2026年中考数学二轮复习 专题02 规律探究问题(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题02 规律探究问题(高频考点专练)，共7页。试卷主要包含了数字数列规律探究，数字循环规律探究题型三，图形计数规律探究，数阵规律探究，代数式等式规律探究，坐标规律探究等内容，欢迎下载使用。
高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（6 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 数字数列规律探究
题型二 数字循环规律探究题型三 数阵规律探究
题型四 图形计数规律探究 题型五 代数式等式规律探究题型六 坐标规律探究
实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升）
规律探究问题是中考数学数与式模块的高频考点，隶属于数与式基础必考板块，该板块整体分值约 8～
15 分，规律探究题多以选择题、填空题形式出现，部分地区会结合解答题小问考查，题目以低中档为主，偶有中档偏难题作为区分点，侧重考查学生的观察、分析、归纳、推理能力，是中考基础得分的重要组成 部分。从近年中考考查来看，规律探究题的命题素材主要围绕数字规律、图形规律、代数式规律展开，常 与实数运算、整式运算、图形计数等知识结合，题目背景简洁，注重对核心思维能力的考查，不刻意设置 复杂背景。
培优备考要求：
掌握数字、图形、代数式规律探究的基本思路，能通过观察已知条件的变化特征，提炼共性规律；
熟练运用 “特殊到一般” 的探究方法，从具体的有限个例子推导出一般化的表达式，并能验证规律的正确性；
具备将图形规律转化为数字规律的能力，能通过数形结合思想解决图形类规律探究问题；
形成规范的解题步骤，先观察特征、再猜想规律、后验证应用，减少因规律猜想失误导致的失分。
2026 中考预测：
题型稳定：规律探究题仍以选择、填空为主要考查形式，分值占比约 2～3 分，大概率与数字、图形计数结合考查；
难度平稳：基础题、中档题为主，规律探究题难度略有提升，但不设置偏题、怪题，侧重考查规律的提炼与简单应用，不会涉及过于复杂的递推规律；
命题趋势：贴近教材基础，部分题目结合简单的生活背景（如点阵、图案拼接、数列应用等），强调数形结合思想和 “特殊到一般” 的推理方法，注重考查学生的数学核心素养。
题型一 数字数列规律探究
【典例 01
2 3 10 15 26
3
】观察给出的一列数： , , ,
5 7
9 ,11，…，根据其中的规律，那么第 n 个（用含 n 的式
子表示）．
?2+(−1)?+1
【答案】 2?+1
【分析】根据题意，找出数列的变化规律，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
2 3 10 15 26
∵ , , ,
3 5 7 9
,11，…，
观察数列可知，分母是 3、5、7、9、11、2? + 1…，分子是 2、3、10、15、26、?2 + (−1)?+1…；
∴那么第 n 个数是：
?2+(−1)?+1 2?+1；
?2+(−1)?+1
故答案为： 2?+1．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【变式 01】观察下列单项式：2?，4?2，8?3，16?4，32?5，⋯按此规律，则第?个单项式是（ ）
A．2???B．2???C．2?−1??D．2?+1??−1
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
所给单项式的系数依次为 2，4，8，16，…，所以第 n 个单项式的系数可表示为：2?；
所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，…，所以第 n 个单项式的次数可表示为：?，
所以第 n 个单项式可表示为：2???．
故选：A．
【变式 02】观察下列一组数： 1317
，它们是按一定规律排列的，那么第 11 个数是．
9
2、5、2、17、26
21
【答案】122
15
【分析】先将这一组数中的第 2 个2改写为10，然后找出这组数据分子和分母的变化规律，得出一般式，从
而得出第 11 个数的值．
15
【详解】这组数中的第 2 个2可写为10的形式
发现分子规律为：依次增加 2
分母规律为：依次增加 3、5、7、9、11 等
故第 n2n-1
2n-1
个数的一般形式为：=
则第 11
2×11-1
2+3+5+7+⋯+(2n-1)
21
?2+1
个数为： 112+1 = 122
21
故答案为：122．
15
【点睛】本题考查找规律，解题关键是根据数字变化情况，将这一组数中的第 2 个2改写为10的形式．
− ， ，
56 7
【变式 03】有一列数按如下规律排列： 2 31， ， ， …则第 10 个数是（ ）
−
24−416
3264
− 9
A． 10
2
【答案】D

B10
． 29
C． 11
− 10
2
． 11
D
210
− ， ，− ， ，−
【分析】将这列数据改写成： 2 3 4 5 6， 7…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分
24816
3264
子，三确定分母即可．
− ， ，
56 7
【详解】解： 2 31， ， ， …可写出：
−
24−416
3264
23456 7

− ， ，− ， ，− ， …，
24816
3264
11
∴第 10 个数为210 ，故选：D．
【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．
14
253
253
【变式 04】观察数据并寻找规律： 2，－2， 6，−2 2， 10，…则第2024个数是（ ）
14
A．17
【答案】D
B．−17
C．4
D．−4
【分析】本题考查了二次根式的规律探索，发现规律(−1)?+1 2?是解题关键．
4048
【详解】解：数据为 2，− 4， 6，− 8， 10，…，(−1)?+1 2?，
2 × 2024
∴第2024个数是−
故选：D．
= −
= −4 253，
【变式 05】有一列数按一定规律排列：1,− 3, 5,− 7, 3 …．则第 n 个数是（ ）
24 68 10
A．(−1)?+1 ⋅ 2?+1
2?
C．(−1)? ⋅ 2?−1
2?
B．(−1)?+1 ⋅ 2?−1
2?
D．(−1)? ⋅ 3?−2
?2
【答案】B
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键．根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可．
【详解】解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是 2?−1，分母是2?，
∴ 第?个数是(−1)?+1 ⋅ 2?−1
2?
故选 B．
【变式 06】按一定规律排列的单项式：a， 2?2， 3?3，2?4， 5?5，…，则第 n 个单项式为．
【答案】 ???
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，通过观察可知每一个单项式均为关于 a 的单项式，再分别观察单项式的系数、次数的变化规律即可得到答案．
【详解】解：第 1 个单项式为 a，第 2 个单项式为 2?2，
第 3 个单项式为 3?3，
第 4 个单项式为2?4，第 5 个单项式为 5?5，
…，
以此类推可知，第 n 个单项式的系数为 ?，次数为 n，字母部分都为 a，
∴第 n 个单项式为 ???，故答案为： ???．
题型二 数字循环规律探究
【典例 01】已知31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729，37 = 2187，…，请你推测32018
的个位数字是（ ）
A．3B．9C．7D．1
【答案】B
【分析】由题意得3?的个位数字按 3，9，7，1 四个数一循环的规律出现，可通过计算 2018÷4 的余数求解．
【详解】解：∵31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729，37 = 2187，…，
∴3?的个位数字按 3，9，7，1 四个数一循环的规律出现，
∵2018÷4＝504…2，
∴32018的个位数字是 9，故选：B．
【点睛】此题考查了解决实数尾数特征规律问题的能力，关键是能通过计算、归纳出该问题循环出现的规律．
−称为−
【变式 01】当? ≠ −1时，我们把 1 x 的“和 1 负倒数”．如：2 的“和 1 负倒数”为 1 = −1，若?
