2026届甘肃省陇南市徽县第三中学高考仿真卷数学试题含解析

这是一份2026届甘肃省陇南市徽县第三中学高考仿真卷数学试题含解析，共7页。试卷主要包含了已知集合，集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．设则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．展开式中x2的系数为( )
A．－1280B．4864C．－4864D．1280
4．在边长为1的等边三角形中，点E是中点，点F是中点，则（ ）
A．B．C．D．
5．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．
8．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
12．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．lgac＜lgbcB．lgca＜lgcbC．ac＜bc D．ca＞cb
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．
14．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.
15．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.
16．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，内角的边长分别为，且．
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求和的值．
18．（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,
（1）求f(x)的最小值；
（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立．
19．（12分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
20．（12分）若数列前n项和为，且满足（t为常数，且）
（1）求数列的通项公式：
（2）设，且数列为等比数列，令，.求证：.
21．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.
（1）证明：为等差数列，并求；
（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.
22．（10分）设函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；
（Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证：
.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
点的坐标满足方程，
在圆上，
在坐标满足方程，
在圆上，
则作出两圆的图象如图，
设两圆内公切线为与，
由图可知，
设两圆内公切线方程为，
则，
圆心在内公切线两侧，，
可得，，
化为，，
即，
，
的取值范围，故选B.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
2、A
【解析】
计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.
【详解】
的中点坐标为：，圆半径为，
圆方程为.
故选：.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
3、A
【解析】
根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可.
【详解】
根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：
化简得到-1280 x2
故得到答案为：A.
【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
4、C
【解析】
根据平面向量基本定理，用来表示，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：点E是中点，点F是中点
，
所以
又
所以
则
故选：C
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.
5、D
【解析】
推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．
【详解】
解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，
，设中点为，则平面，∴，
∴，解得.
故选：D
【点睛】
本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.
6、A
【解析】
根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.
【详解】
由图像知，，，解得，
因为函数过点，所以，
，即，
解得，因为，所以，
.
故选：A
【点睛】
本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.
7、B
【解析】
由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.
【详解】
因为点为中点，所以，
又因为，，
所以．
因为，，三点共线，
所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为1．
故选：B
【点睛】
本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
8、C
【解析】
根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.
【详解】
由题意知，则其中，．
又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此．
①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；
②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；
③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立；
综上所得的最大值为．
故选:C
【点睛】
本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
9、A
【解析】
可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值范围即可
【详解】
可求得直线关于直线的对称直线为，
当时，，，当时，，则当时，，单减，当时，，单增；
当时，，，当，,当时，单减，当时，单增；
根据题意画出函数大致图像，如图：
当与（）相切时，得，解得；
当与（）相切时，满足，
解得，结合图像可知，即，
故选：A
【点睛】
本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题
10、C
【解析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.
【详解】
解：∵,,
∴,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.
11、B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
12、B
【解析】
试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、20
【解析】
根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20.
14、
【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.
【详解】
双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.
由题意得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
15、，
【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.
【详解】
由是偶函数及，可取，
则，
由的图象关于点对称，得，，
即，，可取.
故，的一组值可以分别是，.
故答案为：，.
【点睛】
本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.
16、
【解析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，
则：，，
且，，
据此可知在方向上的投影为.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理计算即可得到所求值；
（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值．
【详解】
解：（1）由余弦定理

由正弦定理得
（2）由已知得：

所以------①
又所以------②
由①②解得
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18、 (1) (2)（ (3)见证明
【解析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【详解】
（1）
当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；
（2）因为所以问题等价于在上恒成立，
记则，
因为，
令
函数f(x）在（0,1）上单调递减;
函数f(x）在（1，+）上单调递增；
即，
即实数a的取值范围为（.
（3）问题等价于证明
由（1）知道
，令
函数在（0,1）上单调递增；
函数在（1，+）上单调递减；
所以{，
因此，因为两个等号不能同时取得，所以
即对一切，都有成立.
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）,对函数求导,分别求出和,即可求出在点处的切线方程;
（2）对求导,分、和三种情况讨论的单调性,再结合在上恒成立,可求得的取值范围.
【详解】
（1）因为,所以,所以,
则,故曲线在点处的切线方程为.
（2）因为,所以,
①当时,在上恒成立,则在上单调递增,
从而成立,故符合题意;
②当时,令,解得,即在上单调递减,
则,故不符合题意;
③当时,在上恒成立,即在上单调递减,则,故不符合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】
本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.
20、（1）（2）详见解析
【解析】
（1）利用可得的递推关系，从而可求其通项.
（2）由为等比数列可得，从而可得的通项，利用错位相减法可得的前项和，利用不等式的性质可证.
【详解】
（1）由题意，得：（t为常数，且），
当时，得，得.
由，
故，，故.
（2）由，
由为等比数列可知：，又，故
，化简得到，
所以或（舍）.
所以，，则.
设的前n项和为.则
，相减可得
【点睛】
数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
21、（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.
【解析】
（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.
（2），则可求出，令，即可求出 的取值范围，进而求出最小值.
【详解】
解析：（1）由题意可得，当时，，∴，，
当时，，整理可得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，.
（2）由（1）可得，
∴，解得，
∴最小正整数的值为35.
【点睛】
本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了 与 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有 与 的递推关系时，常代入 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.
22、（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．
【解析】
（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；
（Ⅲ）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，，，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可．
【详解】
解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，
当时，f′（x）＜2，当时，f′（x）＞2，
所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）设，
则，
因为x≥2，故，
（ⅰ）当a≥1时，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）单调递减，
而g（2）＝2，所以对所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；
（ⅱ）当1＜a＜1时，2＜1﹣a＜1，若，则g′（x）＞2，g（x）单调递增，
而g（2）＝2，所以当时，g（x）＞2，即f（x）＞ax；
（ⅲ）当a≤1时，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）单调递增，
而g（2）＝2，所以对所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；
综上，a的最小值为1．
（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an•an+1，由a1＝1得，an≠2，
所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，，，
⇔，
由（Ⅱ）知a＝1时，，x＞2，
即，x＞2．
法一：令，得，
即
因为，
所以，
故．
法二：⇔
下面用数学归纳法证明．
（1）当n＝1时，令x＝1代入，即得，不等式成立
（1）假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，不等式成立，
即，
则n＝k+1时，，
令代入，
得
，
即：，
由（1）（1）可知不等式对任何n∈N*都成立．
故．
考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前项和；5、不等式的证明．