2026年中考数学二轮复习 专题04 函数实际应用(知识清单)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题04 函数实际应用(知识清单)，共9页。学案主要包含了典例 01，典例 02，典例 03，综合与实践，变式 01，变式 02，变式 03，素材 1等内容，欢迎下载使用。

内 容 导 航
第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦►考查形式►能力清单
第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论
母题精讲&答题技法
变式应用
技法 01
技法 04
技法 07
技法 09
解决营销问题
一次函数其他应用问题
二次函数的其它应用问题
技法 02
技法 05
技法 08
函数方案问题
二次函数图形问题
技法 03一次函数行程问题
技法 06二次函数实物建模问题
与反比例函数有关的跨学科问题
反比例函数与其它函数的实际应用
第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁
命 题 解 码
考向聚焦
技法 01解决营销问题：主要考查将销售中的数量关系抽象为函数模型的能力。常以求一次函数或二次函数解析式为基础，结合不等式求自变量取值范围，最终利用函数性质求
最大利润。
技法 02函数方案问题：重点考查方案设计与择优的建模能力。常以“租车方案”“进货方案”等形式出现，要求根据限制条件列出函数关系式，通过不等式组确定可行方案，
并从中选择最优解。
技法 03一次函数行程问题：考查从函数图象中获取信息解决行程问题的能力。常以两车（或两人）运动为背景，图象表示距离与时间的关系，要求求速度、相遇时间、相距距
离等。
技法 04一次函数其他应用问题：涉及用其它等实际情景。常考查分段函数的理解与应
用，要求根据图象写出解析式，比较函数值。
技法 05二次函数图形问题：考查利用二次函数解决几何图形中的面积最值问题。常见
类型：用篱笆围矩形场地、在三角形或矩形内截取图形等，要求确定边长使面积最大。
技 法 清 单
技法01解决营销问题
知识必备
一次函数、二次函数的解析式与性质、一元一次不等式（组）、利润公式、最值问题、自变量取值范围的确定。
答题技法
牢记利润问题核心公式：总利润＝(售价－进价)×销售量。先根据“每涨价 x 元，销量减少 y 件”等条件确定销售量与售价的函数关系，再代入利润公式得到二次函数，最后在自变量取值范围内利用顶点坐标求最值
（注意顶点是否在范围内）。
技法 06二次函数实物建模问题：以抛物线形实物（如拱桥、喷泉、投篮轨迹）为背
景，考查建立坐标系求二次函数解析式的能力。常要求计算高度、宽度或判断是否通过某
点。
技法 07二次函数的其它应用问题：包括二次函数运动轨迹综合问题等。常与方程、不等
式结合，考查综合应用能力。
技法 08与反比例函数有关的跨学科问题：常与物理（压强与受力面积、电流与电阻）、
化学等学科知识结合，考查反比例函数模型的跨学科应用。
技法 09反比例函数与其它函数的实际应用：考查反比例函数与一次函数综合的实际问题。如工程问题（工作量一定，人数与时间关系）、行程问题（路程一定，速度与时间关
系），常要求比较两种函数的差异或求交点意义。
考查形式
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
能力清单
数学建模能力：从实际问题中抽象出函数关系，建立数学模型。
运算求解能力：准确求函数解析式，解方程（组）与不等式（组），计算最值。数形结合能力：从函数图象中读取信息，利用图象分析问题。
逻辑推理能力：分析自变量取值范围，分类讨论不同方案，检验解的合理性。跨学科综合能力：将物理、化学等学科知识与函数模型结合。
实际意义解释能力：将数学结果还原为实际问题的答案，判断解的合理性。
母题精讲
【典例 01】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达1.8 万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山 “试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年 5 月到 10 月），小飞拿出了去年对某种矿泉
水（如图 1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：
①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于6 元/瓶
②统计售价 x （元/瓶）与需求量 y需求（箱）的数据：发现当售价为3 元/ 瓶时，该矿泉水的需求量为100 箱，售价每上涨0.5 元，需求量就减少5 箱．
③该矿泉水的供给量 y供给（箱）关于售价 x （元/瓶）的函数关系如下表所示：
售价 x （元/瓶）
3
4
4.5
5
6
y供给（箱）
120
90
80
72
60
④ 5 ~ 10 月份该矿泉水的售价 x售价
（元/瓶）， x成本
（元/瓶）关于月份t 的函数表达式分别为 x售价
 1 t  1 ，
22
x成本
  1 t 2  7 t  37 ，函数图象见图 2 ．
424
写出需求量 y需求（箱）和供给量 y供给（箱）关于售价 x （元/瓶）的函数关系式．
哪个月出售这种矿泉水每瓶获利 x利润（元/瓶）最大？并说明理由．
求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润．
【答案】(1) y需求
 10x 130 ； y
 360
供给
x
6 月出售这种矿泉水每瓶获利 x利润最大
该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4 元，按照该价格出售获得的总利润为2160 元
【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相
应的函数模型来解决问题；
根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解；
根据 x利润
 x售价
x成本
 1 t  62  3 ，根据二次函数的性质，即可求解；
44
依题意， 10x 130  360 得出 x  4 ，进而求得t  7 ，进而根据单件利润乘以数量，即可求解．
x
【详解】（1）解：∵当售价为3 元/ 瓶时，该矿泉水的需求量为100 箱，售价每上涨0.5 元，需求量就减少5
箱
∴ y需求
 100   x  3  5  10x 130 ， 3  x  6 ，
0.5
根据信息③可得 y （箱）与售价 x 的乘积相等，设 y
= k ，
供给
代入 x  3, y  120 得， k  360 ，
供给 x
∴ y供给
 360 ， 3  x  6 ，
x
解：6 月出售这种矿泉水每瓶获利 x利润最大，理由如下，
依题意， x 1 t  1 ， x
  1 t 2  7 t  37
售价22
成本424
∴ x利润
 x售价
 x成本
 1 t  1  1 t 2  7 t  37  1 t 2  3t  39  1 t  62  3
224244444
∴当t  6 时，即 6 月出售这种矿泉水每瓶获利 x利润最大；
 y需求  10x 130