?+1
2+131
= 1，?2是?1的“和 1 负倒数”，?3是?2的“和 1 负倒数”…依次类推，则?1 ⋅ ?2 ⋅ ⋯ ⋅ ?10的值为（）
1
A．1B．−1C．2
【答案】A
D．−
1
2
【分析】通过计算发现每 3 次运算结果循环出现，且?1∙?2∙?3 = 1，又由10 ÷ 3 = 3∙∙∙1，从而可得答案．
【详解】解：?1 = 1，
1
∴?2 = −?
1
= −2，
1+1
?3
1
2
= −? +1
1
= − 1
= −2，
− +1
2
?4
1
3
= −? +1
1
= −−2+1
= 1， …
∴每 3 次运算结果循环出现，且?1∙?2∙?3 = 1，
∵10 ÷ 3 = 3∙∙∙1，
∴?10 = 1，
∴?1 ⋅ ?2 ⋅ ⋯ ⋅ ?10 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1，故选 A．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，找到结果的循环规律是解题的关键．
【变式 02】有如下数列：a1，a2，a3，a4，a5，a6，⋯，an﹣2，an﹣1，an，⋯，满足 an﹣2•an＝2an﹣1，已知 a1＝1，a3＝4，则 a2024＝（）
A．8B．6C．4D．2
【答案】D．
【分析】根据题中所给条件，依次求出 a1，a2，a3，⋯，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，因为 an﹣2•an＝2an﹣1，所以 2a2＝a1•a3．
又因为 a1＝1，a3＝4，所以 a2＝2．
依次类推，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝1，a8＝2，⋯，由此可见，这列数按 1，2，4，4，2，1 循环出现， 又因为 2024÷6＝337 余 2，
所以 a2024＝2．故选：D．
【点睛】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现这列数按 1，2，4，4，2，1 循环出现是解题的关键．
【变式 03】已知?1
= ?−1（? ≠ 1，? ≠ 2），?2
1
1
= 1−? ，?3
1
2
= 1−?
，…，??
1
1−?
=
?−1
，则?
2023
= （ ）
2−?1
A．1−?B．2−?C．?−1D．1−?
【答案】C
【分析】分别求出? ，? ，? ，可得? ，? ，? ，? ，．．．，?
1
以?−1，
2−?
为一个循环组依次循环，
234
1234
?2−?，1−?
然后根据2023 ÷ 3 = 674⋯⋯1可知?2023 = ?1 = ?−1．
【详解】解：∵?1 = ?−1（? ≠ 1，? ≠ 2），
111
1
∴?2 = 1−? = 1−(?−1) = 2−?，
?3
?4
1
= 1−?
1
= 1−?
1
=1
2
1−
2−?
1
=2−?
3
1−
1−?
1
= 1−?
2−?
1
= −1
1−?
2−?
= 1−?，
= ?−1，
∴? ，? ，? ，? ，．．．，?
1
以?−1，
2−?
为一个循环组依次循环，
1234
?2−?，1−?
∵2023 ÷ 3 = 674⋯⋯1，
∴?2023 = ?1 = ?−1，故选：C．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，属于规律型题，根据题意得出规律为三个式子依次循环是解本题的关键．
【变式 04】有一个数字游戏，第一步：取一个自然数?1 = 4，计算?1 ⋅ (3?1 + 1)得?1，第二步：算出?1的 各位数字之和得?2，计算?2 ⋅ (3?2 + 1)得?2，第三步算出?2的各位数字之和得?3，计算?3 ⋅ (3?3 + 1)得?3；以此类推，则?2022的值为（ ）
A．7B．52C．154D．310
【答案】D
【分析】通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案．
【详解】解：由题意知：?1 = 4，?1 = ?1 ⋅ (3?1 + 1) = 4 × (3 × 4 + 1) = 52；
?2 = 5 + 2 = 7，?2 = 7 × (3 × 7 + 1) = 154；
?3 = 1 + 5 + 4 = 10,?3 = 10 × (3 × 10 + 1) = 310；
?4 = 3 + 1 = 4，?4 = 4 × (3 × 4 + 1) = 52； ∙∙∙∙∙∙；
由上可知，?1,?2,?3, ⋅⋅⋅ 是按照 52、154、310、 ⋅⋅⋅ ，52、154、310 三个数的组合重复出现的数列，
∵2022 ÷ 3 = 674，
∴?2022 = 310．故选 D．
【点睛】本题考查整式中的数字类规律探索，通过阅读题目材料并归纳出数字出现规律是解题关键．
11
?−1
【变式 05】一列数 a1，a2，a3，…满足条件：a1＝2，an＝1−?
