2026届甘肃省庆阳第六中学高三3月份模拟考试数学试题含解析

这是一份2026届甘肃省庆阳第六中学高三3月份模拟考试数学试题含解析，共10页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，函数的图象大致是，集合中含有的元素个数为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．2
2．已知函数且，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
3．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的图象大致是( )
A．B．
C．D．
7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．
A．B．C．D．
9．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
10．集合中含有的元素个数为（ ）
A．4B．6C．8D．12
11．中，角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，若，且，则实数所有的可能取值构成的集合是________.
14．在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为_________
15．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______
16．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
18．（12分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值.
19．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）使得，求实数的取值范围.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状；
（2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值.
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.
【详解】
根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
将圆柱的侧面展开图平铺,
可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为，故选B.
点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.
2、B
【解析】
构造函数，判断出的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，由解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，而，所以在定义域上为增函数，且.由得，即，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.
3、D
【解析】
根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.
【详解】
，故其对应点的坐标为.
其位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.
4、B
【解析】
利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.
【详解】
由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
5、A
【解析】
根据y=Acs（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】
函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，
∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得，
又，解得，
当k=0时，解，
当k=-1时，，可得，
.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查函数y=Acs（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.
6、B
【解析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.
【详解】
设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.
【点睛】
本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.
7、A
【解析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.
【详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
8、A
【解析】
基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．
【详解】
解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，
基本事件总数，
其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，
其和等于的概率．
故选：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
9、B
【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，
把该几何体补成如下图所示的圆柱，
其体积为，故原几何体的体积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.
10、B
【解析】
解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B
11、A
【解析】
先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算．
【详解】
由题意，
．
由得，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解．
12、A
【解析】
由复数的运算法则计算．
【详解】
因为，所以
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的运算．属于简单题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】
化简集合，由，以及，即可求出结论.
【详解】
集合，若，
则的可能取值为，0，2，3，
又因为，
所以实数所有的可能取值构成的集合是.
故答案为:.
【点睛】
本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题.
14、
【解析】
利用直线与圆相切求出斜率，得到直线的方程，几何法求出
【详解】
解：直线与圆相切，圆心为
由，得或，
当时，到直线的距离，不成立，
当时，与圆相交于，两点，到直线的距离，
故答案为．
【点睛】
考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题．
15、
【解析】
先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求.
【详解】
解：的渐近线是
因为在渐近线上，所以
，
故答案为：
【点睛】
考查双曲线的离心率的求法，是基础题.
16、
【解析】
直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值.
【详解】
解：的实部与虚部相等,
所以,计算得出.
故答案为:
【点睛】
本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入bn＝an•lg2an，求出bn，利用错位相减法求出Tn．
【详解】
(1)设数列的公比为，
由题意知：，
∴，即.
∴，即.
(2)，
∴.①
.②
①－②得
∴.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题．
18、 (1)；(2)．
【解析】
(1) 由角的度数成等差数列，得.
又.
由正弦定理，得,即.
由余弦定理，得,即，解得.
(2) 由正弦定理，得
.
由，得.
所以当，即时，.
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取的中点，连接，，由，进而，由，得. 进而平面,进而结论可得证（2）（方法一）过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中点，上的点，使，连接，得，，得二面角的平面角为，再求解即可
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，由已知得，所以，又点是的中点，所以.
因为，点是线段的中点，
所以.
又因为，所以，从而平面，
所以，又，不平行，
所以平面.
（2）（方法一）由（1）知，过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
由，得，令，得.
同理，设平面的法向量为，
由，得，
令，得.
所以二面角的余弦值为.
（方法二）取的中点，上的点，使，连接，易知，.
由（1）得，所以平面，所以，
又，所以平面，
所以二面角的平面角为.
又计算得，，，
所以.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题
20、（1）；（2）或 .
【解析】
（1）分段讨论得出函数的解析式，再分范围解不等式，可得解集；
（2）先求出函数的最小值，再建立关于的不等式，可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为 ，
所以当时，；
当时， 无解；
当时，；
综上，不等式的解集为；
（2），
又，
或 .
【点睛】
本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.
21、（1），以为圆心，为半径的圆；（2）
【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到的直角坐标方程并判断形状；
（2）联立直线参数方程与的直角坐标方程，根据直线参数方程中的几何意义结合求解出的值.
【详解】
解：（1）由，得，所以，
即，.
所以曲线是以为圆心，为半径的圆.
（2）将代入，
整理得.
设点，所对应的参数分别为，，
则，.
，
解得，则.
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：；（2）若要使用直线参数方程中的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.
22、（1），（2）最大值，最小值
【解析】
（1）由曲线的参数方程，得两式平方相加求解，根据直线的极坐标方程，展开有，再根据求解.
（2）因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为
所以
两式平方相加得：
因为直线的极坐标方程为.
所以
所以
即
（2）如图所示：
圆心C到直线的距离为：
所以圆上的点到直线的最小值为：
则点M(2，0)到直线的距离为最大值：
【点睛】
本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.