟预测）如图，在第1个VA1BC 中， B  20 ， A1B  CB ；在边 A1B 上任取一点 D ，延长CA1 到 A2 ，使 A1 A2  A1D ，得到第2 个V A1 A2 D ；在边 A2 D 上任取一点 E ，延长 A1 A2 到 A3 ，使
A2 A3  A2 E ，得到第3 个△A2 A3 E ， ，按此方法继续下去，第2024 个等腰三角形的底角度数是 ．
80
【答案】 22023
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得BA1C 的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出DA2 A1 , EA3 A2 , FA4 A3 ，L的度数，找出规律即可求解．
【详解】解：QB  20，A1B  CB ，
∴ BAC  1 180  20  80 ，
12
 1 0
2
即第一个等腰三角形的底角度数为 
 
 80 ；
Q A1 A2  A1D ，
∴ DA A  1 BAC  1  80  40 ，
2 1212
 1 1
2
即第二个等腰三角形的底角度数为   80 ；
 
同理可得：
1 1 2
 
第三个等腰三角形的底角度数为EA3 A2  2 DA2 A1   2 
 80 ；
1 1 3
 
第四个等腰三角形的底角度数为FA4 A3  2 EA3 A2   2 
 80 ；
…
 1 n1
2
综上所述，第n 个等腰三角形的底角的度数是 
 
 80 ；
 1 20241
2
∴第2024 个等腰三角形的底角度数是 
 
 80 ，
80
故答案为： 22023 ．
【点睛】本题考查等腰三角形中角度规律，涉及等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性
质等知识，由前面几个等腰三角形，找出底角度数规律是解题的关键．
2．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在20dm2 以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位： dm ）．
小悦的作品（填“是”或“否）符合参赛标准；
小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约
2
为dm （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据： 1.41 ）．
【答案】是19.7
【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和顺序是解题的关键．
根据长方形的面积公式列式计算即可；
32
18 32
根据长方形的周长公式列式计算即可．
【详解】解：（1）由题意可知，
18 
 24 dm2 
∵ 24  20 ，
∴小悦的作品符合参赛标准．
故答案为：是；
18
2
2
（2）由题意可得， 2  32   2 3 4 2   14 19.7 dm
∴需要彩条的长度约为19.7dm ．故答案为：19.7 ．
3．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题．
(1)图 5 中共有个黑色小正方形，图 n（n 为正整数）中共有个黑色小正方形．
(2)若某个图形中共有 116 个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？
【答案】(1)65； 4 n  12  1
(2)该图形中共有 325 个黑色小正方形
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第 n 个图案中有4 n  12  1个黑色小正方形．
根据题干找到规律即可解答；
根据题意列出方程解答即可．
【详解】（1）解：图 1 中共有4 112 1  1 个黑色小正方形，图 2 中共有4 2 12 1  5 个黑色小正方形，
图 3 中共有4 3 12 1  17 个黑色小正方形，图 4 中共有4 4 12 1  37 个黑色小正方形，图 5 中共有4 5 12 1  65 个黑色小正方形，
故图 n（n 为正整数）中共有4 n  12  1个黑色小正方形．故答案为：65； 4 n  12  1．

（2）解：由题意，得图 n 中共有2n 12 个小正方形，则2n  12  4 n  12  1  116 ，
解得n  10 ，
 4 n  12  1  4  10  12  1  325 ． 答：该图形中共有 325 个黑色小正方形．
4．（2025·河北唐山·三模）已知 A 、 B 是多项式， M 是单项式， A  2a  b ， B  M  b ，且 A  B 是单项
式．
(1)求单项式M ；
(2)嘉嘉给的是C  8a2  4ab ，请你通过计算推断嘉嘉给出的C 能否使 A  B  C 成为完全平方式．
【答案】(1) 2a
(2)嘉嘉给出的C 能使 A  B  C 成为完全平方式
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
计算 A  B 后根据其结果为单项式即可求得答案；
结合1 中所求计算 A  B  C ，判断结果是否为完全平方式即可．
【详解】（1）解：Q A  2a  b ， B  M  b ，
 A  B  2a  b  M  b  2a  2b  M ，
Q A 、 B 是多项式， M 是单项式， A  B 是单项式，
 M  2a ；
（2）解：Q A  2a  b ， B  2a  b ， C  8a2  4ab ，
 A  B  C
 2a  b2a  b  8a2  4ab
 b2  4a2  8a2  4ab
 4a2  4ab  b2
 (2a  b)2 ，
嘉嘉给出的C 能使 A  B  C 成为完全平方式．
5．（2025·山东济宁·三模）（1）已知α 是锐角，且sin α  15 
3 ，计算
2
8
 4csα  π  3.140
 1 1
 tanα   
3
 
