宁夏回族自治区中卫市2025-2026学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份宁夏回族自治区中卫市2025-2026学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析），共8页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的图象大致为，已知复数满足，则=，已知复数，则的虚部为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
2．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围( )
A．B．C．D．
4．函数的图象大致为( )
A．B．
C．D．
5．已知复数满足，则=（ ）
A．B．
C．D．
6．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：
小王说：“入班即静”是我写的；
小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；
小李说：“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ）
A．小王或小李B．小王C．小董D．小李
7．空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）
A．这20天中指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
8．已知复数，则的虚部为（ ）
A．－1B．C．1D．
9．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
11．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ）
A．6种B．12种C．24种D．36种
12．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
14．命题“对任意，”的否定是 ．
15．展开式中的系数为_______________．
16．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，其面积记为，满足.
（1）求；
（2）若，求的值.
19．（12分）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，M、N分别为、的中点.
​
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
20．（12分）在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为．
（1）分别求、、的值；
（2）求的表达式．
21．（12分）在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可．
【详解】
解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，即．
则直线的斜率．
故选：D．
本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．
2．B
【解析】
根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.
【详解】
.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.
故选：B
本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.
3．D
【解析】
做出函数的图象，问题转化为函数的图象在有7个交点，而函数在上有3个交点，则在上有4个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数的图象如图所示，由图可知

方程在上有3个不同的实数根，
则在上有4个不同的实数根，
当直线经过时，；
当直线经过时，，
可知当时，直线与的图象在上有4个交点，
即方程，在上有4个不同的实数根.
故选:D.
本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.
4．A
【解析】
确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】
时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
5．B
【解析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.
【详解】
由，得，
所以，.
故选：B.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
6．D
【解析】
根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.
【详解】
解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，
而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；
若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，
否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，
所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；
若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的，
则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，
所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意.
所以“入班即静”的书写者是：小李.
故选：D.
本题考查推理证明的实际应用.
7．C
【解析】
结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.
【详解】
对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.
对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.
对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.
对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.
故选：
本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.
8．A
【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.
【详解】
，故的虚部为.
故选：A.
本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.
9．C
【解析】
根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.
【详解】
因为平面向量，满足，且，
所以，
所以，
所以 ，
所以，
所以与的夹角为.
故选：C
本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.
10．A
【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由双曲线可知，焦点在轴上，
则双曲线的渐近线方程为：，
由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，
∴，
即：，，
所以双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.
11．B
【解析】
分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.
【详解】
如果甲单独到县，则方法数有种.
如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.
故总的方法数有种.
故选：B
本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.
12．C
【解析】
设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.
【详解】
根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入得：.
由根与系数的关系得，，
所以.
又直线CD的方程为，同理，
所以，
所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得.
所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.
故选：C.
本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
考点：函数单调性
14．存在，使得
【解析】
试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意，”的否定是“存在，使得”．
考点：命题的否定．
15．
【解析】
把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】
解：，
故它的展开式中的系数为，
故答案为：．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16．1
【解析】
根据均值的定义计算．
【详解】
由题意，∴．
故答案为：1．
本题考查均值的概念，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1)；(2)
【解析】
（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；
（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：

即


（2）由（1）知：
，

，即的取值范围为
本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得，进而求得的值；
（2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中的值，即可将表达式化为的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得和，进而由正弦定理确定，代入整式即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得
，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以由正弦定理代入化简可得，
由（1），代入可得，
展开化简可得，
根据辅助角公式化简可得.
因为，所以，所以，
所以为等腰三角形，且，
所以.
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）取 中点，连接，，证明平面，由线面垂直的性质可得；
（2）由，即可求得三棱锥的体积．
【详解】
解：（1）证明：取中点D，连接，.
因为，，所以且，
因为，平面，平面，所以平面.
又平面，所以；
（2）解：因为平面，平面，所以平面平面，
过N作于E，则平面，
因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
由于，所以
所以，
所以.
本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题．
20．（1）,,,（2）
【解析】
（1）根据机器人的进行规律可确定、、的值；
（2）首先根据机器人行进规则知机器人沿轴行进步,必须沿轴负方向行进相同的步数,而余下的每一步行进方向都有两个选择(向上或向下),由此结合组合知识确定机器人的每一种走法关于的表达式,并得到的表达式,然后结合二项式定理及展开式的通项公式进行求解.
【详解】
解：（1）
,
,
（2）设为沿轴正方向走的步数（每一步长度为1）,则反方向也需要走步才能回到轴上,所以,1,2,……,,（其中为不超过的最大整数）
总共走步,首先任选步沿轴正方向走,再在剩下的步中选步沿轴负方向走,最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下）,即

等价于求中含项的系数,为
其中含项的系数为

故．
本题考查组合数、二项式定理,考查学生的逻辑推理能力,推理论证能力以及分类讨论的思想.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）首先证明，，，∴平面.即可得到平面，.
（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，带入公式求解即可.
【详解】
（1）∵平面，平面，∴.
又∵四边形是正方形，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
又∵，为的中点，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
（2）∵平面，，∴平面.
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
如图所示：
则，，，.
∴，，.
设为平面的法向量，
则，得，
令，则.
由题意知为平面的一个法向量，
∴，
∴平面与平面所成角的正弦值为.
本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；
（2）由题意可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列.
【详解】
（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、．
则，，
．
故的分布列为
本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.