解：依题意， 
y
 360
 供给x
当该矿泉水需求量与供给量相等时， 10x 130  360
x
解得： x1  4, x2  9 （舍去）
当 x  4 时， y需求  y供给  90 ，
x售价
x成本
 1 t  1  4 ，解得： t  7 ，
22
  1 t 2  7 t  37   1  72  7  7  37  3
424424
总利润为 4  3 90  24  2160 （元）
答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4 元，按照该价格出售获得的总利润为2160 元
【典例 02】（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，
计划采购 A、B 两种非遗文创用品（A 为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B 为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进 A 种文创用品的费用 y 元与购进数量 x 件之间的函数关系如图所示．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)现学校准备购进 A、B 两种非遗文创用品共 200 件，其中购进 A 种非遗文创用品不少于 60 件，且不超过 B 种非遗文创用品件数的 3 倍，若 B 种非遗文创用品每件 60 元，设购进两种非遗文创用品的总费用为 W 元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？

【答案】(1) y   30x 0  x  50, 且x为整数
10x 1000(x  50, 且x为整数)
(2)购买 A 种非遗文创用品 150 件， B 种非遗文创用品 50 件，费用最少，最少费用为 5500 元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键．
根据函数关系图示，分别求 y 与 x 之间的函数关系式即可；
根据题意求得自变量 x 的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可．
【详解】（1）解：当0  x  50 时，设 y 与 x 之间的函数关系式是 y  kx k  0 ，把50,1500 代入得，
50k  1500 ，解得k  30 ，
当0  x  50 时， y 与 x 之间的函数关系式是 y  30x ；
当 x  50 时，设 y 与 x 之间的函数关系式是 y  ax  b a  0 ，

 50a  b  1500
则，
150a  b  2500

解得
a  10
，
b  1000
当 x  50 时， y 与 x 之间的函数关系式是 y  10x 1000 ．

 y  
30x 0  x  50, 且x为整数
；
10x 1000(x  50, 且x为整数)
（2）解：Q购进 A 种非遗文创用品不少于 60 件，且不超过 B 种非遗文创用品件数的 3 倍，
x  60，

x  3200  x
解得60  x  150 ，
W  10x 1000  60 200  x  50x 13000 ，
Q40  0 ，
W 随 x 的增大而减小．
当 x  150 时，W 最小，最小值为50 150 13000  5500 （元），
B 种非遗文创用品： 200 150  50 （件）．
答：购买 A 种非遗文创用品 150 件， B 种非遗文创用品 50 件，费用最少，最少费用为 5500 元
【典例 03】（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数．
(1)基础知识考察：在反比例函数 y  3
x
，当 x  1时， y 的取值范围是；当 y  1时， x 的取值范围是．
(2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951 年至 2019 年，北京平均每年大雪以上天数仅有0.4 天．2023 年 12 月 13 日这场大雪可谓是个稀罕事．
北京特色茉莉香茶成本为40 元/袋．受大雪影响，其销售单价 y （元）与降雪量k （毫米）之间的关系如下
表：
日销售量 p （袋）与降雪量k （毫米）之间的函数关系式为 p  2000 k  0 ．
k
请你根据以上材料，回答以下问题：
①已知 y 与k 之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式．
降雪量k (毫米）
2.0
3.0
5.0
6.0
8.0
销售单价 y （元）
47
46.5
45.5
45
44
②仅看下雪天的情况，其中k 的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？
③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0 毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手 20 袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了 20 元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？
【答案】(1) 3  y  0 ； x  3 或 x  0 ；
(2)① y  0.5k  48 ；②降雪量为 1 毫米时，销售利润最大，最大利润是 15000 元；③60 元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键．
根据反比例函数的性质即可解答；
①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解；
②设销售利润为w ，根据利润 （销售单价 成本） 日销售量，结合 y 与 k 关系和 p 与 k 的关系，得到 w 与 k 的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解；
③设此时店铺的一袋茉莉香茶为m 元，则依题意得15m  44  20  20 ，解方程即可．
【详解】（1）解：Q反比例函数 y  3
x
， 3  0 ，
函数图象在第一、三象限，且在每一象限内 y 随着 x 的增大而减小，
当 x  1 时， y 
3  3 ，
1
当 x  1时，y 的取值范围是3  y  0 ；
当 y  1时， x  3  3 ，
1
当 y  1时，x 的取值范围是 x  3 或 x  0 ；故答案为： 3  y  0 ； x  3 或 x  0 ；
（2）解：①设 y  ak  b a  0
将2, 47 ， 6, 45 代入，
2k  b  47

