天津市东丽区2026届高三质量调研（二）数学试题（含解析）高考模拟

这是一份天津市东丽区2026届高三质量调研（二）数学试题（含解析）高考模拟，共9页。试卷主要包含了 已知数列满足，，则， 下列结论中正确的是， 函数的零点所在区间为， 设，分别为双曲线C等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】依题意，，而，
所以.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分性与必要性定义，结合函数的定义域与单调性判断即可得.
【详解】若，此时、无意义，故充分性不成立；
若，由函数在定义域内单调递增，故，即必要性成立；
故“”是“”的必要不充分条件.
3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得.
【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且，
对B：的定义域为，不符，故B错误；
对C：时，，不符，故C错误；
对D：时，，不符，故D错误；
对A：时，，定义域为，
且，
故该函数为奇函数，符合题意，故A正确.
4. 已知数列满足，，则（ ）
A. 211B. 225C. 239D. 261
【答案】A
【解析】
【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得.
【详解】由，则，，，
则，
即，
又，故，
故.
5. 已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】结合直线与平面的位置关系逐项判断即可得.
【详解】对A：若，，，，此时与可能平行，可能相交，故A错误；
对B：若，，，则与可能平行，可能异面，故B错误；
对C：若，，，则，故C正确；
对D：若，，，则可能在内，也可能与相交或平行，故D错误.
6. 下列结论中正确的是（ ）
A. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强；
B. 若随机变量X服从正态分布，且，则；
C. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9；
D. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个.
【答案】B
【解析】
【分析】利用相关系数的意义判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用百分位数的定义求解判断C；利用组合计数问题列式求解判断D.
【详解】对于A，线性相关系数r的绝对值越接近于1，则两个变量的线性相关性越强，A错误；
对于B，依题意，，B正确；
对于C，由，得所求第三四分位数为，C错误；
对于D，有4个选项的多选题的答案个数可能有，D错误.
7. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，则，
根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为.
8. 函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，
将的图象向左平移个单位长度，得，
再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得.
9. 设，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线l与C的左支交于点A，与C的右支交于点B，点D满足，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，，可得，则可设，再利用双曲线定义得到、，结合斜率与倾斜角关系计算可得与的关系，再表示出的各边，结合勾股定理计算即可得解.
【详解】由，故为中点，由，则，故，
设，由双曲线定义可得、，
则，则，
则，
解得，则，，
由，故，即.
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共105分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10. 已知是虚数单位，则______．
【答案】1
【解析】
【详解】由，
则.
11. 在的展开式中．的系数为______．
【答案】
【解析】
【详解】，，
使可得，则的系数为.
12. 若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】确定给定圆的圆心及半径，再利用直线与圆相切求出斜率.
【详解】圆的圆心，半径，
点在圆外，而直线与圆相交，
依题意，直线与圆相切，且斜率存在，设其方程为，
由，解得，所以的斜率为.
13. 某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】借助相互独立事件的概率公式以及全概率公式计算即可得.
【详解】；.
14. 在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算即可得空二.
【详解】由，则，故，
由P为线段CD上一点，则、、三点共线，故，即有；
，
由，当且仅当，即，时，等号成立，
故，则，
即的最小值为.
15. 设，函数，当时，的值域为______；若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分别求出时的函数值域与时函数的值域即得；分、及进行讨论即得.
【详解】当时，，当时，，
当时，，故此时的值域为；
若关于x的方程恰有一个根，
当时，可得，即，则，解得，不合题意，舍去；
当时，可得，即，
令，，则恒成立，故在上单调递增，
又，，
故当时，该方程在上有一个根；
当时，可得，即，
则，解得，
令，可得，令，可得，
故当时，该方程在上有两个根，
当时，该方程在上有一个根，
当时，该方程在上无根；
综上可得：当时，该方程无根；当时，该方程恰有一个根；
当时，该方程有两个根；当时，该方程有三个根；
当时，该方程有两个根.
故的取值范围是.
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）借助同角三角函数基本关系可求出，再利用正弦定理计算即可得解；
（2）利用三角形内角和关系、诱导公式与两角和的正弦公式计算可得，再利用面积公式计算即可得；
（3）借助二倍角公式求出、后，利用两角和的正弦公式计算即可得解.
【小问1详解】
由，则，则，
由正弦定理，可得，
由，则，故；
【小问2详解】
，
则；
【小问3详解】
，
，
则
.
17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点．
（1）求证：平面PAC；
（2）求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，过点作，垂足为，根据勾股定理易得，结合平面ABCD可得，进而求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；
（3）利用等体积法结合棱锥的体积公式求解即可.
【小问1详解】
连接，过点作，垂足为，
因为，，，，所以，则，
所以，则，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面.
【小问2详解】
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
易得平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
由于，
而到平面的距离为，
则.
18. 设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，再利用离心率定义计算即可得；
（2）由题意可求出椭圆方程，设出直线的方程，联立曲线方程，可得到与交点纵坐标有关韦达定理，再表示出、后，即可借助韦达定理计算的取值范围.
【小问1详解】
由已知，，，则，
故；
【小问2详解】
由直线与椭圆相切，故椭圆左顶点坐标为，即，
则，即椭圆方程为，
设直线，、，则、，
联立，消去可得，
恒成立，
有，，
又，，
则
，
由，故，
即的取值范围为.
19. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
（1）若数列，求集合；
（2）已知为正项等比数列，，是与的等差中项．
（i）求；
（ii）令，求．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据题意计算求解即可；
（2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解.
【小问1详解】
由题意可知数列，得
，
则；
【小问2详解】
（i）设等比数列的公比为，
由题意可知，，
解得或（不符合题意舍去），
所以，
此时数列，
因为，
所以集合中元素最多为个，即，
对于数列，此时，
若存在，则，其中，
故，
若，不妨设，则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，故，
故由得到彼此互异，
所以；
（ii），
，
则
.
20. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）
（2）证明过程见解析；
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程；
（2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式；
（3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式.
【小问1详解】
由题可知，
，则，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
要证明，即证，
即证，
令，定义域为，显然，
则，其中，
当时，令，则，
其中，，故，
故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
故在上单调递减，
当时，，
所以在上单调递增，
所以恒成立，从而，当时，等号成立；
【小问3详解】
由（2）知，当时，，
即，当时，，
故，
故