2026届甘肃省临洮县二中高三第二次联考数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省临洮县二中高三第二次联考数学试卷含解析，共4页。试卷主要包含了若a＞b＞0，0＜c＜1，则，设为非零实数，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A．B．4C．D．
2．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）
A．400米B．480米
C．520米D．600米
5．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BEB．EF平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE,BF所成的角为定值
7．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．lgac＜lgbcB．lgca＜lgcbC．ac＜bc D．ca＞cb
8．设为非零实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（ ）
A．sina＞sinbB．ca＞cbC．ac＜bcD．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等差数列（）中，若，，则的值是______.
14．如图，在平面四边形中，，则_________
15．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________.
16．设满足约束条件，则的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，底面是等腰梯形，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值．
18．（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,
（1）求f(x)的最小值；
（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立．
19．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令
（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；
（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．
21．（12分）对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
22．（10分）有最大值，且最大值大于.
（1）求的取值范围；
（2）当时，有两个零点，证明：.
(参考数据：)
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.
【详解】
程序运行过程如下：
，；，；，；
，；，；
，；，，退出循环，输出结果为，
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.
2、C
【解析】
由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.
【详解】
解：由题意知：，，设，则
在中，列勾股方程得：，解得
所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为
故选C.
【点睛】
本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.
3、A
【解析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】
因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
4、B
【解析】
根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.
【详解】
设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：
由题意可得，解得；
且满足，
故解得塔高米，即塔高约为480米.
故选：B
【点睛】
本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.
5、D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
依题意有， ①
， ②
①②得，又因为，
所以，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
【点睛】
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
6、D
【解析】
A．通过线面的垂直关系可证真假；B．根据线面平行可证真假；C．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D．根据列举特殊情况可证真假.
【详解】
A．因为，所以平面，
又因为平面，所以，故正确；
B．因为，所以，且平面，平面，
所以平面，故正确；
C．因为为定值，到平面的距离为，
所以为定值，故正确；
D．当，，取为，如下图所示：
因为，所以异面直线所成角为，
且，
当，，取为，如下图所示：
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
所以异面直线所成角为，且，
由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.
7、B
【解析】
试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
8、C
【解析】
取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.
【详解】
，故，，故正确；
取，计算知错误；
故选：.
【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
9、C
【解析】
设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.
【详解】
设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
10、C
【解析】
，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知，，令，得.
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.
11、D
【解析】
通过列举法可求解，如两角分别为时
【详解】
当时，，但，故充分条件推不出；
当时，，但，故必要条件推不出；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题
12、B
【解析】
根据函数单调性逐项判断即可
【详解】
对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；
对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确
对C,因为y＝xc为增函数,故 ，错误；
对D, 因为在为减函数，故 ，错误
故选B．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-15
【解析】
是等差数列，则有，可得的值，再由可得，计算即得.
【详解】
数列是等差数列，，又，，
，故.
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出和公差，再计算.
14、
【解析】
由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．
【详解】
由题意得
，
∴．
【点睛】
突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷．
15、27
【解析】
利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.
【详解】
由等比数列的性质可知，则，
.
当且仅当时取得最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.
16、
【解析】
作出可行域，将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或，分别计算出与，再由不等式的简单性质即可求得答案.
【详解】
作出满足约束条件的可行域，
显然当时，z=0；
当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或
显然，联立，所以
则或，故或
综上所述，
故答案为：
【点睛】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面平面;
（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：因为点为的中点,,所以,
因为,所以,所以四边形是平行四边形,
因为,所以平行四边形是菱形,所以,
因为平面平面,且平面平面,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC,BE,OP两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为底面ABCD是等腰梯形,,所以四边形ABCE是菱形，且,
所以,
则,设平面ABF的法向量为,
则,不妨取,则,
设平面DBF的法向量为,
则,不妨取,则,
故.
记二面角的大小为,故.
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.
18、 (1) (2)（ (3)见证明
【解析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【详解】
（1）
当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；
（2）因为所以问题等价于在上恒成立，
记则，
因为，
令
函数f(x）在（0,1）上单调递减;
函数f(x）在（1，+）上单调递增；
即，
即实数a的取值范围为（.
（3）问题等价于证明
由（1）知道
，令
函数在（0,1）上单调递增；
函数在（1，+）上单调递减；
所以{，
因此，因为两个等号不能同时取得，所以
即对一切，都有成立.
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；
（Ⅱ）构造函数，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.
【详解】
（Ⅰ）当时，，则.
所以.
又，故所求切线方程为，即.
（Ⅱ）依题意，得，
即恒成立.
令，
则.
①当时，因为，不合题意.
②当时，令，
得，，显然.
令，得或；令，得.
所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.
当时，，，
所以，
只需，所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.
20、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；
（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak．
【详解】
（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.
（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:
假如存在，使得.
因为，，
所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1.
令.
一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①，
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；
也表示m，从而②，
①，②相矛盾，从而不存在，使得.
（Ⅲ）记这个实数之积为p.
一方面，从“行”的角度看，有；
另一方面，从“列”的角度看，有；
从而有③，
注意到，，
下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数，
由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，
所以，
对数表，显然.
将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，
将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，
依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表，
即数表满足：，其余，
所以，，
所以，
由k的任意性知，l（A）的取值集合为.
【点睛】
本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.
21、 (Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，
【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，
根据对应关系得到，再计算，，得到答案.
【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.
【点睛】
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；
（2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论.
【详解】
（1）函数的定义域为，且.
当时，对任意的，，
此时函数在上为增函数，函数为最大值；
当时，令，得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，
即，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）当时，，定义域为，
，当时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
由于函数有两个零点、且，，
，
构造函数，其中，
，
令，，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，则，则.
所以，函数在区间上单调递减，
，，
即，即，
，且，而函数在上为减函数，
所以，，因此，.
【点睛】
本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.
a11
a12
…
a1n
a21
a22
a2n
…
…
…
…
an1
an2
…
ann