的值．

（2）先化简，再求值： 3x  y 3x  y    x  y 2  2 y2  2x ，其中 x  2 ， y  1．
【答案】（1）3；（2） 4x  y ； 7
【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，整式混合运算法则，进行计算即可．
先根据sin α  15 
3 得出α  15  60 ，求出α  45 ，根据零指数幂运算法则，负整数指数幂运算
2
法则，二次根式运算法则，进行计算即可；
先根据整式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可．
【详解】解：（1）∵ sin α  15  3 ，
2
∴ α  15  60 ，
∴α  45 ，
∴
 4csα  π  3.140
 1 1
 tanα   
3
 
8
2
 2 4 cs 45 1 tan 45  3
2
 2
2
 2
 3 ；
 4 
2
 2
2 11 3
2
 1  1  3

（2） 3x  y 3x  y    x  y 2  2 y2  2x
 9x2  y2  x2  2xy  y2   2 y2  2x
 9x2  y2  x2  2xy  y2  2 y2  2x
 8x2  2xy  2x
 4x  y ，
把 x  2 ， y  1代入得：
原式 4 2 1  8 1  7 ．
6．（2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题：
3
12
27
3 2
 2；
2 
3 2 
3  2 
 
2 0 ．
3
【答案】(1) 5
3
(2) 
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
先化简二次根式，再计算加减即可；
12
27
先计算平方差公式、绝对值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可．
3
【详解】（1）（1）解：
 2
3
3
3
 2 6
3
 5；
3 2
（2）解： 2  3 2  3  2   2 0
 4  3  2  3 1
2
3
 11
  3 ．
7．如图，“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为am （ a  1 ）的正方形去掉一个边长为 1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为a 1 m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg ．
哪种小麦的单位面积产量高？
在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收 1 号”和“丰收 2 号”小麦试验田隔离网的总造价分别为 1800 元和 3300 元，且“丰收 2 号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收 1 号”小麦试验田的隔离网每米造价的 2 倍，求 a 的值．
【答案】(1)“丰收 2 号”单位面积产量为高 (2)12
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键．
根据产量除以试验田面积，再比较出两块试验田单位面积产量的大小即可；
用 a 表示出两块试验田的周长，再由丰收 2 号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收 1 号”小麦试验
田的隔离网每米造价的 2 倍解答即可．
500
500
【详解】（1）解：由题意，得：“丰收 1 号”单位面积产量为 a2 1 ，“丰收 2 号”单位面积产量为a 12 ，
∴ 500  500  500 a 1  500 a 1   1000 ，
a2 1
a 12
a 12 a 1a 12 a 1
∵ a  1 ，