得6k  b  45 ，

k  0.5
解得，
b  48
∴ y  0.5k  48 ；
②设销售利润为w ，则
依题意得， w   y  40 p  0.5k  48  40 2000  16000 1000 1  k  8 ，
kk
∵16000  0 ，
∴在1  k  8 时， w 随着k 的增大而减小，
∴当k  1 时， w 取得最大值，最大值为16000 1000  15000 元，
1
答：降雪量为 1 毫米时，销售利润最大，最大利润是 15000 元．
③∵降雪量为8.0 毫米，
∴原售价为 44 元，
∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手 20 袋，
∴小敏阿姨购买了 15 袋，赠送了 5 袋；设此时店铺的一袋茉莉香茶为m 元，则依题意得，15m  44  20  20 ，
解得m  60 ，
答：此时店铺的一袋茉莉香茶为 60 元．
变式应用
【变式 01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某公司销售一种新型节能产品，现准备从线上和线下两种销售方案中选择一种进行销售．若只在线上销售，每件售价 y（元）与月销量 x（件）之间的函数表达式为
y  
1
100
x 150 ，每件成本为 20 元，无论销售多少，每月还需支出广告费 62500 元，设月利润为W线上
（元）（利润＝销售额- 成本- 广告费）．若只在线下销售，每件售价为 150 元，受各种不确定因素影响，
每件成本为 a 元（a 为常数，且10  a  40 ），当月销量为 x 件时，每月还需缴纳利润为W线下 （元）（利润＝销售额- 成本- 附加费）．
当 x  1000 件时， y  ；W线上  ；
分别求出W线上 、W线下 与 x 之间的函数表达式（不必写 x 的取值范围）；
1
100
x2 元的附加费，设月
当 x 为何值时，W线上 的值最大？若W线下 的最大值与W线上 的最大值相同，求 a 的值；
如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策：选择在线上销售还是在线下销售才能使所获月利润较大？
【答案】(1)140 元，57500 元
W线上
  1
100
x2 130x  62500 ，W
 150  a x 
x2
100
线下
当 x  6500 时，W线上 取得最大值， a  30
见解析
【分析】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题
的关键．
将 x  1000 代入 y  
1
100
x 150 得 y  140 ，将 x  1000 代入解析式，即可求解；
根据题中给出的线上和线下销售的利润构成关系，分别列出函数表达式即可；
根据二次函数的最值求法求解即可；
当 x  5000 时，W线上  
1
100
5000  65002  360000  337500 （元），故当 x  5000 时，
W线下
 150  a x 
1
100
x2  5000a  500000 ，然后进行比较即可．
【详解】（1）
解：将 x  1000 代入 y  
得 y  140 （元），
W线上  yx  20x  62500
1
100
x 150 ，

  
1
100
x 150  x  20x  62500 ，


故W线上
  1
100
x2 130x  62500 ，
当 x  1000 时，W线上  
1
100
10002 130 1000  62500  57500 （元）．
解：根据题意，得W线上
  1
100
x2 130x  62500 ，
W线下
 150  a x 
1
100
x2 ，其中10  a  40 ．
解：根据题意，得W线上
  1
100
x2 130x  62500
  1
100
  1
100
x2 13000x  62500
 x  65002  360000 ，
故当 x  6500 时，W线上 取得最大值，且为 360000 元，
0  150  a2
由W线下
 150  a x 
1
100
x2 ，得其最大值为


4   1 
 100 
又W线下 的最大值与W线上 的最大值相同，
0  150  a2
故 1   360000 ，

4   100 
整理得150  a2  3600  4 ，
故150  a  120 或150  a  120 ，解得a  30 或a  270 ，
又10  a  40 ，则a  270 舍去，故a  30 ．
解：根据题意，得W线上
  1
100
x2 130x  62500
  1
100
  1
100
x2 13000x  62500
 x  65002  360000 ，
故当 x  5000 时，
W线上  
1
100
5000  65002  360000  337500 （元），
故当 x  5000 时，W线下
 150  a x 
1
100
x2  5000a  500000 ，
当W线下  W线上 时，则5000a  500000  337500 ，解得a  32.5 ，
当W线下>W线上 时，则5000a  500000>337500 ，解得a