2026届福建省闽侯二中五校教学联合体高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届福建省闽侯二中五校教学联合体高三第二次调研数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A．B． C．D．
3．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
4．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
7．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．2B．3C．D．
8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
9．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
11．已知全集，则集合的子集个数为（ ）
A．B．C．D．
12．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域为______.
14．在的二项展开式中，所有项的系数的和为________
15．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．
16．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；
（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.
下面的临界值表供参考：
（参考公式，其中）
18．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，.
求证：平面；
求点到平面的距离.
19．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.
20．（12分）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且
(1)求角A；
(2)若且求△ABC的面积．
21．（12分）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、、（），求证：.
22．（10分）已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点．
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求的面积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
利用数量积的定义可得，即可判断出结论．
【详解】
解：，，，
解得，，，解得，
“”是“”的充分必要条件．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
2、D
【解析】
先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.
【详解】
解：z＝＝＝＝﹣﹣,
则|z|＝＝＝＝.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
3、B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
4、A
【解析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．
【详解】
解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由得，
由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，
所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
5、D
【解析】
分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.
【详解】
设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.
【点睛】
本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.
6、A
【解析】
利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】
双曲线：的焦点到渐近线的距离为，
可得：，可得，，则的渐近线方程为．
故选A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
7、B
【解析】
运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.
【详解】
起始阶段有，，
第一次循环后，，
第二次循环后，，
第三次循环后，，
第四次循环后，，
所有后面的循环具有周期性，周期为3，
当时，再次循环输出的,，此时，循环结束，输出，
故选：B
【点睛】
本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.
8、D
【解析】
，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D
9、C
【解析】
由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.
【详解】
∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.
故选：C.
【点睛】
本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.
10、A
【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
11、C
【解析】
先求B.再求，求得则子集个数可求
【详解】
由题=, 则集合,故其子集个数为
故选C
【点睛】
此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题
12、A
【解析】
设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值．
【详解】
解：设直线为，则，，
而满足，
那么
设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
故选：．
【点睛】
本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.
【详解】
对函数有意义，
即.
故答案为：
【点睛】
本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.
14、1
【解析】
设，令，的值即为所有项的系数之和。
【详解】
设，令，
所有项的系数的和为。
【点睛】
本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地，
对于 ，展开式各项系数之和为，注意与“二项式系数之和”区分。
15、
【解析】
函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：
由图象可知：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.
16、
【解析】
求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.
【详解】
的展开式的通项为，
令，得，所以，展开式中的常数项为；
令，令，即，
解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）列联表见解析，有的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）.
【解析】
（1）结合题意完善列联表，计算出的观测值，对照临界值表可得出结论；
（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.
【详解】
（1）由于在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以人中患心肺疾病的人数为人，故可将列联表补充如下：
.
故有的把握认为患心肺疾病与性别有关；
（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形：
、、、、、、、、、.
其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形，分别为：、、、、、、、、，
所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.
【点睛】
本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题，考查计算能力，属于中等题.
18、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）取中点为,则,证得平面,利用等体积法求解即可.
【详解】
（1）因为，，
，是的中点，，
为直三棱柱，所以平面，
因为为中点，所以
平面，，又,
平面
（2），
又分别是中点，
.
由（1）知，,
又平面,
取中点为,连接如图,
则，平面，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，解得，
点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.
19、
【解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.
【详解】
由，得，
， 即圆的方程为，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
【点睛】
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
20、（1）； （2）.
【解析】
（1）整理得：，再由余弦定理可得，问题得解．
（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解．
【详解】
（1）由题意，得，
∴；
（2）由正弦定理，得，
,
∴.
【点睛】
本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题．
21、（1）①当时， 在单调递增,②当时，单调递增区间为,,单调递减区间为
（2）证明见解析
【解析】
（1）先求解导函数，然后对参数分类讨论，分析出每种情况下函数的单调性即可；
（2）根据条件先求解出的值，然后构造函数分析出之间的关系，再构造函数分析出之间的关系，由此证明出.
【详解】
（1），
①当时，恒成立，则在单调递增
②当时，令得，
解得，
又，∴
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
（2）依题意得，，则
由（1）得，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴若方程有三个实数解，
则
法一：双偏移法
设，则
∴在上单调递增，∴，
∴，即
∵，∴，其中，
∵在上单调递减，∴，即
设，
∴在上单调递增，∴，
∴，即
∵，∴，其中，
∵在上单调递增，∴，即
∴.
法二：直接证明法
∵，，在上单调递增，
∴要证，即证
设，则
∴在上单调递减，在上单调递增
∴，
∴，即
（注意：若没有证明，扣3分）
关于的证明：
（1）且时，（需要证明），其中
∴
∴
∴
（2）∵，∴
∴，即
∵，，∴，则
∴
【点睛】
本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.（1）对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分类讨论函数单调性；（2）利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到证明不等式的目的.
22、（1）的值为或.（2）
【解析】
（1）分类讨论，当时，线段与抛物线没有公共点，设点在抛物线准线上的射影为，当三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当时，线段与抛物线有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.
（2）由题意可得轴且设，则，代入抛物线方程求出，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由题，，若线段与抛物线没有公共点，即时，
设点在抛物线准线上的射影为，
则三点共线时，
的最小值为，此时
若线段与抛物线有公共点，即时，
则三点共线时，的最小值为：
，此时
综上，实数的值为或.
因为，
所以轴且
设，则，代入抛物线的方程解得
于是，
所以
【点睛】
本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
女
合计
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
女
合计