山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题（含解析）

这是一份山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题（含解析），共18页。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列中，，则（ ）
A. 16B. 12C. 8D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】依题意，.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，
所以.
3. 已知实数是3与9的等比中项，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】是3与9的等比中项，
所以，解得．
4. 学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，则抽中的人中有女教师的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先算总数有种，再由古典概型及对立事件概率计算可得.
【详解】因为总共有名教师，任选人的总选法为组合数： 种，
“抽中的人中有女教师”的对立事件是“抽中人均为男教师”，即全男的选法为： 种
所以全男的概率为 ​，因此抽中的人中有女教师的概率： .
5. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 90B. 210C. 250D. 310
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可知成等比数列，
所以，解得.
6. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可.
【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误；
根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误；
由图可知，，所以C正确；
由图可知，，所以D错误．
7. 已知等差数列满足，则的公差的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：，解得．
8. 甲乙丙三家AI公司同时对目标网络系统发起攻防测试，三家公司成功突破系统的概率分别为，若系统仅被1家公司突破，其瘫痪的概率为，若系统被2家公司突破，其瘫痪的概率为，若3家公司同时突破，系统必定瘫痪，则该网络系统被瘫痪的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设甲乙丙突破事件并给出对应概率,利用独立事件概率公式分别算出恰好 1 家、恰好 2 家、恰好 3 家突破的概率,再分别乘以对应瘫痪概率,最后将三种情况的瘫痪概率相加,即可求出网络系统被瘫痪的总概率.
【详解】设分别表示甲、乙、丙突破系统，，相互独立.
系统瘫痪分三种情况：
仅1家突破： ，
瘫痪概率.
仅2家突破： ,
瘫痪概率.
3家均突破： ，瘫痪概率.
网络系统被瘫痪的概率为：.
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 学校在一次调查“体育迷”的活动中，随机调查了100名同学，获得了如下数据：
计算得，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是与的等差中项
C. 任取1人为体育迷的概率为
D. 没有的把握认为是否为体育迷与性别有关
【答案】ABD
【解析】
【分析】由表得出的值，即可判断AB；由表中数据及概率公式即可判断C；根据卡方的结果，对照表格即可得出结论．
【详解】由题知，，，，，
对于A，由上述计算知，，故A正确；
对于B，，因为，
所以是与的等差中项，故B正确；
对于C，由表可知，随机调查的100名同学中，45名同学为体育迷,
所以任取1人为体育迷的概率为，故C错误；
对于D，，则没有的把握认为是否为体育迷与性别有关,故D正确．
10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. 事件与相互独立B. 事件与互斥
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据独立事件及互斥事件判断AB；根据条件概率公式判断C；根据概率加法公式判断D.
【详解】对于A：，则，
所以事件与相互独立，故A正确.
对于B：若事件与互斥，则，而，故B错误.
对于C：，故C正确.
对于D：，，
所以，
而，所以，故D正确.
11. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. 为递减数列
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由前项和为可得，进而再由累乘法可得，对A直接验证，对B用定义判断可得，对C由及正弦函数的单调性判断可得，对D用放缩，并用裂项求和可得.
【详解】因为，当时，，
所以两式相减得：，即，
因为，所以，
由累乘法求通项得：，
验证当，，符合公式，因此.
A： ​，A错误；
B：因为，
所以，所以为递减数列，B正确；
C：因为，，
又因为，所以，而函数在单调递增，
所以，故C正确；
D：当时，，
当，因为，且，所以，
所以，
所以
，
故不等式成立，D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列中，，则__________.
【答案】18
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，所以.
故答案为：18.
13. 已知数列满足，，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由，得，利用代入法，求出数列前几项，进而判断该数列是周期数列，运用数列的周期求解即可.
【详解】由，得.
所以，，，
，
所以该数列的周期为3，
所以.
14. 已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机抽取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】记分别为次操作后盒中有个、个、个黑球的概率，根据，求出，根据求出，根据求出，再根据求出，即可求出答案.
【详解】记分别为次操作后盒中有个、个、个黑球的概率，
则，又，所以，
，
两边同时除以得，
所以，，，
累加得，
即，
又，所以，
，
两边同时除以得，
所以，，
，
累加得
，
即，
又，所以，
又因为，
所以，
所以当时，
.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某人工智能公司从某年起5年的利润情况如下表所示.
（1）求出关于的回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，预测该人工智能公司第6年的利润.
参考公式：.
参考数据：.
【答案】（1）
（2）5.76亿元
【解析】
【分析】（1）根据给定数表，利用最小二乘法求出回归直线方程.
（2）由（1）的结论预测利润.
【小问1详解】
依题意，，，
则，，
所以关于的回归方程为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，
所以该人工智能公司第6年的利润约为5.76亿元.
16. 已知数列满足
（1）记，证明：数列为等比数列，并求；
（2）求的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）构造法，结合等比数列定义证明；
（2）运用分组求和，结合等比数列求和公式计算即可．
【小问1详解】
证明：，
且，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
于是；
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.
（1）求质点在第3次移动后位于1的概率；
（2）记质点最终位置到原点的距离为随机变量，求的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合题意根据独立事件乘法公式计算求解；
（2）列举随机变量的可能取值，根据独立事件乘法公式计算对应概率，列出分布列，计算期望即可.
【小问1详解】
设事件为质点第3次移动后位于1，所以3次移动中有两次向右，一次向左，
则.
【小问2详解】
随机变量的所有可能取值为.
，
，
，
，
所以的分布列为
.
18. 已知数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若.
（i）求；
（ii）设为数列的前项和，证明：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用数列的通项公式的解法进行求解，注意验证是否成立；
（2）(i)方法一：构造一个新的数列进行求解；方法二：利用错位相减法进行求解；
(ii)利用裂项相消，然后放缩即可求解.
【小问1详解】
当时，，
当时， ，
验证当时，，所以
【小问2详解】
（i）由得，时，，
相减得：，
化简得：，所以，则，
又已知，当时，，所以，即，
所以，即，
法一：利用原题中关系式求.
.
法二：利用乘公比错位相减求.
因为，
所以，
则，
所以，
两式相减得：
即：，化简得：.
（ii）由（1）和（i）知.
所以
由（i）知，
所以 ，
又因为，所以.
19. 设点集，从集合中任取两个不同的点，定义两点间的距离．
（1）当时，若，求的值；
（2）若，记．
（i）求的分布列与期望；
（ii）证明：．
【答案】（1）10 （2）（i）分布列：
（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）（i）由题表示出PX=k=Cnk2n−1，得出的分布列，进而计算期望，由组合数的性质即可求解；（ii）由DX=EX2−[EX]2得原不等式等价于EX2