广东省清远市2025-2026学年高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份广东省清远市2025-2026学年高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知是等差数列的前项和，，，则，若2m＞2n＞1，则，已知函数，关于x的方程f等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若实数、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则=
A．B．C．D．
3．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ）
A．等于4B．大于4C．小于4D．不确定
4．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
5．设分别是双线的左、右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点（位于轴右侧），且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．85B．C．35D．
8．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
9．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）∪（1，e）B．
C．D．（0，1）
10．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
11．为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
12．已知，，若，则实数的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________.
14．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________.
15．展开式中的系数为_________.
16．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_________种. (用数字作答)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.
18．（12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知，若，，，求的面积.
19．（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
20．（12分）已知函数．
（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；
（2）为的导函数，当，时，求证：．
21．（12分）已知直线：（为参数），曲线（为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．
22．（10分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
（Ⅰ）解不等式f(x)>1；
（Ⅱ）当x>0时，若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，得，可得点，
由得，平移直线，
当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，
此时取最小值，即.
故选：D.
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
2．C
【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
3．A
【解析】
利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可
【详解】
据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以.
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题
4．C
【解析】
根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】
由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
5．B
【解析】
由于四边形为菱形，且，所以为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.
【详解】
如图，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，，两渐近线的斜率分别为和.
故选：B
此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.
6．A
【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.
【详解】
由，，可知平面．
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
记的外心为，由为等边三角形，
可得．又，故在中，，
此即为外接球半径，从而外接球表面积为．
故选：A
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
7．B
【解析】
将已知条件转化为的形式，求得，由此求得.
【详解】
设公差为，则，所以，，，.
故选：B
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
8．B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
9．D
【解析】
原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论.
【详解】
由题意，a＞2，令t，
则f（x）＝a⇔⇔
⇔⇔．
记g（t）．
当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2，
又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．
则⇔，
记h（t）（t＞2且t≠2），
则h′（t）．
令φ（t），则φ′（t）2．
∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．
∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，
则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
由，可得，即a＜2．
∴实数a的取值范围是（2，2）．
故选：D．
此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.
10．D
【解析】
先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.
【详解】
由，，可得或，
又
所以.
故选：D.
本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.
11．D
【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．
考点：三角函数的图像变换．
12．C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．3
【解析】
根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，正数a、b满足，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为3，此时.
故答案为：3；.
本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.
14．
【解析】
如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.
【详解】
如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，
则，所以，所以球的半径，
则球的表面积为.
故答案为：.
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.
15．
【解析】
变换，根据二项式定理计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项为：，，
取和，计算得到系数为：.
故答案为：.
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．1．
【解析】
试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1．
考点：排列、组合及简单计数问题．
点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）不能，理由见解析
【解析】
（1）设，则，由此即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可求得，则直线斜率为，设其方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得关于对称，可求得，假设存在直线满足题意，设，可得，由此可得答案．
【详解】
解：（1）设，则，
，
所以椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，
与联立得，
∴，
因为两直线的倾斜角互补，所以直线斜率为，
设直线的方程为，
联立整理得，
，
所以关于对称，
由正弦定理得，
因为,所以，
由上得，
假设存在直线满足题意，
设，按某种排列成等比数列，设公比为，则，
所以，则此时直线与平行或重合，与题意不符，
所以不存在满足题意的直线．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．
18．（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可求得该函数的单调递增区间；
（2）由求得，由得出或，分两种情况讨论，结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为，
由得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2）由，得，或，或，
，，
又，
，即.
①当时，即，则由，，得，则，此时，的面积为；
②当时，则，即，
则由，解得，，.
综上，的面积为.
本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）6种；（2）；（3）.
【解析】
（1）从4条街中选择2条横街即可；
（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，，，，分别对4条路线进行分析计算概率；
（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.
【详解】
（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.
（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：
①当走时，全程不等红绿灯的概率；
②当走时，全程不等红绿灯的概率；
③当走时，全程不等红绿灯的概率；
④当走时，全程不等红绿灯的概率.
所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率
.
（3）设以下第条的路线等信号灯的次数为变量，则
①第一条：，则；
②第二条：，则；
③另外四条路线：；；
，则
综上，小明上学的最佳路线为；应尽量避开.
本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.
20．（1）极大值，极小值；（2）详见解析.
【解析】
首先确定函数的定义域和；
（1）当时，根据的正负可确定单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；
（2）通过分析法可将问题转化为证明，设，令，利用导数可证得，进而得到结论.
【详解】
由题意得：定义域为，，
（1）当时，，
当和时，；当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为.
（2）要证：，
即证：，
即证：，
化简可得：．
，，即证：，
设，令，则，
在上单调递增，，则由，
从而有：.
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.
21．（1）；（2）．
【解析】
(1)将直线和曲线化为普通方程，联立直线和曲线，可得交点坐标，可得的值；
（2）可得曲线的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.
【详解】
解：（1）直线的普通方程为，的普通方程．
联立方程组，解得与的交点为，，则．
（2）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．
本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【解析】
（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集；（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得，，再由，求得的范围．
【详解】
（Ⅰ）当时，原不等式可化为，此时不成立；
当时，原不等式可化为，解得，即；
当时，原不等式可化为，解得.
综上，原不等式的解集是．
（Ⅱ）因为，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，所以．
所以，解得，故实数的取值范围为．
本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．