500
∴ a2 1
500
a 12
 1000
a 12 a 1
 0 ，

500
∴ a2 1
500
a 12 ，
∴“丰收 2 号”单位面积产量高；
（2）由图可知，“丰收 1 号”和“丰收 2 号”小麦的试验田的周长分别为4a, 4 a 1 ，
∵丰收 1 号”和“丰收 2 号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为 1800 元和 3300 元，且“丰收 2 号”小麦试验田的隔离网每 m 造价是“丰收 1 号”小麦试验田的隔离网每 m 造价的 2 倍，
3300
∴ 4 a 1
 2  1800 ，
4a
解得a  12 ，
经检验， a  12 是方程的解，
∴a 的值为 12．
8．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
具体运算，发现规律．
特例 1： 1 1 3 1  4  1  2 1 ，
3333
1
4
特例 2： 2  1  8 1  9  1  3，
444
特例 3：
3  1  4，
1
5
5
特例 4：
4  1 ．
6
观察、归纳，得出猜想．
如果n 为正整数，按此规律第n 个式子可以表示为：．
应用运算规律：
2024 
1
2026
①化简：
4052
．
a  1
b
②若
 11
（ a，b 均为正整数），则a  b ．
1
b
1
6
【答案】(1) 5
n 
1
n  2
(2)
 n 1
（ n 为正整数）
1
n  2
2
(3)① 2025；②22
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键．
观察特例可得结论；
观察特例与结果间及数字间关系得结论；
2024 
1
2026
①先计算
，再算二次根式的乘法得结论；
1
6
②根据（2）中总结的规律得到 a、b 间关系并求出 a、b，最后算出结果．
4  1
6
【详解】（1）解：
 5．
1
6
故答案为： 5；
解: 当n 为正整数，按此规律第n 个式子可以表示为
 n 1，
n 
1
n  2
1
n  2
2024 
1
2026
4052
解: ①
 2025
 2025 
1
4052
1
2026
 4052
2026
1
b
n 
1
n  2
1
n  2
 2025 2 ；
a  1
b
②∵
 11
(a，b 均为正整数)，
 n 1
∴ a 1  11， b 1  11 ，解得a  10 ， b  12 ，
∴ a  b  10  12  22 ．
9．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图 1 所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4dm2 ， 8dm2 和18dm2 的正方形木板 A，B，C．
木板①中截出的正方形木板 A 的边长为dm ，B 的边长为dm ，C 的边长为
dm ；
求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
乙木工想采用如图 2 所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2 的正方形木板，请你判断
能否截出，并说明理由．
2
2
【答案】(1)2， 2， 3
2
阴影部分面积为1010dm2 ；
不能截出；理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
根据正方形的面积，即可求出边长；
先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；
求出两个面积为16dm2 的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板 A 的面积为4dm2 ，正方形木板 B 的面积为8dm2 ，正方形木板 C 的面积为18dm2 ，
4
8
∴正方形木板 A 的边长为 2dm ，正方形木板 B 的边长为 2 2 dm ，正方形木板 C 的边长为
18
 3 2 dm ，
2
故答案为：2， 2， 3 2 ；
解：∵正方形木板 A 的边长为2dm ，正方形木板 B 的边长为2 2dm ，正方形木板 C 的边长为
3 2dm ，
∴长方形木板①的长为5 2dm ，宽为2  2 2 dm ，
2
∴阴影部分面积为5 2 2  2 2  4  8 18  1010 dm2  ；
解：不能截出；
理由：
 4 ， 2  4  8 ，
16
∴两个正方形木板放在一起的宽为4dm ，长为8dm ．
由（2）可得长方形木板的长为5 2dm ，宽为2  2 2 dm ．
2
∵ 2  2
4 ，但5
 8 ，
2
∴不能截出．
10．（2025·安徽合肥·二模）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【思考与推理】老师提供了下列一组等式：第一个等式：1  2 1  1  4 ；
第二个等式： 4  2  2  1  9 ；第三个等式： 9  2  3 1  16 ；第四个等式：16  2  4 1  25 ；
…
第 n 个等式可写为： n2  2n 1  n 12
老师引导同学们将这 n 个等式相加，做了如下推理：

1  2 1  1  4  2  2  1 L n  12  2n  1  1  n2  2n  1  4  9 L n2  n  12
整理得，1  4  9 L n2   2  1  2 L n  n  4  9 L n2   n  12
……
 1 2  3 L n  …
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．第一个等式：13  3  12  1  1  23 ；
第二个等式： 23  3  22  2  1  33 ；第三个等式： 33  3  32  3  1  43 ；第四个等式： 43  3  42  4  1  53 ；
……
【问题解决】
请你完成【思考与推理】中省略的步骤．
你能写出【类比推广】中的第 5 个等式：；猜想第 n 个等式：
，请你证明这个猜想．
你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于12  22  32 L n2 的公式．
【答案】(1)详见解析
53  3  52  5  63 ， n3  3n2  n  1  n  13 ，证明见解析
22222n3  3n2  n
1  2
 3 L n 
，见解析
6
【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键．
根据等式的性质以及完全平方公式计算即可；
根据已知的前 4 个等式总结出第 5 个等式，以及第 n 个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式
乘多项式展开即可证明相等；
先通过n3  n 13  3n2  3n 1 ，将等式中的n 从1、2 、3 、依次取到n 时，就可得n 个等式，再累加即可，
【详解】（1）解：剩余步骤为：1 2 1 2 L n  n  n 12 ，
∴ 2 1 2 L n  n 12 1 n  n2  2n 11 n  n2  n ， n2  n
∴1 2 L n ；
2
解：【类比推广】中的第 5 个等式： 53  352  5  63 ；猜想第 n 个等式：
n3  3n2  n 1  n 13 ，
证明：左边 n3  3n2  3n 1，
右边 n 12 n 1  n2  2n 1n 1  n3  n2  2n2  2n  n 1  n3  3n2  3n 1，
∵左边 右边，
∴原式成立；
解：Q n3  (n 1)3  n3  n2  2n 1n 1  n3  n3  n2  2n2  2n  n 1  3n2  3n 1，
当式中的n 从1、2 、3 、依次取到n 时，就可得下列n 个等式：
13  03  3  3 1 ，
23 13  3 22  3 2 1 ，
33  23  3 32  3 3 1 ，
，
n3  (n 1)3  3n2  3n 1 ，
将这n 个等式的左右两边分别相加得： n3  312  22  32  n2   31 2  3  n  n ，即12  22  32  42  n2
n3  31 2  3  n  n

