2026届福建省晋江市养正中学高考仿真卷数学试卷含解析

这是一份2026届福建省晋江市养正中学高考仿真卷数学试卷含解析，共2页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知复数z满足，一个正三棱柱的正，已知，则不等式的解集是，已知实数满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）
A．45B．50C．55D．60
3．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
6．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）
A．16B．12C．8D．6
7．已知，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
11．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．B．1C．D．i
12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为( )
A．B．C．或D．或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____.
14．已知，则_____。
15．已知数列的前项和为，，则满足的正整数的值为______.
16．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的各项都为正数，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，其中表示不超过x的最大整数，如，，求数列 的前2020项和．
18．（12分）已知函数，.
（1）当时，讨论函数的零点个数；
（2）若在上单调递增，且求c的最大值.
19．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.
（1）请用角表示清洁棒的长；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
20．（12分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点．已知长为40米,设为．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形的周长为,求的表达式;
（2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值．
21．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.
22．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
求C；
若，求，的面积
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
【详解】
由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.
由得,则.
又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.
故选：A
【点睛】
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
2、D
【解析】
根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.
【详解】
根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，
∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.
故选：D.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题
3、A
【解析】
分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．
详解：设，则，，，
∴，令，
则，，∴是上的增函数，
又，∴当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，
，∴的最小值是．
故选A．
点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．
4、B
【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
5、D
【解析】
根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.
【详解】
因为复数z满足，
所以，
所以z的虚部为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6、B
【解析】
根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.
【详解】
由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2
所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，
所以该正三棱柱的侧面积为
故选：B
【点睛】
本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.
7、A
【解析】
构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，
是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称.
不等式等价于，
等价于，注意到，
结合图像关于对称和单调递增可知.
所以不等式的解集是.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.
8、B
【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
9、A
【解析】
所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.
【详解】
解：因为满足，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：．
【点睛】
本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
10、C
【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为表示圆，
所以，解得，
因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
即 ，
解得，
此时，
因为，在递增，
所以的最大值.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11、A
【解析】
由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.
【详解】
解：∵，
∴，，
则化为，
∴z的虚部为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.
12、D
【解析】
由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A.
【详解】
由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。
故选：D.
【点睛】
本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
将已知由前n项和定义整理为，再由等比数列性质求得公比，最后由数列各项均为正数，舍根得解.
【详解】
因为
即
又等比数列各项均为正数，故
故答案为：
【点睛】
本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.
14、
【解析】
由已知求，再利用和角正切公式，求得，
【详解】
因为所以cs
因此.
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。
15、6
【解析】
已知，利用，求出通项，然后即可求解
【详解】
∵，∴当时，，∴；当时，，∴，故数列是首项为-2，公比为2的等比数列，∴.又，∴，∴，∴.
【点睛】
本题考查通项求解问题，属于基础题
16、1
【解析】
根据程序框图直接计算得到答案.
【详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）4953
【解析】
（Ⅰ）递推公式变形为，由数列是正项数列，得到，根据数列是等比数列求通项公式；
（Ⅱ），根据新定义和对数的运算分类讨论数列的通项公式，并求前2020项和．
【详解】
（Ⅰ）∵，∴，∴
又∵数列的各项都为正数，∴，即．
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴．
（Ⅱ）∵，∴，．
∴数列的前2020项的和为．
【点睛】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前项和，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.
18、（1）见解析（2）2
【解析】
（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；
（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.
【详解】
（1）当时,,定义域为,
由可得,
令,则,
由,得；由,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则的最大值为,
且当时,；当时,,
由此作出函数的大致图象,如图所示.
由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；
当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；
当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.
（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,
设,则,
①若,则,则在上单调递减,显然,
在上不恒成立；
②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意；
③若,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
由,得,
设,则,
当时,,单调递减；
当时,,单调递增,
所以,所以,
又,所以,即c的最大值为2.
【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；
（2）利用导数求得最大值即可.
【详解】
（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，
，所以，同理，
.
（2）设，
则，
令，则，即.
设，且，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，
所以当时，取得极小值，
所以.
因为，所以，又，
所以，又，
所以，所以，
所以，
所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.
【点睛】
本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
20、（1）,．（2）
【解析】
（1）由余弦定理的,然后根据直线与圆相切的性质求出,从而求出;
（2）求得的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值.
【详解】
解：（1）连．由条件得．
在三角形中,,,,由余弦定理,得
,
因为与半圆相切于,所以,
所以,所以．
所以四边形的周长为
,．
（2）设四边形的面积为,则
,．
所以,．
令,得
列表：
答：要使改建成的展示区的面积最大,的值为．
【点睛】
本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系,考查考生的逻辑思维能力,运算求解能力,以及函数与方程的思想.
21、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，求出，即可得答案；
（2）根据题意可知，，因为，所以可设直线CD的方程为，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到的关系，再代入斜率公式可证得为定值.
【详解】
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，
当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.
所以，所以，，
故椭圆E的标准方程为.
（2）根据题意可知，，因为，
所以可设直线CD的方程为.
由，消去y可得，
所以，即.
直线AD的斜率，
直线BC的斜率，
所以
，故为定值.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.
22、 (1)．(2)．
【解析】
由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得，结合范围，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值．
由及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
由已知可得，
又由正弦定理，可得，即，
，
，
，即，
又，
，或舍去，可得，
．
，，，
由正弦定理，可得，
，
．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
+
0
-
增
最大值
减