（n≥2，且 n 为整数），则 a2020＝．
1
【答案】2．
【分析】求出数列的前 4 项，继而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可．
11
?−1
【详解】解：∵a1＝2，an＝1−?，
1
∴a2＝1−? ＝
1
1＝2，
11−
2
11
2
a3＝1−? ＝1−2＝-1，
111
3
a4＝1−? ＝1−(−1)＝2，
…
∴这列数每 3 个数为一循环周期，
∵2020÷3＝673…1，
1
∴a2020＝a1＝2，
1
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查数列的规律探索，根据计算找出循环出现的规律，认真观察、仔细思考、善用联想是解题的关键．
【变式 06】如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 的值为 48，第一次输出的结果为 24，第二次输出的结果为 12，⋯，则第 2024 次输出的结果为 ．
【答案】
【分析】根据代数式求值依次分析得到输出结果的情况，然后分析得出规律，再根据规律即可解答．
【详解】解：第一次输出结果为 24；第二次输出结果为 12；
第三次输出结果为 6；第四次输出结果为 3；第五次输出结果为 6；第六次输出结果为 3；第七次输出结果为 6；
⋯，
经分析可得：自第三次开始，输出结果分别为 6、3、6、3⋯，依次循环．
∵2024﹣2＝2022，2022÷2＝1011，
∴第 2024 次输出的结果是 3．故答案为：3．
【点睛】本题主要考查代数式求值，熟练掌握有理数的代数式求值的方法是解答本题的关键．
题型三 数阵规律探究
【典例 01】）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第 3 行第 2 列是 7，那么第 101 行第 100 列是（ ）
10100
​
【答案】B
​
D．
10101
10102
10103
【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第 n
行第?−1列：n 为偶数时 ?(?−1)−1，n 为奇数时 ?(?−1) + 1，由此规律即可求解．
【详解】解：第 2 行第 1 列1 = 2 × 1−1，
7
第 3 行第 2 列= 2 × 3 + 1，
11
= 3 × 4−1，
第 4 行第 3 列
21
= 4 × 5 + 1，
第 5 行第 4 列
……
第 n 行第?−1列：
n 为偶数时 ?(?−1)−1，
n 为奇数时 ?(?−1) + 1，
101 × 100 + 1
当? = 101时，第 101 行第 100 列为故选：B．
【变式 01】观察下面由正整数组成的数阵：
= 10101．
照此规律，按从上到下、从右到左的顺序，第 45 行的第 4 个数是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【分析】观察数阵可知第 n 行最后一个数是 n2，按此规律计算第 45 行最后一个数即可．
【详解】解：观察数阵可知第 n 行最后一个数是 n2，
∴第 45 行第一个数就是 452＝2025，
∴从右到左的顺序，第 45 行的第 4 个数是 2025-3=2021
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，归纳出数字的变化规律是解题的关键．
【变式 02】如图，这是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第 10 行从左向右数第 7 个数是（ ）
6
A．4
【答案】B
B．
C．7
D．3
97
2
11
【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（?−1）行的数据的个数是解题的关键．观察不难发现，被开方数是从 1 开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从 2 开始的连续偶数，求出?−1行的数据的个数，再加上?−2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。
【详解】前(?−1)行的数据的个数为2 + 4 + 6 + … + 2(?−1) = ?(?−1)，所以，第 10 行从左到右数第 7 个数的被开方数是10 × (10−1) + 7 = 97，所以，第 10 行从左向右数第 7 个数是 97．
故选 B．
【变式 03】如图是我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现的“杨辉三角”，“杨辉三角”中的数字排列有一定的规律．从上往下第二行起，把每一行从左往右的第二个数字依次用?1，?2，?3…来表示，即?1 = 1，?2 = 2，?3 = 3…；从第三行起，把每一行的第三个数字依次用?1，?2，?3…来表示，即
?1 = 1，?2 = 3，?3 = 6…则?8 + ?8 = ．
【答案】44
【分析】本题主要考查了图形的变化类规律，观察图形的变化、寻找并得到变换规律是解决本题的关键．根据题意和图形中的数据，可知?? = ?,?? = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ?，从而可以求得?8、?8，最后再求和即可．
【详解】解：解：由?1 = 1,?2 = 2,?3 = 3…则?? = ?，即?8 = 8；
?1 = 1
?2 = 1 + 2 = 3
?3 = 1 + 2 + 3 = 6
?4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
．．．，
?? = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ?
1
?8 = 1 + 2 + ⋯ + 8 = 2(1 + 8) × 8 = 36，
所以?8 + ?8 = 8 + 36 = 44．故答案为：44．
【变式 04】将实数按如图方式进行有规律排列，则第 19 行的第 37 个数是．
【答案】19
【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案．
【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律：
①第?行有(2?−1)个数；
②每行最后一个数字的绝对值等于行数；
③奇数行的最后一个为正；
④偶数行的最后一个为负；
∴第 19 行有2 × 19−1 = 37个数，
∴根据如上规律可知，第 19 行的第 37 个数是 19．故答案为：19．
【变式 05】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为?1，第二个数记为?2，第三个数记为
1
?3，…，第?个数记为??． +
111
+ + ⋅⋅⋅ + =
? ，则?的值为．
?1
?2
?3
??
2021
【答案】4041
【分析】首先根据题意得出 an 的关系式，然后用“裂项法”将 1 裂成2 1 −
1
?+1
，逐步化简，列等式求值即
???
可得出结果．
【详解】解：由题意得?1 = 1，?2 = 3 = 1 + 2，?3 = 6 = 1 + 2 + 3，?4 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4，⋯，
∴?? =
?(?+1)
2，
?
12
∴ ? = ?(?+1)
1 −
1
?+1
= 2
，
?
∴ 1 + 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1
?1?2?3??
1
2
1
3
1
1
4
1
? + 1
11
= 2 1−+ 2 2 −+ 2 3 −+ + 2 ? −
1
? + 1
111111
= 2 1− 2 + 2 − 3 + 3 − 4 ++ ? −
1
?+1
= 2 1−，
∴ ?
2021
?
= 21−
1
?+1
2?
2021 = ? + 1
∴? = 4041；
故答案为：4041．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化规律．找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键．
【变式 06】（25-26 七年级上·四川遂宁·期末）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第 8 行从左边数第 2 个位置上的数是；排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是．
【答案】1
56
1
360
?−1
?
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可得第?(? ≥ 2)行第 2 个数为 1 ⋅ 1，且?(? ≥ 2)行第 2
个数等于第(? + 1)行第 2 个数与第 3 个数的和，据此求出第 8 行第 2 个数，第 9 行第 2 个数，第 10 行第 2
个数，再用第 9 行第 2 个数减去第 10 行第 2 个数即可得到第 10 行第 3 个数．
【详解】解：第 2 行第 2
11111，
个数（左边起，以下都如此）为2 = 1 × 2 = 6 + 3
第 3 行第 2 个数为1 = 1 × 1 = 1 + 1 ，
6231212
1
第 4 行第 2 个数为
1111
= × = + ，
12342030
1
第 5 行第 2 个数为
1111
= × = + ，
……，
2045
3060
?−1
?
以此类推可知，第?(? ≥ 2)行第 2 个数为 1 ⋅ 1，且第?(? ≥ 2)行第 2 个数等于第(? + 1)行第 2 个数与第 3
个数的和
11111
∴排在第 8 行从左边数第 2 个位置上的数是8−1 ⋅ 8 = 56，排在第 9 行从左边数第 2 个位置上的数是9−1 ⋅ 9 =
11
，排在第 10 行从左边数第 2 个位置上的数是
11
⋅ = ，
7210−1 1090
1
1
∴排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是72−
1
= 360，
90
11
故答案为；56；360．
题型四 图形计数规律探究
【典例 01】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有 1 个圆圈，第②个图中有 4 个圆圈，第③个图中有 9 个圆圈，按照这一规律，则第⑤个图中圆圈的个数是（ ）
A．20 个B．25 个C．28 个D．36 个
【答案】B
【分析】本题考查图形数字规律的探索，关键是通过观察前三个图形的圆圈数量，总结出数量与图形序号的对应关系．观察第①到第③个图的圆圈数，发现第①个图的圆圈数为12，第②个图为22，第③个图为 32，可推导得出第?个图的圆圈个数为?2，据此计算第⑤个图的圆圈数即可．
【详解】解：观察图形可得：
第①个图中圆圈的个数为1 = 12；第②个图中圆圈的个数为4 = 22；第③个图中圆圈的个数为9 = 32；
……
由此总结规律：第?个图中圆圈的个数为?2，则第⑤个图中圆圈的个数为52 = 25；
故选：B．
【变式 01】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第 2026 个“H”需要棋子（ ）
A．10127 个B．10130 个C．10132 个D．10135 个
【答案】C
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，英文字母“H”左右两条竖线上的棋子数相同，为从 3 开始的连续的奇数，中间横线上的棋子的数量为从 1 开始连续的整数，进而得到第?个“H”需要棋子2(2? + 1) +?
