2026届福州三中高三下学期第五次调研考试数学试题含解析2

这是一份2026届福州三中高三下学期第五次调研考试数学试题含解析2，共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知函数满足，定义在上的函数满足，则，已知函数，综上，得或等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．函数在上单调递减D．函数的图像关于点对称
3．已知函数，则下列判断错误的是（ ）
A．的最小正周期为B．的值域为
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
4．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（ ）
A．0B．1C．-1D．
5．定义在上的函数满足，则（）
A．-1B．0C．1D．2
6．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )
A．B．C．D．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
11．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
12．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）

A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则______.
14．的展开式中项的系数为_______．
15．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．

16． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）若，，，，求二面角的正弦值.
18．（12分）已知函数（是自然对数的底数，）.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.
20．（12分）等差数列的前项和为，已知，.
（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；
（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.
21．（12分）如图，三棱锥中，
（1）证明：面面；
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，证明：，，使.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由题意可得面，可知，因为，则面，于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果.
【详解】
解：由，翻折后得到，又，
则面，可知．
又因为，则面，于是，
因此三棱锥外接球球心是的中点．
计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．
2、B
【解析】
根据函数，在上是单调函数，确定 ，然后一一验证，
A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.
【详解】
因为函数，在上是单调函数，
所以 ，即，所以 ，
若，则，又因为，即，解得， 而，故A错误.
由，不妨令 ，得
由，得 或
当时，，不合题意.
当时，，此时
所以，故B正确.
因为，函数，在上是单调递增，故C错误.
，故D错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.
3、D
【解析】
先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
可得
对于A，的最小正周期为,故A正确；
对于B，由，可得，故B正确；
对于C，正弦函数对称轴可得：
解得：，
当，，故C正确；
对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：
解得：
若图象关于点对称，则
解得：，故D错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
4、C
【解析】
由题意可知，代入函数表达式即可得解.
【详解】
由可知函数是周期为4的函数，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.
5、C
【解析】
推导出，由此能求出的值．
【详解】
∵定义在上的函数满足，
∴，故选C．
【点睛】
本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.
6、A
【解析】
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.
【详解】
解：，
∴，
设，
∴，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，
当时，，当，，
函数恒过点，
分别画出与的图象，如图所示，
，
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，
∴且，即，且
∴，
故实数m的最大值为，
故选：A
【点睛】
本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.
7、A
【解析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.
【详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
8、B
【解析】
试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，．
考点：程序框图、茎叶图．
9、D
【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
10、D
【解析】
设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．
【详解】
过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，
则，
为双曲线上的点，则，即，得，，
又，在中，由余弦定理可得，
整理得，即，，解得或.
故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11、A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
12、B
【解析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的值.
【详解】
根据程序框图，执行循环前：，，，
执行第一次循环时：，，所以：不成立．
继续进行循环，…，
当，时，成立，，
由于不成立，执行下一次循环，
，，成立，，成立，输出的的值为.
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.
【详解】
向量,
则,
则
因为
即,化简可得
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.
14、40
【解析】
根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数．
【详解】
根据二项定理展开式的通项式得
所以 ，解得
所以系数
【点睛】
本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．
15、或
【解析】
依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或．
16、
【解析】
分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列．
【详解】
第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）要证明平面，只需证明，，即可求得答案；
（2）先根据已知证明四边形为矩形，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，求得平面的法向量为，平面的法向量，设二面角的平面角为，，即可求得答案.
【详解】
（1）平面，平面，
.
，，
.
又，
平面.
（2）由（1）可知.
在中，，
.
.
又，，
四边形为矩形.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，
如图：
则：，，，，
：，
设平面的法向量为，
即，
令，则，
由题平面，即平面的法向量为
由二面角的平面角为锐角，
设二面角的平面角为
即
二面角的正弦值为：.
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
18、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）在上恒成立，只需，注意到；
（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，
所以切线方程为，即.
（2），.
因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，
即，
所以，即，又，
故，所以实数的取值范围是.
（3）.
因为函数在区间上有两个极值点，
所以方程在上有两不等实根，即.
令，则，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得且.
又由，所以，
且当和时，单调递增，
当时，单调递减，是极值点，
此时
令，则，
所以在上单调递减，所以.
因为恒成立，所以.
若，取，则，
所以.
令，则，.
当时，；当时，.
所以，
所以在上单调递增，所以，
即存在使得，不合题意.
满足条件的的最小值为-4.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）直接利用极坐标公式计算得到答案
（2）设，，根据三角函数的有界性得到答案.
【详解】
（1）因为，所以，
因为所以直线的直角坐标方程为.
（2）由题意可设，
则点到直线的距离.
因为，所以，
因为，故的最小值为.
【点睛】
本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
20、（Ⅰ）， （Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.
（Ⅱ），根据裂项求和法计算得到得到证明.
【详解】
（Ⅰ）等差数列的公差为，由，得，，
即，，解得，.
∴，.
（Ⅱ），∴，
∴，即.
【点睛】
本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
21、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连结，证明平面得到答案.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）取中点，连结，，，
，，为直角，，
平面，平面，∴面面.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，
可取为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为.
则，其中，
，不妨取，则.
.
为锐二面角，∴二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
22、（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1），分，，，四种情况讨论即可；
（2）问题转化为，利用导数找到与即可证明.
【详解】
（1）.
①当时，恒成立，
当时，；
当时，，所以，
在上是减函数，在上是增函数.
②当时，，.
当时，；
当时，；
当时，，所以，
在上是减函数，在上是增函数，
在上是减函数.
③当时，，
则在上是减函数.
④当时，，
当时，；
当时，；
当时，，
所以，在上是减函数，
在上是增函数，在上是减函数.
（2）由题意，得.
由（1）知，当，时，，
.
令，，
故在上是减函数，有，
所以，从而.
，，
则，
令，显然在上是增函数，
且，，
所以存在使，
且在上是减函数，
在上是增函数，
，
所以，
所以，命题成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.