2025_2026学年福建省三明第一中学高一下册数学4月月考试题【附答案】

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第一部分(选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 若 2+a+1ia∈R 为实数， b−2+3ib∈R 是纯虚数，则复数 a+bi 为( )
A. 2−i B. 2+i C. 1+2i D. −1+2i
2. △ABC 的直观图 △A′B′C′ 如图所示，其中 A′B′//x′ 轴， A′C′//y′ 轴，且 A′B′=A′C′=2 ，则 △ABC 的面积为( )

A. 22 B. 4 C. 42 D. 8
3. 在 △ABC 中，点 E 是 AB 上靠近 A 的三等分点， F 是 CE 上靠近 C 的三等分点，则 AF= ( )
A. 19AB+13AC B. 29AB+13AC c. 19AB+23AC D. 29AB+23AC
4. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 若 a2−b+c2bc=−1 ,则 A= ( )
A. 120° B. 45° C. 60° D. 30°
5. 已知平面向量 a,b 是两个单位向量， a 在 b 上的投影向量为 13b ，则 a⋅a+b= ( )
A. 1 B. 43 C. 2 D. 3
6. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 A=60∘,b=2 ,且 AB⋅AC=3 ,则 b+csinB+sinC= ( )
A. 332 B. 4213 C. 273 D. 2213
7. 在直角三角形 ABC 中, CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN=2 ,则 MC⋅NC 取值范围为( )
A. 2,52 B. 2,4 C. 4,6 D. 4,172
8. 已知平面向量 a,b ，且 a=b=2 ， a⋅b=2 ，向量 c 满足 c−a−b=12a−b ，则 c−λbλ∈R 的最小值为( )
A. 2−1 B. 3−1 C. 3 D. 2
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列向量组中, 能作为平面内所有向量基底的是 ( )
A. a=−2,3,b=4,6 B. a=2,3,b=3,2
C. a=1,−2,b=7,14 D. a=−3,2,b=6,−4
10. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 A>B ,则 sinA>sinB
B. 若 a:b:c=4:5:6 ，则 △ABC 是钝角三角形
C. 若 sinA=sinB ，则 △ABC 为等腰三角形
D. 若 A=30∘,b=4,a=3 ，则 △ABC 有两解
11. 东汉末年 数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”. 如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 A′B′C′ 拼成的一个大等边三角形 ABC . 对于图 2. 下列结论错误的是( )

图 1

图 2
A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B. 若 BB′=3,sin∠ABB′=5314 ，则 A′B′=2
C. 若 AB=2A′B′ ，则 AB′=10BB′
D. 若 A′ 是 AB′ 的中点，则 △ABC 的面积是 △A′B′C′ 面积的 5 倍
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 化简 OP−QP+PS+SP 的结果等于_____.
13. 已知复数 z 满足 z−1=1 ，则 z+2+4i ( i 是虚数单位)的最小值为_____.
14. 在 △ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 bcsC+12c=a ，且 AD=2DC ，已 sin∠BCDsin∠CBD=t ，则当 t 取最大值时， tan∠BAC= _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15. (13 分) 已知复数 z=1+bi 为 (b∈R,i 为虚数单位), z 在复平面上对应的点在第四象限,且满足 z⋅z=4 .
(1)求实数 b 的值；
(2)若复数 z 是关于 x 的方程 px2+2x+q=0p≠0，且p,q∈R 的一个复数根，求 p+q 的值.
16. (15 分)已知向量 a=1,2,b=3,−2 .
(1)求 a−b ；
(2)若 c=10 ，且 2a+c⊥c ，求向量 a 与向量 c 的夹角；
(3)若 c=29 ，且 2a+b//c ，求向量 c 的坐标.
17. ( 15 分)记 △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 sinC=2csB ， a2+b2−c2=2ab
(1)求 B ；
(2)若 △ABC 的面积为 3+3 ，求 C .
18.(17 分)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C ， 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min . 在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C ,假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量 csA=1213 , csC=35

(1)求索道 AB 的长；
(2)问:乙出发多少 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
19.(17分)如图，设 α∈0,π ，且 α≠π2 ，当 ∠xOy=α 时，定义平面坐标系为 α 的斜坐标系. 在 α 的斜坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义: 设 e1,e2 分别为 x,y 正方向同向的单位向量,若向量 OP=xe1+ye2 ，记向量 OP=x,y . 在 α=π3 的斜坐标系中.

