2026届福建省福州市第十中学高考仿真卷数学试题含解析

这是一份2026届福建省福州市第十中学高考仿真卷数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知、分别为双曲线，已知双曲线，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A．8B．16C．D．
2．一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（ ）
A．128B．65C．64D．63
5．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A．B．C．D．4
6．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
8．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．5
9．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（ ）
A．2B．C．1D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.
14．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________．
15．平面向量与的夹角为，，，则__________．
16．函数的最小正周期是_______________，单调递增区间是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数().
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
18．（12分）设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.
19．（12分）设函数，
（1）当，，求不等式的解集；
（2）已知，，的最小值为1，求证：.
20．（12分）已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.
21．（12分）在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD.
（1）证明：BD⊥EG；
（2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长.
22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E， F分别是棱AB， PC的中点.求证：
（1） EF //平面PAD；
（2）平面PCE⊥平面PCD．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，
则
所以，
四边形的内切圆面积为，
则，解得，
则，
即
故由基本不等式可得，即，
当且仅当时等号成立.
故焦距的最小值为.
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.
2、B
【解析】
根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.
【详解】
如图所示：
因为正四棱锥底边边长为，高为，
所以 ，
到 的距离为，
同理到 的距离为1，
所以为球的球心，
所以球的半径为：1，
所以球的表面积为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.
3、C
【解析】
根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.
【详解】
由题可知：直线过定点
且在是关于对称
如图
通过图像可知：直线与最多有9个交点
同时点左、右边各四个交点关于对称
所以
故选：C
【点睛】
本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题.
4、D
【解析】
根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以数列是等比数列，
又因为，
所以，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5、D
【解析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论．
【详解】
；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4.
故选：D．
【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．
6、C
【解析】
根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.
【详解】
因为平面向量，满足，且，
所以，
所以，
所以 ，
所以，
所以与的夹角为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.
7、D
【解析】
作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值
【详解】
解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，
设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，
所以x＝2a，则EF2＝2a，
由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
所以c2＝7a2，
则e
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.
8、B
【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.
【详解】
.选B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.
9、B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
10、C
【解析】
结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.
【详解】
由题意可得，则.
故选:C.
【点睛】
本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
11、B
【解析】
基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.
【详解】
解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，
取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，
所以，所求的概率.
故选：B.
【点睛】
本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．
12、D
【解析】
说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．
【详解】
由知函数的周期为4，又是奇函数，
，又，∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1296
【解析】
先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.
【详解】
由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.
故答案为：1296
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.
14、
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.
【详解】
解: 以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则,,,,
则,,,
设, ,
,
即点的坐标为,
则,,,
所以
故答案为:
【点睛】
本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.
15、
【解析】
由平面向量模的计算公式，直接计算即可.
【详解】
因为平面向量与的夹角为，所以，
所以;
故答案为
【点睛】
本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.
16、 ，，
【解析】
化简函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质求解即可．
【详解】
函数，
最小正周期，
令，，可得，，
所以单调递增区间是，，．
故答案为：，，，．
【点睛】
本题主要考查了二倍角的公式的应用，余弦函数的图象与性质，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时， 在上单调递增；
（2）.
【解析】
（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，
分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得 ，可得的范围;
法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，，
①当时，由得，得，
在上单调递减，在上单调递增；
②当时，恒成立,在上单调递增；
（2）法一: 由得，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
令，
则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，
(*)
当时，，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意
法二:由得，，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意
当时，令，则，所以在上单调递减，
又，当时，，，使得，
当时，，即，
又，，，不满足题意，
综上所述，的取值范围是
【点睛】
本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.
18、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据点到直线的距离公式可求出a的值，即可得椭圆方程；
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根据，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根据向量的运算可得，即可证明．
【详解】
（1）左顶点A的坐标为（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1≠y0，得（x0﹣2 x0，y1﹣2y0） （0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y0 （舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴•＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.
19、（1）或；（2）证明见解析
【解析】
（1）将化简，分类讨论即可；
（2）由（1）得，，展开后再利用基本不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
所以或或
解得或，
因此不等式的解集的或
（2）
根据
，当且仅当时，等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
20、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；
（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.
【详解】
（1），，
设曲线与轴相切于点，则，
即，解得.
所以，当时，轴为曲线的切线；
（2）令，，
则，，由，得.
当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.
，.
①当，即当时，函数有一个零点；
②当，即当时，函数有两个零点；
③当，即当时，函数有三个零点；
④当，即当时，函数有两个零点；
⑤当，即当时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．
21、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）取中点，连，可得，结合平面EAD⊥平面ABCD，可证
平面ABCD，进而有，再由底面是菱形可得，可得，
可证得平面，即可证明结论；
（2）设底面边长为，由EFAB，AB＝2EF，，求出体积，建立的方程，即可求出结论.
【详解】
（1）取中点，连，
底面ABCD为菱形，，
，平面EAD⊥平面ABCD，
平面平面平面，
平面平面，
底面ABCD为菱形，，
为中点，，
平面，
平面平面，；
（2）设菱形ABCD的边长为，则，
，
，
，
，所以菱形ABCD的边长为.
【点睛】
本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题.
22、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取的中点构造平行四边形，得到，从而证出平面；
（2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．
【详解】
证明：（1）如图，取的中点，连接，，
是棱的中点，底面是矩形，
，且，
又，分别是棱，的中点，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
（2），点是棱的中点，
，
又，，
平面，平面，
，
底面是矩形，，
平面，平面，且，
平面，
又平面，，
，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，
平面平面．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题．