2026届甘肃省宕昌县第一中高三二诊模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省宕昌县第一中高三二诊模拟考试数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了已知集合，，，则，已知双曲线，设 ,则，若复数，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “”是“函数（为常数）为幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
4．已知集合，，，则( )
A．B．C．D．
5．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
6．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ）
A．6种B．12种C．24种D．36种
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
9．设 ,则( )
A．10B．11C．12D．13
10．若复数，则（ ）
A．B．C．D．20
11．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．
A．1B．C．2D．3
12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：___________．
14．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．
15．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数满足的取值范围是__________．
16．已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
18．（12分）已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.
19．（12分）在中，，， .求边上的高.
①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
20．（12分）已知，，，，证明：
（1）；
（2）.
21．（12分）已知，，求证：
（1）；
（2）.
22．（10分）已知三点在抛物线上.
（Ⅰ）当点的坐标为时，若直线过点，求此时直线与直线的斜率之积；
（Ⅱ）当，且时，求面积的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数为幂函数时，，
解得或，
∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
2、B
【解析】
基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.
【详解】
解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，
取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，
所以，所求的概率.
故选：B.
【点睛】
本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．
3、D
【解析】
结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.
【详解】
若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：D
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.
4、A
【解析】
求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.
【详解】
由，得，所以，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
5、C
【解析】
由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.
【详解】
，，
由于，则，同理可知，，
函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，
，则，，则，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.
所以，.
故选：C.
【点睛】
本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.
6、B
【解析】
分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.
【详解】
如果甲单独到县，则方法数有种.
如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.
故总的方法数有种.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.
7、D
【解析】
连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.
【详解】
连接，
则，，
所以，
在中，，，
故
在中，由余弦定理
可得.
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
8、D
【解析】
构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
构造函数，，
则，，
所以，函数、在区间上均为减函数，
当时，则，；当时，，.
由得.
①若，则，即，不合乎题意；
②若，则，则，
此时，，
由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；
③若，则，则，
此时，
由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
9、B
【解析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．
【详解】
∵f（x），
∴f（5）＝f[f（1）]
＝f（9）＝f[f（15）]
＝f（13）＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．
10、B
【解析】
化简得到，再计算模长得到答案.
【详解】
，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.
11、C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；
12、B
【解析】
设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】
设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，
所以，
则
，
当时，，
当时，，
当且仅当时取等号，此时，
，
点在以为焦点的椭圆上，，
由椭圆的定义得，
所以椭圆的离心率，故选B.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、231,321,301,1
【解析】
分个位数字是1、3两种情况讨论，即得解
【详解】
0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有：
（1）当个位数字是1时，数字可以是231,321,301；
（2）当个位数字是3时数字可以是1．
故答案为：231,321,301，1
【点睛】
本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
14、
【解析】
记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．
15、
【解析】
问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．
【详解】
解：直线，点，，
直线上存在点满足，
的轨迹方程是．
如图，直线与圆有公共点，
圆心到直线的距离：
，
解得．
实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．
16、
【解析】
由题意可知：为上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为上的增函数，则在，单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围．
【详解】
若方程无解，
则或恒成立，所以为上的单调函数，
都有，
则为定值，
设，则，易知为上的增函数，
，
，
又与的单调性相同，
在上单调递增，则当，，恒成立，
当，时，，，，，
，
此时，
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析，
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
所以.
【点睛】
本题是一道考查概率和期望的常考题型.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由,可求出的值,进而可求得的解析式;
（2）分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围.
【详解】
（1）因为,所以,
解得,
故.
（2）因为,所以,所以，则,
图象的对称轴是.
因为,所以,
则,解得,故的取值范围是.
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
19、详见解析
【解析】
选择①，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再计算边上的高.
选择②，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求边上的高.
选择③，利用余弦定理列方程求出，再计算边上的高.
【详解】
选择①，在中，由正弦定理得，
即，解得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择②，在中，由正弦定理得，
又因为，所以，即；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择③，在中，由，得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
【点睛】
本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.
20、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）先由基本不等式可得，而，即得证；
（2）首先推导出，再利用，展开即可得证.
【详解】
证明：（1），
，
，
（当且仅当时取等号）.
（2），，，，
，
，
，
.
【点睛】
本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
21、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）结合基本不等式可证明；
（2）利用基本不等式得，即，同理得其他两个式子，三式相加可证结论．
【详解】
（1）∵，
∴
，当且仅当a=b=c等号成立，
∴；
（2）由基本不等式，
∴，同理，，
∴，当且仅当a=b=c等号成立
∴．
【点睛】
本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立．解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法．
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）16.
【解析】
（Ⅰ）设出直线的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；
（Ⅱ）利用，，的斜率，求得的坐标，，再用基本不等式求得的最小值，从而可得三角形的面积的最小值．
【详解】
解：（Ⅰ）设直线的方程为.
联立方程组，得，
，故，.
所以
；
（Ⅱ）不妨设的三个顶点中的两个顶点在轴右侧（包括轴），
设，，，的斜率为，
又，则， ①
因为，所以②
由① ②得，，（且）
从而
当且仅当时取“”号，从而，
所以面积的最小值为.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题．
X
0
1
2
P