2026届福建省漳州市八校高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届福建省漳州市八校高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在函数，二项式展开式中，项的系数为，一个组合体的三视图如图所示等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．充分不必要条件
2．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）
A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长
C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
3．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）
A．170B．10C．172D．12
4．已知集合，，则
A．B．C．D．
5．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
6．二项式展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．D．
7．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
9．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
10．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A．12种B．24种C．36种D．48种
11．函数的图象大致为( )
A．B．
C．D．
12．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________．
14．已知满足且目标函数的最大值为7，最小值为1，则___________．
15．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是______.
16．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期望为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：
以加工这100个零件用时的频率代替概率.
（1）求的分布列与数学期望；
（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.
18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，成等差数列，求的值；
（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）在中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．
20．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。
21．（12分）已知点到抛物线C：y1=1px准线的距离为1．
（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．
22．（10分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.
【详解】
充分性：若存在正数，使得，则，，得证；
必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；
所以是充分不必要条件
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.
2、D
【解析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】
由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
3、D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
4、C
【解析】
分析：根据集合可直接求解.
详解：,
,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
5、A
【解析】
逐一考查所给的函数：
，该函数为偶函数，周期 ；
将函数 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.
本题选择A选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
6、D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.
【详解】
二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
7、C
【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.
【详解】
由几何体的三视图可得，
几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，
故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，
即，
故选C.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.
8、B
【解析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
【详解】
f （x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，
可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．
9、B
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．
【详解】
根据已知函数
其中，的图象过点，，
可得，，
解得：．
再根据五点法作图可得，
可得：，
可得函数解析式为：
故把的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
故选B．
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
10、C
【解析】
先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.
【详解】
把甲、乙两名交警看作一个整体，个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有种方法，由分步计数原理，共有种方案。
故选：C.
【点睛】
本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.
11、A
【解析】
确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】
时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
12、C
【解析】
分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
详解：由题意，复数，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C．
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可
【详解】
由题意得函数的最小正周期,解得
故答案为：4
【点睛】
本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的
14、-2
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．
【详解】
由题意得：目标函数在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，
∴，，
∴直线AB的方程是：，
∴则，故答案为.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．
15、
【解析】
求出点坐标，由于直线与直线垂直，得出直线的斜率为，再由点斜式写出直线的方程.
【详解】
由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角，再继续旋转角得到，则直线与直线垂直，即直线的斜率为
所以直线的方程为，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.
16、0.38 0.9
【解析】
考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量的可能取值为，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.
【详解】
第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：
.
甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：
，，.
故随机变量的可能取值为，
故；；
；.
故.
故答案为：0.38 ；0.9.
【点睛】
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）分布列见解析，；（2）0.8575
【解析】
（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.
（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工个零件作示范的总时间不超过分钟的概率.
【详解】
（1）的分布列如下：
.
（2）设，分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，
则
.
【点睛】
本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.
18、见解析
【解析】
（1）因为，，成等差数列，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以，即，
所以．
（2）若B为直角，则，，
由及正弦定理可得，
所以，即，
上式两边同时平方，可得，所以（*）．
又，所以，，
所以，与（*）矛盾，
所以不存在满足为直角．
19、 (1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以 ．
进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．
解析：
（I）因为，所以，
由正弦定理，
得．
又因为 ，，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
（II）由，得，
由余弦定理，
得，
即，
因为，
解得 .
因为 ，
所以 .
20、 (1) ；(2) 存在定点，见解析
【解析】
（1）设动点，则，利用，求出曲线的方程．
（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，
消去得，设，，，利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果．
【详解】
解：（1）设动点，则，
，
，即，
化简得：。
由已知，故曲线的方程为。
（2）由已知直线过点，设的方程为，
则联立方程组，消去得，
设，，则
又直线与斜率分别为，
，
则。
当时，，；
当时，，。
所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值。
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
21、 (Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0)，与抛物线联立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．
【详解】
(Ⅰ)由已知得，所以p=1.
所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；
(II)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，
由题意直线AB斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0).
由得，
则,.
因为点A,B在抛物线C上,所以
,.
因为PF⊥x轴，
所以
，
所以|MF|⋅|NF|的值为1.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.
22、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.
【详解】
（1）因为棱柱是直三棱柱，所以
又，
所以面
又，分别为AB，BC的中点
所以//
即面
又面，所以平面平面
（2）由（1）可知////
所以//平面
即点到平面的距离等于点到平面的距离
设点到面的距离为
由（1）可知，面
且在中，，
易知
由等体积公式可知
即
由得
所以到平面的距离等于
【点睛】
本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.
加工1个零件用时（分钟）
20
25
30
35
频数（个）
15
30
40
15
20
25
30
35
0.15
0.30
0.40
0.15