（个），令? = 2026进行求解即可．
【详解】解：观察可知，英文字母“H”左右两条竖线上的棋子数相同，为从 3 开始的连续的奇数，中间横线上的棋子的数量为从 1 开始连续的整数，
∴第?个“H”需要棋子2(2? + 1) +?（个），
当? = 2026时，2 × (2 × 2026 + 1) +2026 = 10132；即摆成第 2026 个“H”需要棋子 10132 个；
故选 C．
【变式 02】按如图所示的规律拼图案，第⑥个图中圆点的个数为（ ）
A．20B．21C．22D．24
【答案】D
【详解】解：第①个图案中圆点的个数为：4 = 4 × 1，第②个图案中圆点的个数为：8 = 4 × 2，
第③个图案中圆点的个数为：12 = 4 × 3，第④个图案中圆点的个数为：16 = 4 × 4，
…
∴ 第?个图案中圆点的个数为：4?个，
当? = 6时，4? = 4 × 6 = 24，即第⑥个图中圆点的个数为24个．
【变式 03】桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为 7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动90⁰算一次，则滚动第 2022 次后，正方体朝下一面的数字是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】先找出正方体相对的面，然后从数字找规律即可解答．
【详解】解：由图可知：
3 和 4 相对，2 和 5 相对，1 和 6 相对，
将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 90°算一次，骰子朝下一面的点数依次为 5，4，2，3，且依次循环，
∵2022÷4=505.2，
∴滚动第 2022 次后，骰子朝下一面的点数是：4，故选：B．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，先找出正方体相对的面，然后从数字找规律是解题的关键．
【变式 04】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有 4个三角形，第②个图案有 7 个三角形，第③个图案有 10 个三角形，…依此规律，第 2023 个图案有多少个三角形（ ）
A．6070B．6071C．6069D．6068
【答案】A
【分析】本题考查了图形的变化类，根据图形的变化规律，得出第?个图案三角形个数为3? + 1，即可求解．
【详解】解：第①个图案有4个三角形，即4 = 3 × 1 + 1
第②个图案有7个三角形，即7 = 3 × 2 + 1
第③个图案有10个三角形，即10 = 3 × 3 + 1
…
第?个图案三角形个数为3? + 1，
所以第2023个图案有三角形的个数为3 × 2023 + 1 = 6070
故选：A．
【变式 05】如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第 1 个图形中共有 6 个小圆圈，第 2 个图形中共有 9 个小圆圈，第 3 个图形中共有 12 个小圆圈，…，按此规律，则第 2026 个图形中小圆圈的个数为．
【答案】6081
【分析】仔细观察图形，找到图形中圆圈个数的通项公式，然后代入? = 2026求解即可．
【详解】解：观察图形得：
第 1 个图形有3 + 3 × 1 = 6个圆圈，第 2 个图形有3 + 3 × 2 = 9个圆圈，第 3 个图形有3 + 3 × 3 = 12个圆圈，
…
第 n 个图形有3 + 3? = 3(? + 1)个圆圈，
当? = 2026时，3 × (2026 + 1) = 6081个圆圈．
【变式 06】（2025·甘肃武威·模拟预测）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第 1 个图形 1 个小圆，第 2 个图形由 3 个小圆组成，第 3 个图形由 6 个小圆组成，第 4 个图形由10个小圆组成，按照这样的规律摆下去，则第99个图由 小圆组成．
【答案】4950
【分析】本题考查了图形类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
用算式表示出各个图中小圆的个数，从中找出规律，再利用规律求解．
【详解】解：第 1 个图形 1 个小圆，
第 2 个图形由1 + 2 = 1 × (1 + 2) × 2 = 3个小圆组成，
2
第 3 个图形由1 + 2 + 3 = 1 × (1 + 3) × 3 = 6个小圆组成，
2
第 4 个图形由1 + 2 + 3 + 4 = 1 × (1 + 4) × 4 = 10个小圆组成，
2
…
按照这样的规律摆下去，
则第99个图由
1(1 + 99) × 99 = 4950个小圆组成，
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 = 2 ×
故答案为：4950．
题型五 代数式等式规律探究
【典例 01】按一定规律排列的等式：1 = 12,1 + 3 = 22,1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42,……，按此规律
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + 2023 = （）
A．10102B．10112C．10122D．20212
【答案】C
【分析】通过观察可以看出：规律为一个等式，等号左边为连续奇数的和，且奇数的个数、最后一个奇数 都与等式的序数有关，即：第?个等式左边有?个奇数，最后一个奇数为2?−1；等号的右边为序数的平方，即：?2．
【详解】解：规律为：1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2?−1) = ?2
则1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + 2023中，
2?−1 = 2023
解得：? = 1012
则等号右边为：10122故选 C
【点睛】本题主要考查了观察、归纳概括总结的能力，归纳出规律是解题的关键．
【变式 01】将一列有理数−1，2，−3，4，−5，6，……按如图所示进行排列，则 2024 应排在（）
A．A 位置B．B 位置C．C 位置D．D 位置
【答案】C
【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形可知，除去第一个数字，每个凸起为一个循环组，对应 5
个数字，然后计算即可．
【详解】解：由图可知，每个凸起对应 5 个数字，
∵(2024−1) ÷ 5 = 2023 ÷ 5 = 404.3，
∴2024 应排在 C 位置，
故选：C．
1 + 1 + 1
1222
【变式 02】观察下列各式：①
1 11
1 + 1 + 1
2232
2
；②
1 11
1 + 1 + 1
3242
3
；③
1 11
= 1 + 1− = 12
= 1 + 2− = 16
3
= 1 + −
4
= 1,⋯⋯根据以上等式规律，计算
101 + 1
10081
12
= ．
91
【答案】90
【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律
为：
＝11
101 + 1
1 + 1 +
?2
1
(?+1)2
算即可．
1 + ?−?+1 ， 将
100
81变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运
【详解】解：根据题意，第 n 个等式为
1 + 1 +
?2
1
(?+1)2
＝11
?
