2026年四川省眉山市中考一模考试数学试题（含解析）

这是一份2026年四川省眉山市中考一模考试数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了凡作图题或辅助线均用签字笔画图等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
3．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值．
5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1. 比小的有理数是（ ）
A. B. C. 4D. 0
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵ 正数和0都大于一切负数，
∴ 选项中的0和4都大于，排除C，D；
∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小，
，，，
可得，
，
比小的有理数是，
故选项A符合题意.
2. 年春假期间，许多家长热衷于带孩子参观各地博物馆增长见识．下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的重合，那么这个图形就是中心对称图形
【详解】选项A，C，D将图形旋转后，图形与原图不重合，不是中心对称图形；
选项B，将图形旋转后，与原图完全重合，因此是中心对称图形．
3. 二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材．实验课上小文将一根燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是（ ）
A. 不可能事件B. 随机事件C. 必然事件D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指一定条件下一定不发生的事件，随机事件指一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
【详解】解：∵二氧化碳不支持燃烧，将燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，木条一定熄灭，该事件满足必然事件的定义，
∴该事件是必然事件.
4. 将一个三角板如图放置，直线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再由平行线的性质可得，最后由邻补角的定义计算即可得出结果．
【详解】解：如图：
，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴．
5. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等幂的运算相关知识．
【详解】A、根据同底数幂除法法则：，，此选项符合题意；
B、根据同底数幂除法法则，，此选项不符合题意；
C、根据积的乘方法则：，，此选项不符合题意；
D、根据积的乘方法则，，此选项不符合题意．
6. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ）
A. 7尺B. 8尺C. 9尺D. 10尺
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为，
门的宽度比竹竿的长度少四尺，
门的宽度为：，
沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程：
，
即，
解得：或（舍）．
故选：B．
7. 如图是一款符合国标的可供学生午休的躺椅简化结构示意图，已知椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知：，
，
，
，
，
．
8. 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（ ）
A. 该机器人从测试点甲到测试点乙用了
B. 该机器人在测试点乙处停留了
C. 测试点乙与测试点丙之间的距离为
D. 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查从函数图象正确获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．A根据时间=路程÷速度计算即可；B．根据A和图象计算即可；C．根据路程=速度×时间计算即可；D．根据速度=路程÷时间计算即可．
【详解】解：该机器人从测试点甲到测试点乙用了，
∴A正确，不符合题意；
该机器人在测试点乙处停留了，
∴B正确，不符合题意；
测试点乙与测试点丙之间的距离为，
∴C正确，不符合题意；
该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为，
∴D错误，符合题意．
故选：D．
9. 已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 当和时，函数的值相等
D. 函数与的图象总有两个不同的交点
【答案】C
【解析】
【分析】结合二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．得出对称轴为直线，，即，又结合由对称性得另一个交点为，运用二次函数的性质得出，，和关于对称轴对称，即函数值相等，再把代入，得，整理得，依题意，联立，整理得，然后整理得 ，运用取特殊值法进行分析，即可作答．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．
∴对称轴为直线，开口向下，
得
由对称轴公式，
得
∵，
∴
∵ 二次函数与轴交于点，
由对称性得另一个交点为 ，
即
∵开口向下，在两交点和之间，
∴时，
∵，
∴，
故A选项不符合题意；
依题意，把代入
得
∵在这个范围内，开口向下，
∴ ，
故B选项不符合题意；
∵ ，
∴和关于对称轴对称，
∴函数值相等，
即当和时，函数的值相等
故C选项符合题意；
∴二次函数的图象与轴交于点，
∴，
∵，
∴，
依题意，联立，整理得
∵
∴ ，
则，
整理得 ，
当，时， ，无两个交点，
故D选项不符合题意；
10. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质可得，由题意可得，再求出，即可判断①正确；先证明，得出，连接，则为等腰直角三角形，从而可得，，证明，得出，证明，得出，再证明，得出，即可判断②正确；利用已知条件无法证明出，即可判断③错误；证明，得出，再由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，证明点、、、在以为直径的圆上，，得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，求出，从而可得，即可判断④正确．
【详解】解：①∵四边形为正方形，
∴，，，，
∵于点，交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，为等腰直角三角形，故①正确，符合题意；
∴，
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，如图：
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③利用已知条件无法证明出，故③错误，不符合题意；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点、、、在以为直径的圆上，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
11. 因式分解____________．
【答案】2x（x－2y）
【解析】
【分析】提取公因式2x即可．
【详解】解：原式＝2x（x－2y），
故答案为：2x（x－2y）．
本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
13. 已知关于的方程的一个根是5，则它的另一个根是___________
【答案】
【解析】
【详解】解：设方程 的两根为，，
根据根与系数的关系可得，
已知其中一个根为，设，
则另一个根．
14. 如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】如图：，由切线的性质得到，由切线长定理推出，求出，推出是等边三角形，即可得到的度数；掌握切线的性质、切线长定理和等边三角形的判定成为解答本题的关键．
【详解】解：∵是的切线，A，B为切点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为．
15. 如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为________．

【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理．由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再结合勾股定理，利用完全平方公式变形求得即可．
【详解】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12．
点是的中点，
当点运动到点时，，
，
，
，
故答案为：10．
三、解答题：本大题共9个小题，共90分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
16. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 解不等式组：并写出该不等式组的所有整数解．
【答案】，整数解是，0，1
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出其整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解是，0，1．
18. 如图，在中，于点，．