3
n3  3 n n 1  n
 2 3
2n3  3n n 1  2n

6
2n3  3n2  n
．
6
冲刺突破
1．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：  xy, x2 y3,  x3 y5, x4 y7,L，探究发现其中规律，你认为从左到右第 15 个单项式是（ ）
 x15 y27
 x15 y29
x13 y27
x13 y29
【答案】B
【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键．先找出规律，再得出第 15 个单项式．
【详解】解：观察可得，从左到右第n 个单项式是1n xn y2n1 ，
∴第 15 个单项式是 x15 y29 ，故选：B．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4 个小正方形，拼第2 个正方形需要9 个小正方形，按照这样的方法拼成的第6 个正方形需要（ ）个小正方形．
A． 30B． 40C． 49D． 56
【答案】C
【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解．
【详解】解：拼第一个正方形需要4  112 个小正方形；拼第二个正方形需要9  2 12 个小正方形；
拼第三个正方形需要16  3 12 个小正方形；
．．．．．．
按照这样的方法拼成的第n 个正方形需要n 12 个小正方形；
第六个正方形需要6 12  49 个小正方形，故选：C．
2
3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点 A 所表示的数是，则与点 A 相距 2 个单位长度的点表示
的数是（ ）
2
​
 2 或 2
2 或2 C．
 2D． 2
2
2
2
2
2
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点 A 的左侧或右侧，分别计算即可．
2
【详解】解：数轴上点 A 表示的数是，与点 A 相距 2 个单位长度的点可能在点 A 的左侧或右侧．
2
当该点在点 A 右侧时，表示的数为
 2 ．
2
当该点在点 A 左侧时，表示的数为
 2 ．
2
因此，符合条件的数为
 2 或 2
2
故选 A．
4．（2025·山东滨州·中考真题）如果☆  5   1 ，则“☆”表示的数是．
 9 

【答案】 9
5
【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以  5 
或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值．
 9 

【详解】解：Q☆  5   1 ，
 9 

☆ 1  5   1  9    9 ，
 9  5 5

故答案为：  9 ．
5
5．（2025·山东淄博·中考真题）画 1 条直线，最多把 1 张圆形纸片分割成 2 块区域；画 2 条直线，最多把 1 张圆形纸片分割成 4 块区域；
画 3 条直线，最多把 1 张圆形纸片分割成 7 块区域；
……
如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于 5000 块，则至少要画的直线条数是．
【答案】100
 n n 1 
【分析】本题考查规律问题，先得到 n 条直线，最多把 1 张圆形纸片分割成12 块区域，根据题

意可得n n 1  9998 ，然后得到 n 的最小整数解即可．
【详解】解：画 1 条直线，最多把 1 张圆形纸片分割成2  11块区域；画 2 条直线，最多把 1 张圆形纸片分割成4  11 2 块区域；
画 3 条直线，最多把 1 张圆形纸片分割成7  11 2  3 块区域；
……
 n n 1 
画 n 条直线，最多把 1 张圆形纸片分割成11 2  3 L n  12 块区域；

∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于 5000 块，
∴1 n n 1  5000 ，即n n 1  9998 ，
2
又∵ 99 100  9900  9998 ，100 101  10100  9998 ，
∴至少要画的直线条数是100 条，故答案为：100 ．
6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第 n 个图形中黑色棋子的个数为．（用含 n 的代数式表示）
【答案】3n 1 / 1 3n
【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多 3 个黑色棋子即可解决．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有4  311 个黑色棋子，第二个图形有7  3 2 1 个黑色棋子，第三个图形有10  3 3 1 个黑色棋子，
…，
第 n 个图形有3n 1 个黑色棋子，
故答案为： 3n 1 ．
7．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第 1 个图案用了 3 个矩形，第 2 个图案用了 5 个矩形，第 3 个图案用了 7 个矩形，……则第 10 个图案需要用矩形的个数为 ．
【答案】21
【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第
1 个图案中矩形的个数：1 2  3 ；第 2 个图案中矩形的个数：1 2  2  5 ；第 3 个图案中矩形的个数：
1 2  3  7 ；…第 n 个图案中矩形的个数：1 2n ，算出第 10 个图案中矩形个数即可．
【详解】解：∵第 1 个图案中矩形的个数：1 2  3 ；第 2 个图案中矩形的个数：1 2  2  5 ；
第 3 个图案中矩形的个数：1 2  3  7 ；
…
第 n 个图案中矩形的个数：1 2n ，
∴则第 10 个图案中矩形的个数为：1 2 10  21，故答案为：21．
8．（2025·新疆·中考真题）对多项式 A，B，定义新运算“  ”： A  B  2 A  B ；对正整数 k 和多项式 A，
定义新运算“ ”： k  A  1A4444A44 42A44444444A3 （按从左到右的顺序依次做“  ”运算）．已知正整数 m，n 为
k个A
常数，记 M  m  x2  31xy  ， N  n   y2  14xy  ，若M  N 不含 xy 项，则mn  ．
【答案】15
【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据k  A  1A4444A44 42A44444444A3 ，令
k个A
k  1, 2, 3L，求出相应的结果，进而推导出当k  m 时的结果，利用新定义，求出M , N ，再根据新定义求出M  N ，根据M  N 不含 xy 项，得到 xy 项的系数为 0，进行求解即可．
【详解】解：∵ k  A  1A4444A44 42A44444444A3 ，
k个A
∴当k  1 时，1 A  A  21 1 A ；
当k  2 时， 2  A  A  A  2 A  A  3A  22 1 A ，
当k  3 时， 3  A  A  A  A  3A  A  2  3A  A  7 A  23 1 A ，
当k  4 时， 3  A  A  A  A  A  3A  A  A  7 A  A  15A  24 1 A ，
L
∴当k  m 时， m  A  2m 1 A ，当k  n 时， n  A  2n 1 A ，
∴ M  m  x2  31xy   2m 1 x2  31xy ， N  2n 1 y2 14xy  ，
∴ M  N  2M  N  2 2m 1x2  31xy   2n 1 y2 14xy 

 2m1  2 x2  2n 1 y2  62  2m 1 14 2n 1 xy ，
∵ M  N 不含 xy 项，
∴ 62  2m 1 14 2n 1  0 ，
∴ 31 2m 1  7 2n 1  0 ，
设2m  a, 2n  b ，则： 31a  7b  24 ，
∴ b  31a  24 ，
7
∵ a, b 均为2 的整数幂，为偶数，