1 + −
?+1
101 + 1
10081
∴
1 + 81 + 100
11
=
1 ++
11
92
102
=
11
= 1 + 9 − 10
91
= 90；
故答案为：
91
90．
=?
【变式 03】有一组数据：?1
3 1×2×3， 2
5 2×3×4， 3
7 3×4×5，…， ?
2?+1
=?
?(?+1)(?+2)．记
? = ?1
+ ?2
+ ?3
=?
=?
+… + ??，则?12 = ．
【答案】201
182
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：? =311
1 31
；
2
11×2×3 = 2 = 2 × 1 + 2− × 1+2
55
? ==
111 31 ；
2
22×3×424 = 2 × 2 + 2− × 2+2
77
? ==
111 31 ；
2
33×4×560 = 2 × 3 + 2− × 3+2
…，
2?+1
? =
11131
2
??(?+1)(?+2) = 2 × ? + ?+1− × ?+2，
当? = 12时，
原式 =
1 + 1
1
2
2
+ 1 +⋅⋅⋅ +
3
+
+ 1 +⋅⋅⋅
1
2
3
3
1
13
− ×
2
+ 1 +⋅⋅⋅ +
1
3
1
14
4
1
12
201
= 182，
201
故答案为：182．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
① + − =② + −
③
【变式 04】观察下列等式： 11 11； 11 1 = 1；
111
1
= ；……
2
12 21
34 12
+ −
6
3
530
猜想并写出第 n 个等式：．
1 111
【答案】+−=
2?−12? 2?(2?−1)?
【分析】本题考查数字的变化类，分式的加减混合运算，解答本题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则，写出相应的猜想并证明．
根据题目中式子的特点，猜想第 n 个等式，并根据分式的加减法证明猜想成立．
【详解】解： 11 11；
2
1
∵ + − =
12
1111
34
2
+ − = ；
12
1111
56
+ −
30
……；
= 3；
1
1
1
∴第 n 个等式：2?−1 + −
1
= ?．
2? 2?(2?−1)
1 111
故答案为：+−= ．
2?−12? 2?(2?−1)?
【变式 05】观察以下等式：
第 1 个等式：2 × 1 + 2 = 22 +1 × 1−1，
第 2 个等式：4 × 2 + 6 = 32 +2 × 3−1，
第 3 个等式：6 × 3 + 12 = 42 +3 × 5−1，
第 4 个等式：8 × 4 + 20 = 52 +4 × 7−1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 5 个等式：；
(2)写出你猜想的第 n 个等式：（用含 n 的式子表示），并证明．
【答案】(1)10 × 5 + 30 = 62 +5 × 9−1
(2)2? × ? + ?(? + 1) = (? + 1)2 +? × (2?−1)−1，证明见解析
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第 5 个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【详解】（1）解：第 5 个等式：10 × 5 + 30 = 62 +5 × 9−1，
故答案为：10 × 5 + 30 = 62 +5 × 9−1；
（2）猜想：第 n 个等式为2? × ? + ?(? + 1) = (? + 1)2 +? × (2?−1)−1，证明：等式左边 = 2?2 + ?2 +? = 3?2 +?，
等式右边 = ?2 +2? + 1 + 2?2−?−1 = 3?2 +?，
∴等式左边 = 等式右边，即2? × ? + ?(? + 1) = (? + 1)2 +? × (2?−1)−1．
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
【变式 06】（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】
第 1 个等式：1 + 1
1+2
第 2 个等式：1 + 1
1+2
第 3 个等式：1 + 1
1+2
第 4 个等式：1 + 1
1+2
4
= 3，
1
+ 1+2+3
1
+ 1+2+3
1
+ 1+2+3
6
= 4，
1
+ 1+2+3+4
1
+ 1+2+3+4
8
= 5，
1
+ 1+2+3+4+5
10
= 6 ，
……
【规律发现】
写出第 5 个等式：；
（2）写出你猜想的第?个等式1 + 1
1+2
1
+⋯ + 1+2+⋯+?
+ 1+2+⋯+?+1 = ；
1
【规律应用】
（31
1
）应用规律计算：+
1
+⋯ +
（需写出过程）．
1+2+⋯+10
1+2+⋯+11
1+2+⋯+20
【答案】（1）1 + 1 +1+1+1+1
122?+211
= 2；（3），见解析
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
1+2+3+4+5+6
7 ；（
） ?+2
105
【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．
仿照题干即可求解；
仿照题干即可求解；
1+2
将原式变形为 1 + 1
+ ⋯ +
1 + 1
1+2
+ ⋯ +
，再运用结论求解．
1
1+2+⋯+20
1
1+2+⋯+9
−
【详解】解：（1）∵第 1 个等式：1 + 1
1+2
4
= 3，
第 2 个等式：1 + 1
1+2
第 3 个等式：1 + 1
1+2
第 4 个等式：1 + 1
1+2
1
+ 1+2+3
1
+ 1+2+3
1
+ 1+2+3
6
= 4，
1
+ 1+2+3+4
1
+ 1+2+3+4
8
= 5，
1
+ 1+2+3+4+5
10
= 6 ，
∴第 5 个等式：1 +
1
1+2 +
1
1+2+3 +
1
1+2+3+4 +
1
1+2+3+4+5 +
112
1+2+3+4+5+6 = 7
（2）根据规律可得：1 + 1
1+2
1
+⋯ + 1+2+⋯+?
1
+ 1+2+⋯+?+1
2?+2
= ?+2 ；
（3）解：原式 = 1 + 1
1+2
+ ⋯ +
− 1 + 1
1
1+2+⋯+20
1+2
+ ⋯ +
1
1+2+⋯+9
40 1811
= − = 105．
21 10
题型六 坐标规律探究
【典例 01】如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点(1,1)，第 2 次接着运动到点(2,0)，第 3 次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第 31 次运动后动点 P 的坐标是（ ）
A．(31,2)B．(62,0)C．(31,1)D．(62,1)
【答案】A
【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为 1，0，2，0，每 4 次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】解：根据动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点(1,1)，
第 2 次接着运动到点(2,0)，第 3 次接着运动到点(3,2)，
第 4 次运动到点(4,0)，
第 5 次接着运动到点(5,1)，
…，
∴点 P 的横坐标为运动次数，纵坐标为 1，0，2，0，每 4 次一轮，
∵31 ÷ 4 = 7⋯3，
则经过第 31 次运动后，动点 P 的横坐标为 31，纵坐标为 2，即经过第 31 次运动后，动点 P 的坐标是：(31,2)，故选：A．
【变式 01】（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为 1 的方格纸上， △ ?1?2?3, △ ?3?4?5, △ ?5?6?7,…，是斜边在?轴上，斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形，若 △ ?1?2?3的顶点坐标分别为?1(2,0),?2(1,1)
,?3(0,0)，则依图中所示规律，?2025的坐标为（ ）
A．(−1012,0)B．(1014,0)C． 2，−507D． 1，506
【答案】B
【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据 2025 是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解．
【详解】解：观察点的坐标变化发现：在?轴正半轴上的点横坐标每次增加 2，在?轴负半轴上的点横坐标每次减少 2，
根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为 4，
∵2025 ÷ 4 = 506⋯1，由图可知?1(2,0),?5(4,0)⋯?4?−3(2?,0)，?为循环周期，
∴?2025的坐标为(507 × 2,0)，即为(1014,0)．
【变式 02】已知点? ? ，?
