2026届甘肃省定西市陇西二中高三第六次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省定西市陇西二中高三第六次模拟考试数学试卷含解析，共4页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知向量，，，若，则，已知函数,则函数的图象大致为，设实数满足条件则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是（ ）
A．③④B．①③C．②③D．①②
5．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ）

A．B．C．D．
6．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数,则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．设实数满足条件则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）
A．2B．3C．7D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则可取到的最大值为__________.
14．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.
15．已知，则满足的的取值范围为_______．
16．已知函数，令，，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，内角的对边分别为，且
（1）求；
（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.
18．（12分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．
(Ⅰ)求证：平面平面．
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．
19．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．
20．（12分）已知数列的通项，数列为等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和.
21．（12分）设等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前项和及使得最小的的值.
22．（10分）设，
（1）求的单调区间；
（2）设恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.
【详解】
如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，
，故，，
设球半径为，则，解得，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
2、A
【解析】
设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
设所求切线的方程为，则，
联立，消去得①，由，解得，
方程①为，解得，则点，
所以，阴影部分区域的面积为，
矩形的面积为，因此，所求概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
3、A
【解析】
在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.
【详解】
由已知，，在中，由余弦定理，得
，又，，所以，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立三者间的关系，本题是一道中档题.
4、C
【解析】
①举反例，如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.
【详解】
①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确；
②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；
③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；
④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.
故选:C.
【点睛】
此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.
5、D
【解析】
利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.
【详解】
在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，
矩形中位于曲线上方区域的面积为，
矩形的面积为，
由几何概型的概率公式得，所以，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
6、A
【解析】
对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.
【详解】
因为为纯虚数，所以，得
所以.
故选A项
【点睛】
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
7、A
【解析】
根据向量坐标运算求得，由平行关系构造方程可求得结果.
【详解】
，
，解得：
故选：
【点睛】
本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则.
8、A
【解析】
用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.
【详解】
设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确.
故选：A
【点睛】
本题考查了函数图像的性质，属于中档题.
9、C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
10、A
【解析】
先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.
在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.
故选：A
【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
11、B
【解析】
根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.
【详解】
由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为，
所以，，
又以为直径的圆经过点，则，即，解得，，
所以，，即，即，
所以，双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题.
12、C
【解析】
先确定集合中元素，可得非空子集个数．
【详解】
由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．
故选：C．
【点睛】
本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
由于曲线与直线相交，存在相邻两个交点间的距离为，所以函数的周期，可得到的取值范围，再由解出的两类不同的值，然后列方程求出，再结合的取值范围可得的最大值.
【详解】
，可得，由，则或，即或，由题意得，所以，则或，所以可取到的最大值为4.
故答案为：4
【点睛】
此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
14、18
【解析】
先由，可得，再结合等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，.
故答案为：18.
【点睛】
本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题.
15、
【解析】
将f（x）写成分段函数形式，分析得f（x）为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.
【详解】
根据题意，f（x）＝x|x|＝，
则f（x）为奇函数且在R上为增函数，
则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，
解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；
故答案为：[，+∞）．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性．
16、4
【解析】
根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，，，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.
【详解】
由题意，函数，且，，
可得，
，
又由，可得为常数列，且，
数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以，
其中数列满足，
所以，
所以，
又由，
可得数列的前n项和为，
数列的前n项和为，
所以数列的前项和为，满足，
所以，即，
又由表示不超过实数的最大整数，所以.
故答案为：4.
【点睛】
本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；
（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.
【详解】
解：（1）
整理得
解得或(舍去)
又
；
（2）由题意知
，
又，
，
又
周长的取值范围是
【点睛】
本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.
18、 (Ⅰ)见解析. (Ⅱ) .
【解析】
(I)证明平面得出平面，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．
【详解】
(I)证明：
分别为的中点
，，又
平面
平面，又平面
平面平面
(II)，为定值
当平面时，三棱锥的体积取最大值
以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系
则
，
设平面的法向量为，则
即，令可得
平面 是平面的一个法向量
平面与平面所成角的正弦值为
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题．
19、（1），； （2）.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；
(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.
【详解】
(1)依题意得: ，
所以 ，
所以
解得
设等比数列的公比为，所以
又
(2)由（1）知，
因为 ①
当时, ②
由①②得，，即，
又当时，不满足上式，
.
数列的前2020项的和

设 ③，
则 ④，
由③④得：
，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据，，成等差数列以及为等比数列，通过直接对进行赋值计算出的首项和公比，即可求解出的通项公式；
（2）的通项公式符合等差乘以等比的形式，采用错位相减法进行求和.
【详解】
（1）数列为等比数列，且，，成等差数列.
设数列的公比为，
，，解得
（2）
，
，
，
，
.
【点睛】
本题考查等差、等比数列的综合以及错位相减法求和的应用，难度一般.判断是否适合使用错位相减法，可根据数列的通项公式是否符合等差乘以等比的形式来判断.
21、（1）（2）；时，取得最小值
【解析】
（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.
（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由及，
得
解得
数列的通项公式为
（2）由（1）知
时，取得最小值.
【点睛】
本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
22、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【解析】
（1），令，解不等式即可；
（2），令得，即，且的最小值为，令，结合即可解决.
【详解】
（1），
当时，，递增，
当时，，递减.
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
，
，设的根为，即有可得，
，当时，，递减，
当时，，递增.
，
所以，
①当；
②当时，设，
递增，，所以.
综上，.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理.