a  8
∴，
b  32
∴ 2m  8, 2n  32 ，
m  3

∴ n  5 ，
∴ mn  15 ；
故答案为：15．
9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
【答案】11, 60, 61
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第 1 个数为 11，设第 2 个数为 x ，则第 3 个数为 x 1，根据勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第 1 个数为 11，设第 2 个数为 x ，则第 3 个数为 x 1，由勾股定理，得：112  x2   x 12 ，
解得： x  60 ，
∴ x 1  61；
∴第⑤组勾股数为11, 60, 61 ；
故答案为：11, 60, 61 ．
10．（2025·安徽·中考真题）对于正整数 n，根据 n 除以 3 的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 m：
若余数为 0．则m  n ；若余数为 1，则m  2n ；若余数为 2，则m  n 1．这种得到 m 的过程称为对 n 进
3
行一次“变换”．对所得的数 m 再进行一次变换称为对 n 进行二次变换，依此类推．例如，正整数n  4 ，根据 4 除以 3 的余数为 1，由4  2  8 知，对 4 进行一次变换得到的数为 8；根据 8 除以 3 的余数为 2，由 819知，对 4 进行二次变换得到的数为 9；根据 9 除以 3 的余数为 0，由9  3  3 知，对 4 进行三次变换得到的数为 3．
对正整数 15 进行三次变换，得到的数为；
若对正整数 n 进行二次变换得到的数为 1，则所有满足条件的 n 的值之和为．
【答案】211
【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
根据 15 除以 3 的余数为 0 可得第一次变换后的数为 5，再根据 5 除以 3 的余数为 2 可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
21310
（ ）第二次变换后的结果为 ，那么第一次变换后的结果为或 2 或 ，再验证这三个数是否可经过变换
后得 1 即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出 n 的三个值，再同理可验证符合题意的 n，据此可得答案．
【详解】解；（1）∵15  3  5…0 ，
∴15 进行一次变换后得到的数为15  5 ；
3
∵ 5  3  1…2 ，
∴15 进行二次变换后得到的数为5 1  6 ；
∵ 6  3  2…0 ，
∴15 进行三次变换后得到的数为 2，故答案为：2；
当对正整数 n 进行第一次变换后，所得的数除以 3 的余数为 0 时，则第一次变换后的数为1 3  3 ，
此时符合题意；
n
311
当对正整数进行第一次变换后，所得的数除以的余数为时，则第一次变换后的数为 2 ，此时不符合
题意；
当对正整数 n 进行第一次变换后，所得的数除以 3 的余数为 2 时，则第一次变换后的数为11  0 ，此时不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为 3，
当 n 除以 3 的余数为 0 时，则n  3 3  9 ，符合题意；
当 n 除以 3 的余数为 1 时，则n  3 ，不符合题意；
2
当 n 除以 3 的余数为 2 时，则n  3 1  2 ，符合题意；
∴符合题意的 n 的值是 9 或 2，
∴所有满足条件的 n 的值之和为2  9  11 ，故答案为；11．
 6  1  6  2  6  5 第一步
236
 3  4  5 第二步
 4 ．第三步

6 
3

 2
解： (6)  1  2  5 

6 
3

 2
计算： (6)  1  2  5  ．
11．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算： | 2 
| (2)2  1  1 
2
 24 

2
【答案】（1）原计算第一步开始出错； 2 ；（2）1 
【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
第一步计算分配律时符号出错；
按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．
【详解】解：（1）原计算第一步开始出错；
 236 
(6)  1  2  5 

 6  1  6  2  6  5
236
 3  4  5
 2 ；
（2） | 2 
| (2)2  1  1 
2
 24 

2
 2  4  1
4
2
 1
x  y
2xy  y2 
12．（2025·山东滨州·中考真题）已知 A  x  y ， B  x2  y2 ， C  x  ．
xx
若 A  1 ，求 C 的值；
B5
当 y  1，且3C 为整数时，求 x 的整数值．
【答案】(1) C  1
5
(2) x  2 或 4
【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解
题的关键：
化简 A ，得到 A 1，根据混合运算法则求出C 1，即可得出结果；
B
根据C 
1
x  y
Bx  y
，结合 y  1，得到C 
1
x 1
x  y
，进而得到3C 
3
x 1
，根据3C 为整数得到 x 1  3, 1，
且 x  0, x  1，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ A  x  y ， B  x2  y2 ，
∴ A  x  y 

x  y
1．
Bx2  y2
(x  y)(x  y)
x  y
x  yx2  2xy  y2x  yxx  yx1
C ．

xxxx2  2xy  y2
∴ C  A ．
B
∵ A  1 ，

x(x  y)2
x  y
B5
∴ C  1 ．
5
（2）由（1），得： C 
1
x  y ，
∴ 3C 
3
x  y ，
当 y  1时， 3C 
3
x 1 ．
∵ 3C 与 x 均为整数，
∴ x 1  1 或 x 1  3 ．
∴ x  0, 2, 4, 2 ，
又∵ x  0 且 x 1  0 ，
∴ x  0 且 x  1．
∴ x  2 或 4．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式 1 
3  a
的值，其中
 a  3a2  6a  9 a  3

a  2sin60  3tan45 ．
【答案】 1， 3
a  33
【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．
先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出a 的值，最后代入化简后的式子求值．