，点? ? ，?
，点? ? ，?
是线段??的中点，则?
= ?0+?2．?
?0+?2
=．在
002211
1212
平面直角坐标系中有三个点?(1,−1),?(−1,−1),?(0,1)，点?(0,2)关于点?的对称点?1（即?,?,?1三点共线，且?? = ?1?），?1关于点?的对称点?2，?2关于点?的对称点?3，⋯，按此规律继续以?，?，?三点为对称
点重复前面的操作．依次得到点?4，?5，?6，⋯，则点?2025的坐标是（ ）
A．(0,2)B．(4,0)C．(2,−4)D．(−4,2)
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律探索．通过计算对称点坐标，发现每 6 次操作形成一个周期循环，利用周期性规律确定点?2025的位置．
【详解】解：?1关于?(1,−1)对称：由中点公式得?1(2,−4)．
?2关于?(−1,−1)对称：同理得?2(−4,2)．
?3关于?(0,1)对称：得?3(4,0)．
?4关于?对称：得?4(−2,−2)．
?5关于?对称：得?5(0,0)．
?6关于?对称：得?6(0,2)，
?7关于?(1,−1)对称：由中点公式得?7(2,−4)，形成周期为 6 的循环．
2025 ÷ 6 = 337余3，对应周期中的第 3 个点?3，其坐标为(4,0)．故选：B．
【变式 03】（24-25 八年级上·河南郑州·期中）2024 年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000 架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长度，无人机按图中“→”方向飞行，?1(0,0)，?2(0,1)，?3(1,1)，?4(1,−1)…根据这个规律，点?2024的坐标为（ ）
A．(−505,506)B．(−506,−506)C．(506,−506)D．(506,506)
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以 4 个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．
根据各个点的位置关系，可得点?4?在第四象限的角平分线上，点?4?+1在第三象限的角平分线上，点?4?+2在直线? = −? + 1(? < 0)的图象上，点?4?+3在第一象限的角平分线上，且2024 ÷ 4 = 506，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．
【详解】解：∵?1(0,0)，?2(0,1)，?3(1,1)，?4(1,−1)，?5(−1,−1)，?6(−1,2)，?7(2,2)，?8(3,−3)，?9
(−3,−3)，?(−3,3)，?11(4,4)，……，
由此发现：点?4?在第四象限的角平分线上，点?4?+1在第三象限的角平分线上，点?4?+2在直线? = −? + 1 (? < 0)的图象上，点?4?+3在第一象限的角平分线上，
∵2024 ÷ 4 = 506，
∴点?2024在第四象限的角平分线上，
∴点?2024 506，−506．故选：C．
【变式 04】（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形????的顶点 B，C 分别在 y 轴，x轴上，且 B，D 两点的纵坐标相同，将菱形????绕点 C 顺时针旋转，每次旋转90⁰，若最后点 D 的对应点落在坐标轴上，则旋转次数可以是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，菱形的性质，每旋转 4 次则回到原位置，可以得出每次从起始点旋转 2 次，点 D 落在?轴负半轴上，以此可得解．
【详解】解：如图，
由题可知，将菱形????绕点 C 顺时针旋转，每次旋转90⁰，
∴每旋转 4 次则回到原位置，每次从起始点旋转 2 次，点 D 落在?轴负半轴上，
A．2023 ÷ 4 = 505⋯⋯3，则此时菱形的位置在从起点起第 3 次旋转的位置，点?不在坐标轴上，故此选项不符合题意；
B．2024 ÷ 4 = 506，则此时菱形的位置在从起点起第 4 次旋转的位置，点?不在坐标轴上，故此选项不符合题意；
C．2025 ÷ 4 = 506⋯⋯1，则此时菱形的位置在从起点起第 1 次旋转的位置，点?不在坐标轴上，故此选项不符合题意；
D．2026 ÷ 4 = 506⋯⋯2，则此时菱形的位置在从起点起第 2 次旋转的位置，点?落在?轴负半轴上，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式 05】（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系???中，?，?，?，?是边长为 1 个单位 长度的小正方形的顶点，开始时，顶点?，?依次放在点(1,0)，(2,0)的位置，然后向右滚动，第 1 次滚动使 点?落在点(3,0)的位置，第 2 次滚动使点?落在点(4,0)的位置⋯，按此规律滚动下去，则第 2025 次滚动后，顶点?的坐标是（ ）
A．(2025,1)B．(2025,0)C．(2026,1)D．(2026,0)
【答案】C
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点?随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后
的?点坐标，找到滚动次数与点?坐标之间的规律，进而求出第 2025 次滚动后顶点?的坐标．
【详解】解：第 1 次滚动点?1的坐标为(2,1)，第 2 次滚动点?2的坐标为(4,1)，
第 3 次滚动点?3的坐标为(5,0)，第 4 次滚动点?4的坐标为(5,0)，第 5 次滚动点?5的坐标为(6,1)，
…，
每滚动 4 次一个循环，
∴ ?4?+1(4? + 2,1)，?4?+2(4? + 4,1)，?4?+3(4? + 5,0)，?4?+4(4? + 5,0)，
∵ 2025 ÷ 4 = 506⋯1，
∴ ?2025(4 × 506 + 2,1)，即?2025(2026,1)，
故选：C．
【变式 06】如图，矩形???? 的顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上，?? = ?? = 2,?? = 4 2，将矩形????绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90⁰，则第 2023 次旋转结束时， 点 C 的坐标为（ ）
A．(6，4)B．(−6，−4)C．(4，−6)D．(−4，6)
【答案】B
【详解】解：如图，过点?作?? ⊥ ?轴于点 E，连接??，
∵?? = ?? = 2，
∴∠??? = ∠??? = 45⁰，
∵∠??? = 90⁰，
∴∠??? = 45⁰，
∵?? = ?? = 4 2，
∴?? = ?? = 4，
∴?? = ?? + ?? = 6，
∴C(−4，6)，
∵矩形????绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90⁰，则第1次旋转结束时，点 C 的坐标为(6，4)； 则第2次旋转结束时，点 C 的坐标为(4，−6)；则第3次旋转结束时，点 C 的坐标为(−6，−4)；则第4次旋转结束时，点 C 的坐标为(−4，6)；
…，
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2023 ÷ 4 = 505⋯3，
则第2023次旋转结束时，点 C 的坐标为(−6，−4)．故选：B．
【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后矩形的位置是解题的关键．
（限时训练：15 分钟）根据内容设置 10~30 分钟的题量即可
2345
1．（25-26 七年级上·四川泸州·期中）已知下列一组按规律排列的式子： ，3? ，5? ，7? ，9? ，…，则第
?8
2764
125?
