2026届甘肃省泾川县第三中学高考临考冲刺数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省泾川县第三中学高考临考冲刺数学试卷含解析，共4页。试卷主要包含了已知定义在上的奇函数满足，下列命题为真命题的个数是，在原点附近的部分图象大概是，数列满足，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( )
A．1B．-3C．1或D．-3或
2．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．24D．
3．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数）
①；②；③.
A．0B．1C．2D．3
5．在原点附近的部分图象大概是（ ）
A．B．
C．D．
6．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为( )
A．B．C．D．
7．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．数列满足：，，，为其前n项和，则（ ）
A．0B．1C．3D．4
9．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．设全集U=R，集合，则（ ）
A．B．C．D．
12．设，则
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数满足则的最大值为________.
14．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．
15．从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是________（结果用最简分数表示）
16．已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．
18．（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
20．（12分）在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
21．（12分）在中， 角，，的对边分别为， 其中， .
（1）求角的值；
（2）若，，为边上的任意一点，求的最小值.
22．（10分）记数列的前项和为，已知成等差数列.
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】
由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为：D
【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
2、A
【解析】
推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.
【详解】
解： 在四面体中，为等边三角形，边长为6，
，，，
，
，
分别取的中点，连结，
则，
且，，
，
，
平面，平面，
，
四面体的体积为：
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.
3、A
【解析】
因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；
（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，
（3）函数周期为T,则
4、C
【解析】
对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.
【详解】
由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；
对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，
因为，则
又由，所以，即，所以②不正确；
对于③中，设函数，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，即，即，所以是正确的.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
5、A
【解析】
分析函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
令，可得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，则函数为奇函数，排除C、D选项；
当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6、B
【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.
【详解】
由（）★★ ，得（+2）★★，
又★，所以★，★，★， ，以此类推，2020★2018★2018，
又◆◆，◆，
所以◆，◆，◆， ，以此类推，◆2020，
所以（◆2020）（2020★2018），
故选：B.
【点睛】
本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.
7、B
【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.
【详解】
抛物线，则焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可得，
圆，圆心为，半径为，
点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.
点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，
则的周长为，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.
8、D
【解析】
用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.
【详解】
由已知，①，所以②，①+②，得，
从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.
9、D
【解析】
利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.
【详解】
由抛物线焦点在轴上，准线方程，
则点到焦点的距离为，则，
所以抛物线方程：，
设，圆，圆心为，半径为1，
则，
当时，取得最小值，最小值为，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.
10、B
【解析】
求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围．
【详解】
，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，
因此要使函数有两个零点，则，∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．
11、A
【解析】
求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．
【详解】
，
，
则，
故选：A．
【点睛】
本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．
12、C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】
根据柯西不等式：，故，
当，即，时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.
14、
【解析】
记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．
15、
【解析】
依据古典概型的计算公式，分别求“任取两个数”和“任取两个数，和是质数”的事件数，计算即可。
【详解】
“任取两个数”的事件数为，“任取两个数，和是质数”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3个，所以任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是。
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法。
16、
【解析】
设,可得的取值范围,分别利用基本不等式和，把用代换,结合的取值范围求关于的二次函数的最值即可求解.
【详解】
因为,，令，则 ,
因为,当且仅当时等号成立,
所以 ,,
即,
令则函数的对称轴为,
所以当时函数有最大值为,
即．
当且，即，或，时取等号；
因为,当且仅当时等号成立,
所以,
令,则函数的对称轴为,
所以当时,函数有最小值为,
即，
当,且时取等号，
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查基本不等式与二次函数求最值相结合求代数式的取值范围;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;基本不等式:和的灵活运用是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）,；（2） .
【解析】
（1）先把直线和曲线的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；
（2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得，再由面积可解得极角，从而可得．
【详解】
（1）直线的参数方程是为参数），
消去参数得直角坐标方程为：．
转换为极坐标方程为：，即．
曲线的参数方程是（为参数），
转换为直角坐标方程为：，
化为一般式得
化为极坐标方程为：．
（2）由于，得，．
所以，
所以，
由于，所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
18、 (Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.
【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、 (1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.
详解：
（）∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．
点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.
20、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.
【详解】
(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，
底面，底面，故，
且，故平面，
平面，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
设平面的一个法向量为,
则：，
据此可得平面的一个法向量为，
而，
设直线与平面所成角为，
则.
(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，
设，，
据此可得：，即：,
从而点F的坐标为，
据此可得：,，
结合题意有：，解得：.
故点F为中点时满足题意.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；
（2）在中， 由余弦定理得，在中结合正弦定理求出，从而得出，即可得出的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出的最小值.
【详解】
（1） ，
，
由题知，，则，则
，
，
；
（2）在中， 由余弦定理得，
，
设， 其中.
在中，，
，
，
，
所以，
，
所以的几何意义为两点连线斜率的相反数，
数形结合可得，
故的最小值为.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.
22、（1）证明见解析，；（2）
【解析】
（1）由成等差数列，可得到，再结合公式，消去，得到，再给等式两边同时加1，整理可证明结果；
（2）将（1）得到的代入中化简后再裂项，然后求其前项和.
【详解】
（1）由成等差数列，则，
即，①
当时，，
又，②
由①②可得：，
即，
时，.
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
，所以.
（2），
所以.
【点睛】
此题考查了数列递推式，等比数列的证明，裂列相消求和，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.