 1
【详解】解：
3  a
 a  3a2  6a  9 a  3
a
a  32

 a  3
a
1 ．
a  3
当a  2sin60  3tan45  2 
3  3  3 时，
3
2
原式 3 ．
3
3
51．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值． 22  2sin60  ．
x2  2x 1 2 
2

（2）先化简，再求值．x 11 x 1  ，其中 x 1．
2
【答案】（1）4；（2） x  1；
【分析】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（ sin60 ）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分
解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算．
先计算乘方(2)2 ；再代入特殊角三角函数值sin 60 
3 ，计算2 sin 60 ；接着化简绝对值
2
3
| 
| ；最后将各项结果进行加减运算．
先对括号内1
2
x 1
通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子 x2  2x 1因式分解（完全
2
平方公式）；然后约分简化分式；最后将 x 1代入化简后的式子计算．
3
【详解】（1） (2)2  2 sin 60 | |
3
 4  2  3 
2
3
3
 4 
 4
x2  2x 1 2 

（2）解：
x 1
1 x 1 
 (x 1)2  (x 1)  2

x 1x 1
 (x 1)2  x 1

x 1x 1
 x  1
2
2
2
当 x 1时，原式 (1) 1 
2
∴化简结果为 x  1，代入求值结果为．
14．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231 ，因为3  1  2 ，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265 是否为“极差数”？．
【建模推理】
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a, b, c ，则a 与b, c 的关系式为；
任意一个“极差数”都能被 11 整除吗？为什么？
【答案】理解定义：不是；建模推理：（1） a  b  c ；（2）任意一个“极差数”都能被 11 整除．理由见解析．
【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力．理解定义：根据定义进行验证即可；
建模推理：
根据“极差数”的定义即可求出答案；
设任意一个“极差数”的百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c，根据定义和（1）的结论即可求证．
【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为6  5  1，百位数字为2 ，
∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，
∴三位数265 不是“极差数”
故答案为：不是建模推理：
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a, b, c ，根据题意可得， a  b  c ，
故答案为： a  b  c ；
任意一个“极差数”都能被 11 整除．
证明：设任意一个“极差数”的百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c，
∵ a  b  c ，
∴100a 10b  c  100b 100c 10b  c  110b  99c  1110b  9c ，
∴100a 10b  c 能被 11 整除，
∴任意一个“极差数”都能被 11 整除． 15．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】
对正实数a ， b ，定义运算“ ”，满足a  b 
ab
a  b ．
例如：当a  0 时， 2a 1 
2a 1  2a ．

2a 12a 1
（1）当a  0 时，请计算： 2a 2a  ；
【探究运算律】
对正实数a ， b ，运算“ ”是否满足交换律a  b  b  a ？
Q a  b 
ab
a  b ，
b  a 
ba
b  a ，
 a  b  b  a ．
运算“ ”满足交换律a  b  b  a ．
对正实数a ， b ， c ，运算“ ”是否满足结合律a  b  c  a b  c ？请说明理由；
【应用新运算】
如图，正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 EFGH 拼成， AF  a ， BF  b ，且a  b ．若正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的面积分别为 26 和 16，则2a  b 2a 的值为．
【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 5
6
【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
直接按照新定义计算即可；
按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可；
由勾股定理得到a2  b2  26 ，由全等三角形的性质得到 EF  AF  AE  a  b ，则a  b2  16 ，然后展开求出ab ，再由完全平方公式变形得到a  b2  a  b2  4ab  36 ，求出a  b ，最后按照新定义结合
运算法则计算即可．
2a  2a
4a2
【详解】（1）解：由新定义得， 2a 2a  a ；
2a  2a4a
解：对正实数a ， b ， c ，运算“ ”满足结合律a  b  c  a b  c ，理由如下：
左边： a  b  c 
ab a  b
 c 
ab  c
a  b
ab  c
abc a  b
ab  ac  bc
abc，
ab  ac  bc
a  ba  b
a  bcabc
右边： a b  c  a  bc 