（1）在线段上求作一点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质作图即可；
（2）根据等边对等角可得，进而证明可得，，然后在中运用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
又，
∴．
在中，．
19. 某校举办了以“循迹竞速赛”为主题的编程比赛．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成比赛的时间用（单位：秒，用时越短成绩越好）表示，分为三组：（优秀）；B．（良好）；C．（合格），根据调查结果给出了部分信息：七年级10个小组的完成时间是：7，9，8，10，10，10，11，10，12，12．八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：9，10，9，9．八年级抽取的小组比赛完成时间扇形统计图如下图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好？请说明理由．
（3）若学校要从七、八年级的优秀小组中随机抽取2个小组代表学校参加区级比赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率．
【答案】（1）9，10，40
（2）八年级学生在此次比赛中表现更好，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由中位数、众数的定义求解，再结合扇形统计图求解的值；
（2）根据中位数、众数、优秀率分析即可；
（3）先画树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：七年级10个小组的完成时间是：7，9，8，10，10，10，11，10，12，12，
则众数；
八年级C组的数据个数为，而B组有4个数据，则A组有个数据，
而中位数是第5、6个数据的平均数，
故中位数；
，故；
【小问2详解】
解：八年级学生在此次比赛中表现更好，理由如下：
因为七年级、八年级的平均数一样，七年级、八年级的中位数和众数差不多大，但是七年级优秀的人数有2个，八年级优秀的人数有4个，明显八年级的优秀率高，故八年级学生在此次比赛中表现更好；
【小问3详解】
解：七年级的优秀小组有2个，记为A、B；八年级的优秀小组有4个，记为C、D、E、F，画树状图为
可知一共有30种等可能性的结果数，其中被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的结果数有16种，
∴被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率是．
20. 如图，在中，，以为直径作，点为中点（点在的异侧），连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、三角形的内角和定理得出，然后根据余角的性质即可得证；
（2）连接、，设的半径为r，则，根据含的直角三角形的性质得出，根据弧、弦的关系得出，结合勾股定理可求出，证明，得出，进而求出，得出，即可得证．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
证明：连接、，
设的半径为r，则，
∵，，
∴，
∵点为中点
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，将一次函数的图象向上平移，交轴于点，交直线于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求平移的距离．
【答案】（1），
（2）5或6
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设平移后的函数解析式为（），先求出C、D的坐标，然后分；讨论，根据两点间距离公式构建关于h的方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：设平移后的函数解析式为（），
当时，；当时，，
∴，
当时，则，
解得；
当时，，
解得或（舍去），
综上，平移的距离5或6．
22. 为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【答案】（1）实际施工时，每天改造管网的长度是72米
（2）以后每天改造管网至少还要增加36米
【解析】
【分析】（1）根据每天的施工效率比原计划提高了20%，设未知数，再根据比原计划提前10天完成任务列出方程即可求解；
（2）根据工期不超过40天列出不等式即可求解．
【详解】解：（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）=72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，
解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是中考常规题型，解题的关键在于找出题目中的等量关系、不等关系，列出方程或不等式．
23. 如图，在菱形中，点在边上，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，当直线时，判断的形状；
（2）如图2，线段与分别交于点，连接交于点，设，
①当时，求证：；
②当时，用含的代数式表示的长．
【答案】（1）是等腰直角三角形
（2）证明过程见解析；
【解析】
【分析】（1）延长交于点，根据已知条件得出，根据菱形的性质得到，即可得解；
（2）根据已知条件分别证明，，即可得证；由菱形和折叠条件可推导出 ，进而推导出 ， ， ， 四点共圆，由圆周角定理，得 可以得到 ，可推出 ，根据相似三角形对应边成比例，即可求出 的长．
【小问1详解】
解：延长交于点，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：沿翻折得到，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
；
在菱形中，
，，
，，
，
由翻折条件可知：
，，
，，
，，，四点共圆，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
．
本题主要考查了几何变换（翻折）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆以及等腰直角三角形的判定，本题关键是通过角的关系判断四点共圆，并利用圆周角定理推导角相等．
24. 某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程．
（1）【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．
（2）【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由．
（3）【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决：
如图2，过原点作直线，交抛物线于点，点是抛物线对称轴上一动点，点是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）小莉的说法正确，理由见解析．
（3）存在，或或或．
【解析】
【分析】（1）先求出和顶点坐标为，然后用待定系数法求解即可；
（2）设对称轴与x轴交于点K，矩形表示两辆货车，延长交抛物线于点C，求出，进而求出，再求出货车安全行驶时需要的高度即可解答；
（3）设，求出，设．根据勾股定理求出，，．①当为矩形的一边且点Q和点M在直线的上方时，如图，连接，根据求出，然后利用平移的性质求解；②当为矩形的一边且点Q和点M在直线的下方时，如图，连接，根据求出，然后利用平移的性质求解；③当为矩形的对角线时，如图和图，根据求出，然后利用中点坐标公式求解．
【小问1详解】
解：∵隧道的路面宽为10米，
∴
∴，
∵隧道顶部最高处距地面6.25米，
∴顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入，得
，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：如图1，设对称轴与x轴交于点K，矩形表示两辆货车，延长交抛物线于点C，
∵，
∴对称轴为直线，
∵两车至少间隔1米，
∴当时，．
∵车辆宽为2.5米，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴．
∵货车高为3.5米，隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，，
∴刚好满足安全要求，因此说法正确
【小问3详解】
解：设．
解得，，
∴．
∵对称轴为直线，
∴设．
∴，，．
①当为矩形的一边且点Q和点M在直线的上方时，如图，连接，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴把点P先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点Q，
∴把点O先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点M，
∴．
②当为矩形的一边且点Q和点M在直线的下方时，如图，连接，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴把点O先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点Q，
∴把点P先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点M，
∴．
③当为矩形的对角线时，如图和图，
∵，
∴，
解得，
∴或，
∵的中点坐标为，
∴或即或．
综上可知，点的坐标为或或或．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
9.9
10
八年级
9.9
9