2026届福建省上杭县第一中学高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届福建省上杭县第一中学高三最后一卷数学试卷含解析，共16页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的单调递增区间是，已知集合，集合，则等于，已知复数满足，且，则，如图，抛物线等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
4．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
5．若满足，且目标函数的最大值为2，则的最小值为( )
A．8B．4C．D．6
6．已知集合，集合，则等于（ ）
A．B．
C．D．
7．已知复数满足，且，则（ ）
A．3B．C．D．
8．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ）
A．等于4B．大于4C．小于4D．不确定
11．已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．12B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数为偶函数，则________.
14．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论：
①为的重心；
②；
③当时，平面；
④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为.
其中，所有正确结论的序号是________________.
15．在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内．若，则_____．
16．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：
（1）MN∥平面ABB1A1；
（2）AN⊥A1B．
18．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求．
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
20．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.
（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.
21．（12分）在中，角的对边分别为，且，．
（1）求的值；
（2）若求的面积．
22．（10分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，
因此，实数的取值范围是．
故选：B.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
2、B
【解析】
分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】
如下图所示，
分别取、的中点、，连接、、，
由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，，
，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为，
，则，且，所以，，，
是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点，
分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，
由图形可知，，
在中，，，
所以，，
所以，球的半径为，因此，球的表面积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．
3、D
【解析】
根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．
【详解】
在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；
在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的，所以是正确的；
在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；
在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4、D
【解析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.
【详解】
因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.
故选D.
【点睛】
本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.
5、A
【解析】
作出可行域，由，可得.当直线过可行域内的点时，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.
【详解】
作出可行域，如图所示
由，可得.
平移直线，当直线过可行域内的点时，最大，即最大，最大值为2.
解方程组，得.
.
，
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值为8.
故选：.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.
6、B
【解析】
求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.
【详解】
由，
所以，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.
7、C
【解析】
设,则,利用和求得,即可.
【详解】
设,则,
因为,则,所以,
又,即,所以,
所以,
故选:C
【点睛】
本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.
8、B
【解析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．
【详解】
由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，
∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为
．
故选：B．
【点睛】
本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．
9、D
【解析】
根据复数的运算，化简得到，再结合复数的表示，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据复数的运算，可得，
所对应的点为位于第四象限.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10、A
【解析】
利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可
【详解】
据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题
11、B
【解析】
构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.
【详解】
设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，
则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,
故不等式的解集为.故选:.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.
12、C
【解析】
过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可.
【详解】
在和中，，所以，则，
过作于，连接，显然，则，且，
又因为，所以平面，
所以，
当最大时，取得最大值，取的中点，则，
所以，
因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，
所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为，
所以最大值为，故的最大值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
二次函数为偶函数说明一次项系数为0，求得参数，将代入表达式即可求解
【详解】
由为偶函数，知其一次项的系数为0，所以，，所以，
故答案为：-5
【点睛】
本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题
14、①②③
【解析】
①点在平面内的正投影为点，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于平面，而为正三角形，可得为正三角形的重心，所以①是正确的；
②取的中点，连接，则点在平面的正投影在上，记为，而平面平面，所以，所以②正确；
③若设，则由可得，然后对应边成比例，可解，所以③正确；
④由于，而的面积是定值，所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，而当点与点重合时，点到平面的距离最大，此时为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误.
【详解】
因为，连接，则有平面平面为正三角形，所以为正三角形的中心，也是的重心，所以①正确；
由平面，可知平面平面，记，
由，可得平面平面，则，所以②正确；
若平面，则，设由得，易得，由，则，由得，，解得，所以③正确；
当与重合时，最大，为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误.
故答案为：①②③
【点睛】
此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.
15、
【解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.
【详解】
解：连接设交于点以点为原点,
分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则：
设

得,
解得,
,
或,
显然得出的是定值,
取
则,
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.
16、
【解析】
根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.
【详解】
函数的图像向右平移个单位得，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用平行四边形的方法，证明平面.
（2）通过证明平面，由此证得.
【详解】
（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.
（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18、（1）;（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得，利用正弦定理可得，结合，可求，从而可求的值；（2）由三角形的面积可解得，利用余弦定理可得，故可得.
试题解析：（1）∵，，，
∴，
∴，
即 ，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴，
又，即，∴，
故．
19、（1）曲线，曲线.（2）.
【解析】
（1）用和消去参数即得的极坐标方程；将两边同时乘以，然后由解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为，代入到和：中，表示出即可求解.
【详解】
解：由和，得
，化简得
故：
将两边同时乘以，得
因为，所以
得的直角坐标方程.
（2）设直线的极坐标方程
由，得，
由，得
故
当时，取得最大值
此时直线的极坐标方程为：，
其直角坐标方程为：.
【点睛】
考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，由此可求曲线的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的普通方程，整理得，利用韦达定理，根据为的中点，解出即可.
【详解】
（1）由（为参数）消去参数，
可得，即，
已知曲线的普通方程为，
，，
，即，
曲线的极坐标方程为，
直线经过点，且倾斜角为，
直线的参数方程：（为参数，）.
（2）设对应的参数分别为，.
将直线的参数方程代入并整理，
得，
，.
又为的中点，
，
，，
，即，
，
，
，即，
.
【点睛】
本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
21、（1）3（2）78
【解析】
试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.
解析：
（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，
所以.

（2）在三角形中,由，
所以， 由，
由正弦定理,得，
所以的面积.
22、（Ⅰ）当时，