b  c b  c
abc
，
b  c
a  bcab  ac  bc
b  cb  c
ab  ac  bc
∴左边 右边，
∴对正实数a ， b ， c ，运算“ ”满足结合律a  b  c  a b  c ；
由题意得， AFB  90 ，
∴ AF 2  BF 2  AB2 ，
∵ AF  a ， BF  b ，且a  b ，正方形 ABCD 的面积为 26，
∴ a2  b2  26 ，
∵四个直角三角形全等，
∴ AE  BF  b ，
∴ EF  AF  AE  a  b ，
∵正方形 EFGH 的面积为 16，
∴a  b2  16 ，
∴ a2  b2  2ab  16 ，
∴ 26  2ab  16 ，
∴ ab  5 ，
∴a  b2  a  b2  4ab  16  4  5  36 ，
∴ a  b  6 （舍负），
∴2a  b 2a  2a 2a  b  a  b 
5
ab a  b
 5 ，
6
故答案为： ．
6
16．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．
［发现问题］
黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正n 边形，且各顶点连接r （ r  3 ）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
［提出问题］
小明思考：这样的正多面体有几个？
［分析问题］
正多面体
F
n
V
E
r
正四面体
4
3
4
6
3
正方体
6
4
8
12
3
正八面体
8
3
6
12
4
一个正 F 面体的每个面都是全等的正n 边形，有V 个顶点， E 条棱，且每个顶点都连接r 条棱．小明对部分正 F 面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据：
根据表中的数据，请写出 F 、V 、 E 之间存在的等量关系式；
小明进一步发现，正 F 面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有 6 个面，每个面都有 4 条边，则六个面的边数之和为 24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为 12．
正 F 面体的棱数 E  ．（用含n 、 F 的代数式表示）
②从顶点出发：正 F 面体的棱数 E  ．（用含r 、V 的代数式表示）
［解决问题］
已知一个正多面体有 30 条棱，且每个顶点连接 3 条棱，求这个正多面体的面数．
满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由．
【答案】（1） F  V  E  2 ；（2）① Fn ；② Vr ；（3）12 ；（4） 5 个
22
【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键．
观察数据即可解答；
①正 F 面体，它有 F 个面，每个面都有n 条边，则 F 个面的边数之和为 Fn ，又因为正 F 面体的两个
面共用一条边，所以正 F 面体的棱数为 Fn ；②正 F 面体，它有V 个顶点，且每个顶点都连接r 条棱，则
2
V 个顶点的棱数之和为Vr ，又因为正 F 面体的一条棱连接两个顶点，所以正 F 面体的棱数为Vr ；
2
上述公式列方程即可解答；
由题意可得 F  2E ，V  2E 代入 F  V  E  2 可得 2E  2E  E  2 ，整理后，利用r  3, n  3 逐一
nrnr
判断即可．
【详解】解：（1）根据观察可得 F  V  E  2 ，故答案为： F  V  E  2 ；
①正 F 面体，它有 F 个面，每个面都有n 条边，则 F 个面的边数之和为 Fn ，
Fn
又因为正 F 面体的两个面共用一条边，所以正 F 面体的棱数为 2 ，
Fn
故答案为：；
2
②正 F 面体，它有V 个顶点，且每个顶点都连接r 条棱，则V 个顶点的棱数之和为Vr ，
又因为正 F 面体的一条棱连接两个顶点，所以正 F 面体的棱数为Vr ，
2
故答案为： Vr ；
2
由题意可得 E  30 ， r  3，
V  2E  20 ，
r
根据（1）中公式可得 F  V  E  2 ，可得20  F  30  2 ，
解得 F  12 ，
则这个正多面体的面数为12 ；
由题意可得 F  2E ，V  2E ，
nr
代入 F  V  E  2 可得，
2E  2E  E  2 ，
nr
2E  2E  2  E ，
nr
1  1  1  1  1 ，
nrE22
Q n, r 为正整数，且n  3 ， r  3 ，
当n  3 时， r  3时， 1  1  2  1 ，故成立，
3332
当n  3 时， r  4 时， 1  1  7  1 ，故成立，
34122
当n  3 时， r = 5 时， 1  1  8  1 ，故成立，
35152
当n  3 时， r  6 时， 1  1  1 ，故不成立，
nr2
当n  4 时， r  3时， 1  1  7  1 ，故成立，
43122
当n  4 时， r  4 时， 1  1  1 ，故不成立，
nr2
当n  5 时， r  3时， 1  1  8  1 ，故成立，
53152
当n  5 时， r  4 时， 1  1  1 ，故不成立，
nr2
当n  6 时，无论r 取任何值， 1  1  1 ，故不成立，
nr2
综上，满足正多面体定义的几何体一共有5 个．