(1)若向量 OP=3,2 ，求 OP .
(2)已知向量 a=x1,y1 ， b=x2,y2 ，证明: a⋅b=x1x2+y1y2+12x1y2+x2y1 .
(3)若向量 a,b 的斜坐标分别为 sin2x,3cs2x 和 1,−1,x∈R ，设函数 fx=a⋅b ， gx=ex+e−x,hx=lnx+fπ8x+π6.
①证明: hx 有且只有一个零点 x0 .
②比较 gsinπ4x0 与 52 的大小，并说明理由. (参考数据: e=2.71828⋯,ln2=0.69314⋯ )
三明一中 2025-2026 学年下学期 4 月 月 考 高一数学答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. OQ 13. 4 14. 2+3
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15.(本小题满分 13 分)
【小问 1 】
依题点 1,b 在第四象限,则 b0 ,
从而 sinC=1−cs2C=1−222=22 ,
又因为 sinC=2csB ,即 csB=12 ,注意到 B∈0,π ,所以 B=π3 . .7 分
【小问 2 】
由 (1) 可得 B=π3,csC=22,C∈0,π ,从而 C=π4,A=π−π3−π4=5π12 ,
而 sinA=sin5π12=sinπ4+π6=22×32+22×12=6+24 ,
由正弦定理有 asin5π12=bsinπ3=csinπ4 ,
从而 a=6+24⋅2c=3+12c,b=32⋅2c=62c ,
由三角形面积公式可知, △ABC 的面积可表示为
S△ABC=12absinC=12⋅3+12c⋅62c⋅22=3+38c2,
由已知 △ABC 的面积为 3+3 ，可得 3+38c2=3+3 ，所以 c=22 15 分
18. (本小题满分 17 分)
【小问 1 】
在 △ABC 中,因 csA=1213,csC=35 ,所以 sinA=513,sinC=45 ,
从而 sinB=sinπ−A+C=sinA+C=sinAcsC+sinCcsA=513×35+1213×45=6365 .
由正弦定理 ABsinC=ACsinB ，得 AB=ACsinB×sinC=12606365×45=1040 (m). .5 分
【小问 2 】
假设乙出发 tmin 后，甲、乙两游客距离为 d ，此时，甲行走了 100+50tm ，乙距离 A 处 130tm ， 所以由余弦定理得 d2=100+50t2+130t2−2×130t×100+50t×1213=20037t2−70t+50 , 由于 0≤t≤1040130 ,即 0≤t≤8 ,故当 t=3537 min 时,甲、乙两游客距离最短. .11 分
【小问 3 】
由正弦定理 BCsinA=ACsinB ，得 BC=ACsinB×sinA=12606365×513=500 m .
乙从 B 出发时,甲已走了 50×2+8+1=550 m ,还需走 710 m 才能到达 C .
设乙步行的速度为 v m/min ，由题意得 −3≤500v−71050≤3 ，解得 125043≤v≤62514 ，
所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3min ，乙步行的速度应控制在 125043,62514 (单位: m/min)范围内. .17 分
19. (本小题满分 17 分)
【小问 1 】
因为向量 OP=3,2 ，所以 OP=3e1+2e2 ，又因为 e1⋅e2=12,e12=e22=1 ，
所以 OP2=3e1+2e22=9e12+12e1⋅e2+4e22=13+6=19 ,所以 OP=19 4 分
【小问 2 】
因为向量 a=x1,y1,b=x2,y2 ,所以 a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2 ,
所以 a⋅b=x1e1+y1e2⋅x2e1+y2e2=x1x2e12+x1y2+x2y1e1⋅e2+y1y2e22 化简得 a⋅b=x1x2+y1y2+12x1y2+x2y1 .
【小问 3 】
①由 (2) 得 fx=a⋅b=sin2x−3cs2x=123cs2x−sin2x ,
化简得 fx=sin2x−π3 ,
所以 hx=lnx+sin2π8x+π6−π3=lnx+sinπ4xx>0 ,
当 x∈0,2 时, hx 单调递增,因为 h12=−ln2+sinπ8 ,
又因为 sinπ812lne=12 ,所以 h120 ,所以 h12h10,sinπ4x>0 ,所以 hx>0 ,
故 hx 在 [2,4) 上没有零点.
当 x∈[4,+∞) 时, lnx≥ln4>1,sinπ4x∈−1,1 ,
所以 hx>0 ,故 hx4,+∞ 上没有零点.
综上可得, hx 有且只有一个零点 x0 .
② gsinπ4x0