个式子（?为正整数，且? ≥ 1）为（ ）
(2?−1)?
(?2−4)??
(2?+1)??
(2?−1)??
A． ?B． ?2C． ?3D． ?3
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的规律，通过观察给定式子的分子、分母和指数规律，发现分母是?3，?的指数是?，分子的系数是2?−1．
【详解】解： ∵ 当? = 1时，式子为? =
(2×1−1)?1
13；
当3?
2
? = 2时，式子为 8 =
(2×2−1)?2
23；
当5?
3
? = 3时，式子为 27 =
……
(2×3−1)?3
33；
(2?−1)??
∴ 第?个式子为 ?3．
故选：D．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y），我们把点?1（-y+1，x+1）叫做点 P 的伴随点，已知点?1的伴随点为?2，点?2的伴随点为?3，点?3的伴随点为?4，…，这样依次得到点?1，?2，?3，…，??，若点?1的坐标为（3，1），则点?2015的坐标为（）
A．（0，4）B．（-3，1）C．（0，-2）D．（3，1）
【答案】B
【分析】根据伴随点的定义，列出部分点 A 的坐标，根据点 A 的变化找出规律“?4?+1（3，1），?4?+2（0，
4），?4?+3（-3，1），?4?+4（0，-2）（n 为自然数）”，根据此规律即可解决问题．
【详解】解：观察，发现规律：?1（3，1），?2（0，4），?3（-3，1），?4（0，-2），?5（3，1），…，
∴?4?+1（3，1），?4?+2（0，4），?4?+3（-3，1），?4?+4（0，-2）（n 为自然数）．
∵2015=4×503+3，
∴点?2015的坐标为（-3，1）．故选：B．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律“?4?+1（3，1），?4?+2（0，4），?4?+3
（-3，1），?4?+4（0，-2）（n 为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出部分点的坐标，根据点的坐标的变化发现规律是关键．
111
．．．
3．?是不为1的有理数，我们把1−?称为?的差倒数．如：2的差倒数是1−2 = −1，−1的差倒数是1−(−1) =
1．已知? = −1，? 是? 的差倒数，? 是? 的差倒数，? 是? 的差倒数，…，依此类推，则?
= （ ）
21321
3243
2023
1
A．3
【答案】D
3
B．4
C．4D． 1
−
3
1
【分析】根据新定义：1−?称为?的差倒数即可解答．
【详解】解：∵已知?
1，? 是? 的差倒数，? 是? 的差倒数，? 是? 的差倒数，
1 = −321
3243
∴?2 =
13
1− − 1
3
= 4，
1
1− 3
4
?3 =
? =1
= 4，
1
，
41−(4) = −3
∴这组数据每3个数为一个循环组依次循环，
∴2023 ÷ 3 = 374⋯⋯1，
1
∴?2023 = −3，
故选D．
【点睛】本题考查了实数的新定义—差倒数，根据题意找出数据之间规律是解题的关键．
4．（25-26 七年级上·河北雄安·期末）将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有 6 个小圆点，第②个图案中有 11 个小圆点，第③个图案中有 16 个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ）
A．31B．36C．41D．46
【答案】D
【分析】本题考查图形规律探索，解题的关键是求得前面几个数据，正确找出规律，然后求解．观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加 5 个点，因此可得出第 n 个图案的点的数量为 (5? + 1)，代入? = 9即可求解．
【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“●”的个数为6 = 5 × 1 + 1，第②个图案中“●”的个数为11 = 5 × 2 + 1，
第③个图案中“●”的个数为16 = 5 × 3 + 1，
…，
所以第 n（n 为正整数）个图案中“●”的个数为(5? + 1)（个），因此第⑨个图案中“●”的个数为5 × 9 + 1 = 46（个）．
故选：D．
如图，动点?在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点?1(1,1)，第二次运动到点?2(2,0)，第三次运动到点?3(3,−2)，…，按这样的运动规律，第 2023 次运动后，动点?2023的坐标是（ ）
A．(2023,0)B．(2023,1)C．(2023,2)D．(2023,−2)
【答案】B
【分析】观察图象，得出点 P 运动的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：∵动点 P 第一次从原点 O 运动到点?1(1，1)，第二次运动到点?2 2，0，第三次运动到?3
3，−2，第四次运动到?4 4，0，第五次运动到?5(5，2)，第六次运动到?6(6，0)，…，
∴横坐标与下标相同，纵坐标每 6 次运动组成一个循环：1，0，−2，0，2，0；
∵2023 ÷ 6 = 337.1，
∴经过第 2023 次运动后，动点 P 的横坐标为 2023，纵坐标是 1，即：?2023 2023，1．故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每 6 次运动组成一个循环是解题的关键．
如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），
（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第 2022 个点的坐标为
（ ）
A．（2022，8） B．（63，5） C．（64，5） D．（64，4）
【答案】C
【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有 1 个点，
?(?+1)
第二列有 2 个点…第 n 列有 n 个点，可得前 n 列共有 2个点，第 n 列最下面的点的坐标为（n，0），最
后按照规律可得第 2022 个点的坐标．
【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有 1
个点，第二列有 2 个点…第 n 列有 n 个
∴前 n 列共有1 + 2 + 3 + ⋯ + ? =
?(?+1)
2个点，第 n 列最下面的点的坐标为（n，0），
∵1 + 2 + 3 + ⋯ + 63 =
63(63+1)
2
=2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序
是由上而下，
∴第 2016 个点的坐标为（63，0），第 2017 个点的坐标为（64，0），第 2018 个点的坐标为（64，1），第 2019 个点的坐标为（64，2），
第 2020 个点的坐标为（64，3），第 2021 个点的坐标为（64，4），第 2022 个点的坐标为（64，5），故选：C．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键． 7．将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对(?,?)表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如(4,2)表示 9，则表示 123 的有序数对是．
【答案】(16,14)
【分析】根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到 123 在第多少排，然后即可写出表示 123 的有序数对，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，第一排 1 个数，
第二排 2 个数，数字从大到小排列，第三排 3 个数，数字从小到大排列，第四排 4 个数，数字从大到小排列，
…，
则前 n 排的数字共有：1 + 2 + 3 + … + ? =
?(?+1)
2个数，
奇数排从小到大排列，偶数排从大到小排列，
15×16
∵当? = 15时， 2= 120，
当? = 16时，
16×17
2= 136，
∴123 在第 16 排，
∵136−123 + 1 = 14，
∴表示 123 的有序数对是16，14．故答案为： 16，14 ．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示 123 的有
序数对．
1 + 1 + 1
1222
观察下列各式：①
1 11
= 1 + − = 1；
②
1 11
1 + 1 + 1
2232
= 1 + − = 1；
1 22
1 + 1 + 1
3242
③
2 36
1 11
3
= 1 + − = 1.
