2026届福建省莆田市第一中学高考仿真卷数学试题含解析

这是一份2026届福建省莆田市第一中学高考仿真卷数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了设复数满足为虚数单位)，则，集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量，满足，，且，则（ ）
A．3B．C．D．5
2．设P＝{y |y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y |y＝2x，x∈R}，则
A．P QB．Q P
C．QD．Q
3．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A．B．C．D．
5．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.
对于下列说法：
①越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.
其中正确的是：
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
6．已知函数的图象的一条对称轴为，将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点关于直线对称的点恰好在射线上，则直线被截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
8．设复数满足为虚数单位)，则（ ）
A．B．C．D．
9．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．9B．31C．15D．63
10．集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列
12．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为( )
A．1B．2C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设全集，，，则______.
14．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.
15．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________．
16．已知函数在处的切线与直线平行，则为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）时，若，，求证：．
18．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：
（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.
（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.
①求每层应抽取的人数；
②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.
19．（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下：
（1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人；
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；
（3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？
附：，.
20．（12分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
21．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.
22．（10分）已知关于的不等式有解.
（1）求实数的最大值；
（2）若，，均为正实数，且满足.证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
先求出，再利用求出，再求.
【详解】
解：
由，所以
，
，，
故选：B
【点睛】
考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
2、C
【解析】
解：因为P ={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q ={y| y=2x，x∈R }={y|y>0},因此选C
3、A
【解析】
首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.
【详解】
由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，
设中点为，连接，，可知，，
同时易知，，
所以面，故即为与面所成角，
有，
故.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.
4、D
【解析】
分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.
【详解】
设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.
【点睛】
本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.
5、A
【解析】
对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．
6、C
【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式，结合为函数的一条对称轴可求得，代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数的解析式.
【详解】
函数，
由辅助角公式化简可得，
因为为函数图象的一条对称轴，
代入可得，
即，化简可解得，
即，
所以
将函数的图象向右平行移动个单位长度可得，
则，
故选：C.
【点睛】
本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.
7、B
【解析】
由焦点得抛物线方程，设点的坐标为，根据对称可求出点的坐标，写出直线方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可.
【详解】
抛物线的焦点为，
则，即，
设点的坐标为，点的坐标为，
如图：
∴，
解得，或(舍去)，
∴
∴直线的方程为，
设直线与抛物线的另一个交点为，
由，解得或，
∴，
∴，
故直线被截得的弦长为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.
8、B
【解析】
易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
9、B
【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.
【详解】
执行程序框；；；
；；，
满足，退出循环，因此输出，
故选:B.
【点睛】
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
10、D
【解析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】
，故，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.
11、D
【解析】
由折线图逐项分析即可求解
【详解】
选项，显然正确；
对于，，选项正确；
1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.
故选：D
【点睛】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
12、D
【解析】
按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.
【详解】
，
，
.
故选：D
【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【详解】
解：，或；
∴；
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
14、.
【解析】
设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，设三棱锥的外接球为球，
分别取、的中点、，则点在线段上，
由于正方体的棱长为2，
则的外接圆的半径为，
设球的半径为，则，解得.
所以，，
则
而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，
由于，所以，
因此，点所构成的图形的面积为.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.
15、
【解析】
设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程
【详解】
设直线．
由题设得，故，
由题设可得．
由可得，
则，
从而，得，
所以l的方程为,
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
16、
【解析】
根据题意得出，由此可得出实数的值.
【详解】
，，直线的斜率为，
由于函数在处的切线与直线平行，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；
（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.
【详解】
（1），令，
则，令得，
当时，则在单调递减，
当时，则在单调递增，
所以，
当时，，即，则在上单调递增，
当时，，
易知当时，，
当时，，
由零点存在性定理知，，不妨设，使得，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以在和上单调递增，在单调递减；
（2）证明：构造函数，，
，，
整理得，
，
（当时等号成立），
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，，
这里不妨设，欲证，
即证由（1）知时，在上单调递增，
则需证，
由已知有，
只需证，
即证，
由在上单调递增，且时，
有，
故成立，从而得证.
【点睛】
本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.
18、（1），，，中位数；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②
【解析】
（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，，再结合中位数的计算方法，即可求解.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；
②由①知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可得，所以，.
设一周课外读书时间的中位数为小时，
则，解得，
即一周课外读书时间的中位数约为小时.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，
又因为，，的频数分别为20，50，130，
所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13.
②由①知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，
若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，共有21种，
其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，，共有10种.
设事件为“这2人不在同一层”，
由古典概型的概率计算公式，可得概率为.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
19、（1）（万）（2）（3）填表见解析；有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关
【解析】
(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.
(2) 由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.
(3)计算的值,对照临界值表可得答案.
【详解】
（1）（万）
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”，则,.
（3）列联表如下
，
所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.
【点睛】
本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.
20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由折叠过程知与平面垂直，得，再取中点，可证与平面垂直，得，从而可得线面垂直，再得线线垂直；
（2）由已知得为中点，以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦．
【详解】
（1）易知与平面垂直，∴，
连接，取中点，连接，
由得，，
∴平面，平面，∴，
又，∴平面，∴；
（2）由，知是中点，
令，则，
由，，
∴，解得，故．
以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，设平面的法向量为，
则，取，则．
又易知平面的一个法向量为，
．
∴二面角的余弦值为．
【点睛】
本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化．求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．
21、（1），圆的方程为：.（2）答案见解析
【解析】
（1）根据题意，可知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；
（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，，利用向量的数量积为0，即可证出.
【详解】
解：（1）易知点的坐标为，
所以，解得.
又圆的圆心为，
所以圆的方程为.
（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，
代入的方程，得.
令，得，
所以，解得.
将代入的方程，得，即点的坐标为.
所以，，
.
故.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.
22、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）由题意，只需找到的最大值即可；
（2），构造并利用基本不等式可得，即.
【详解】
（1），
∴的最大值为4.
关于的不等式有解等价于，
（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得，
（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得，
综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.
（2）证明：根据（1）求解知，所以，
又∵，，，，
，当且仅当时，等号成立，
即，∴，
所以，.
【点睛】
本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.
一周课外读书时间/
合计
频数
4
6
10
12
14
24
46
34
频率
0.02
0.03
0.05
0.06
0.07
0.12
0.25
0.17
1
来A城市发展的理由
人数
合计
自然环境
1.森林城市，空气清新
200
300
2.降水充足，气候怡人
100
人文环境
3.城市服务到位
150
700
4.创业氛围好
300
5.开放且包容
250
合计
1000
1000
自然环境
人文环境
合计
男
女
合计
P（）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
自然环境
人文环境
合计
男
100
400
500
女
200
300
500
合计
300
700
1000