2026届福建省永春一中、培元、季延、石光中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届福建省永春一中、培元、季延、石光中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析，共29页。试卷主要包含了著名的斐波那契数列，设过定点的直线与椭圆，已知函数，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．是虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．D．
2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则
A．B．C．D．
3．若函数在时取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形为正方形，延长至，使得，点在线段上运动.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则( )
A．2020B．4038C．4039D．4040
8．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数（）的部分图象如图所示.则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
12．的二项展开式中，的系数是（ ）
A．70B．-70C．28D．-28
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，内角所对的边分别为，
若 ，的面积为，
则_______ ，_______．
14．如图，在中，，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为__________．
15．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．
16．三棱柱中， ，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcsA﹣asinB＝1．
（1）求A；
（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.
（1）求证：；
（2）设平面与交于点，求证：为的中点.
19．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
20．（12分）设函数.
（1）若恒成立，求整数的最大值；
（2）求证：.
21．（12分）已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.
（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；
（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.
【详解】
由.
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的除法和模，属于基础题.
2、B
【解析】
由题意知，，由，知，由此能求出．
【详解】
由题意知，，
，解得，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
3、D
【解析】
利用辅助角公式化简的解析式，再根据正弦函数的最值，求得在函数取得最小值时的值．
【详解】
解：，其中，，，
故当，即时，函数取最小值，
所以，
故选：D
【点睛】
本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．
4、C
【解析】
以为坐标原点，以分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.
【详解】
以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为1，
则，，设，则，所以，且，
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.
5、D
【解析】
试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.
点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.
6、A
【解析】
设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.
【详解】
双曲线的右顶点为，右焦点为，
M所在直线为，不妨设，
∴MF的中点坐标为.代入方程可得，
∴，∴，∴（负值舍去）.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.
7、D
【解析】
计算，代入等式，根据化简得到答案.
【详解】
，，，故，
，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8、D
【解析】
设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线不满足条件，故可设直线：，
，，由，得，
，
解得或，
，，
，
，
，
解得，
直线的斜率的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
9、C
【解析】
由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得.
【详解】
依题意，，即,
解得；因为
所以，当时，.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.
10、D
【解析】
连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.
【详解】
连接，
则，，
所以，
在中，，，
故
在中，由余弦定理
可得.
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
11、D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
12、A
【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．
考点：二项式定理的应用．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，从而求得
，结合范围，即可得到答案
运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案
【详解】
由已知及正弦定理可得
，可得：
解得，即
，
由面积公式可得：，即
由余弦定理可得：
即有
解得
【点睛】
本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案
14、
【解析】
由余弦定理求得，再结合正弦定理得，进而得，得，则面积可求
【详解】
由，得，解得.
因为，所以，，
所以.
又因为，所以.
因为，所以.
故答案为
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题
15、
【解析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等比数列，所以数列的公比为1．
又，
所以当时，有．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.
16、
【解析】
分析题意可知，三棱柱为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心，
设棱柱的底面边长为，高为，则三棱柱的侧面积为，球的半径表示为，再由重要不等式即可得球表面积的最小值
【详解】
如下图，
∵三棱柱为正三棱柱
∴设，
∴三棱柱的侧面积为
∴
又外接球半径
∴外接球表面积.
故答案为：

【点睛】
考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） ； （2）.
【解析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得sinBcsA﹣sinAsinB＝1，结合sinB＞1，可求tanA＝，结合范围A∈（1，π），可得A的值；（2）由已知可求C＝，可求b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1）∵bcsA﹣asinB＝1．
∴由正弦定理可得：sinBcsA﹣sinAsinB＝1，
∵sinB＞1，
∴csA＝sinA，
∴tanA＝，
∵A∈（1，π），
∴A＝；
（2）∵a＝2，B＝，A＝，
∴C＝，根据正弦定理得到
∴b＝6，
∴S△ABC＝ab＝＝6．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）要做证明，只需证明平面即可；
（2）易得∥平面，平面，利用线面平行的性质定理即可得到∥，从而获得证明
【详解】
证明：（1）因为平面，平面，
所以.
因为，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
（2）因为平面与交于点，所以平面.
因为分别为的中点，
所以∥.
又因为平面，平面，
所以∥平面.
又因为平面，平面平面，
所以∥，
又因为是的中点，
所以为的中点.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题.
19、（1）；（2）7.
【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．
详解：（1）∵ ，
∴，
∵为锐角，
∴；
（2）由余弦定理得：
.
点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
20、（1）整数的最大值为；（2）见解析.
【解析】
（1）将不等式变形为，构造函数，利用导数研究函数的单调性并确定其最值，从而得到正整数的最大值；
（2）根据（1）的结论得到，利用不等式的基本性质可证得结论.
【详解】
（1）由得，
令，，
令，对恒成立，
所以，函数在上单调递增，
，，，，
故存在使得，即，
从而当时，有，，所以，函数在上单调递增；
当时，有，，所以，函数在上单调递减.
所以，，
，因此，整数的最大值为；
（2）由（1）知恒成立，，
令则，
，，，，
上述等式全部相加得，
所以，，
因此，
【点睛】
本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意，求得，，因而得出，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数，最后利用，求出的最小正周期；
（2）由（1）得，再利用整体代入求出函数的值域.
【详解】
（1） 因为 ， ，
所以，
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以
，
所以，
故函数在区间上的值域为.
【点睛】
本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.
（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.
【详解】
（1）由题意得：，：
因为曲线和相切，所以，即：；
（2）设，
所以
所以当时，面积最大值为
【点睛】
本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.