412
根据上面三个等式，猜想 50 + 1 的结果为．
【答案】1 1
56
4964
【分析】利用题中的等式可得规律为：
＝11
， 将 50 + 1 变形后，符合规律，根据
1 + 1 +
?2
1
(?+1)2
规律可得结果，然后进行加减运算即可．
【详解】解：根据题意，第 n 个等式为
1 + ?−?+1
4964
1 + 1 +
?2
1
(?+1)2
＝11
∴ 50 + 1 ＝
1 + −
?
?+1
1 + 1 + 1
4964
1 + 1 + 1
7282
=
1 1571
= 1
4964
= 1 + 7−8＝5656
1
故答案为： 156．
【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．
如图，将第 1 个图中的正方形剪开得到第 2 个图，第 2 个图中共有 4 个正方形：将第 2 个图中一个正方形剪开得到第 3 个图，第 3 个图中共有 7 个正方形；将第 3 个图中一个正方形剪开得到第 4 个图，第 4 个图中共有 10 个正方形……如此下去，第 2025 个图中共有正方形的个数为．
【答案】6073
【分析】根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多 3 个，第 n 个图形的正方形的个数为3(?−1) + 1即可求解．
本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【详解】解：观察图形可知：第 1 个图中有 1 个正方形，即3 × 0 + 1；
第 2 个图中有 4 个正方形，即3 × 1 + 1；第 3 个图中有 7 个正方形，即3 × 2 + 1；第 4 个图中有 10 个正方形，即3 × 3 + 1；
……
∴第 n 个图中正方形的个数为3(?−1) + 1；当? = 2025时，
3(?−1) + 1 = 3 × (2025−1) + 1 = 6073，
∴第 2025 个图中共有正方形的个数为 6073．
故答案为：6073．
观察下列等式：?
=
31 ；
? =
1
1 + 1 + 1
1222
1 + 1 + 1
2232
71 ；
= 2 = 1 + 1×2
2
? =
= 6 = 1 + 2×3
1 + 1 + 1
3242
131
= = 1 +；
3
…
123×4
根据以上规律，计算?1 + ?2 + ?3 + ?4 +⋯ + ?2022−2022 = ．
2022
【答案】2023
【分析】根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，根据规律展开，最后合并，即可求出答案．
【详解】解：∵?
31
1 + 1 + 1
1222
=
1
= 2 = 1 + 1×2
11
1 ++
22
3
71
?2 =
= 6 = 1 + 2 × 3
11
1 ++
3242
131
?3 =
= 12 = 1 + 3 × 4
⋯
∴?1 + ?2 + ?3 +… + ?2022−2022
1111
= 1 + 1 × 2 + 1 + 2 × 3 + 1 + 3 × 4 + … + 1 + 2022 × 2023 −2022
1111111
= 2022 + 1− 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + … + 2022 − 2023 −2022
1
= 1− 2023
2022
= 2023．
2022
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了数字的规律，解此题的关键是能根据已知条件得出规律．
11．（2025·安徽滁州·三模）从图1~4依次用等式表示如下，观察点与等式之间的关系，解答下列问题：
① 22−12 = 1 + 1 × 2；
② 32−22 = 1 + 2 × 2；
③ 42−32 = 1 + 3 × 2；
④ 52−42 = 1 + 4 × 2；
……
观察等式的规律，直接写出第 6 个等式．
直接写出第?个等式（用含?的式子表示），并证明．
【答案】(1)72−62 = 1 + 6 × 2；
(2)(? + 1)2−?2 = 1 + 2?，证明过程见解析．
【分析】本题考查了数字变化的规律，有理数的混合运算，能根据所给的等式找到规律是解题的关键．
根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
根据发现的规律写出等式，按照运算法则推导证明即可．
【详解】（1）解：根据规律可得，
⑥72−62 = 1 + 6 × 2，
答：第 6 个等式是72−62 = 1 + 6 × 2．
（2）解：第?个等式：(? + 1)2−?2 = 1 + 2?．
证明：∵(? + 1)2−?2 = ?2 +2? + 1−?2 = 2? + 1，
∴(? + 1)2−?2 = 1 + 2?成立．
12．观察以下等式：
①22−21 = 2 × 21−1 × 21 = 2( )，
②23−22 = = 2( )，
③24−23 = = 2( )，
……
探究：
观察等式①②③的规律，并将等式补充完整；
请直接写出第④个等式；拓展：
按照你发现的规律，写出第 n 个等式；
计算：21 + 22 + 23 +⋯ + 22021−22022．
【答案】（1）1，2 × 22−1 × 22，2，2 × 23−1 × 23，3；（2）25−24 = 24；（3）2?+1−2? = 2?；（4）
−2
【分析】探究：（1）计算出结果即可．
根据①②③的规律写出第四个式子即可．
拓展：（1）根据①②③的规律写出第?个等式即可．
（2）首先提取负号，得出前面的规律式子，两个两个的相减，最后做到22−21即可．本题考查数字规律，有理数计算，解题关键是计算正确．
【详解】解：探究：（1）①22−21 = 2 × 21−1 × 21 = 21，
②23−22 = 2 × 22−1 × 22 = 22，
③24−23 = 2 × 23−1 × 2 = 23，
故答案为：1，2 × 22−1 × 22，2，2 × 23−1 × 23，3
（2）④25−24 = 2 × 24−1 × 24 = 24，
拓展：（1）第?个式子：2?+1−2? = 2 × 2?−1 × 2? = 2?，
（2）21 + 22 + 23 +… + 22021−22022
= −(2 2022−22021−……−23−22−21)
= −(22021−……−23−22−21)
= −(22020−……−23−22−21)
= −2．