2025-2026学年四川省遂宁市高三第四次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年四川省遂宁市高三第四次模拟考试数学试卷（含答案解析），共12页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，定义，复数 的共轭复数是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数（）的部分图象如图所示.则（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在中，，且，则（ ）
A．1B．C．D．
4．设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A．B．C．D．4
7．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
9．复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A．1+iB．1−iC．−1+iD．−1−i
10．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（ ）
A．B．C．D．0
12．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.
14．用数字、、、、、组成无重复数字的位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.
15．在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______.
16．抛物线的焦点坐标为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
18．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面， 底面是矩形，，，分别是，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设， 求三棱锥的体积.
20．（12分）已知函数，.
（1）证明：函数的极小值点为1；
（2）若函数在有两个零点，证明：.
21．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点．
（1）当在区间上变动时，求中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值．
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.
（1）当时，求与的交点的极坐标；
（2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可．
【详解】
解：全集，集合，，
则，
故选：．
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
2．C
【解析】
由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得.
【详解】
依题意，，即,
解得；因为
所以，当时，.
故选:C.
本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.
3．C
【解析】
由题可,所以将已知式子中的向量用表示，可得到的关系，再由三点共线，又得到一个关于的关系，从而可求得答案
【详解】
由，则
，即，所以，又共线，则.
故选：C
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.
4．C
【解析】
求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，，，，
因此，.
故选：C.
本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
5．D
【解析】
首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.
【详解】
作出可行域如图所示
设圆心为，则
,
过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，
所以，，
故.
故选：D.
本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.
6．D
【解析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论．
【详解】
；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4.
故选：D．
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．
7．D
【解析】
由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.
当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.
当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.
当时，作出函数和的图象，如图所示.
若，即的整数解只有1，2，3.
只需满足，即，解得，所以.
综上，当时，实数的取值范围是.故选D.
8．D
【解析】
根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可．
【详解】
解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，即．
则直线的斜率．
故选：D．
本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．
9．B
【解析】
分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
详解：化简可得z=
∴z的共轭复数为1﹣i.
故选B．
点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．
10．B
【解析】
根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.
【详解】
易知，且
故有，则
故选：B
本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题
11．B
【解析】
根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.
【详解】
因为
即
而
所以夹角为
故选：B
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.
12．B
【解析】
执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】
由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：
第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
第10次循环：，
此时满足判定条件，输出结果，
故选：B.
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．①③④
【解析】
先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.
【详解】
∵，∴曲线在点处的切线方程为，
则.
∵，∴，
则是首项为1，公比为的等比数列，
从而，，.
故所有正确结论的编号是①③④.
故答案为：①③④
本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
14．
【解析】
对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.
【详解】
①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，
此时，符号条件的位自然数个数为个；
②若首位数为偶数，则首位数不能为，可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，
此时，符合条件的位自然数个数为个.
综上所述，符合条件的位自然数个数为个.
故答案为：.
本题考查数的排列问题，要注意首位数字的分类讨论，考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
15．
【解析】
先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题，即可求得结果.
【详解】
因为两两垂直且，
故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.
且外接球的球心为正方体的体对角线的中点，如下图所示：
容易知外接球半径为.
设线段的中点为，
故可得
，
故当取得最大值时，取得最大值.
而当在同一个大圆上，且，
点与线段在球心的异侧时，取得最大值，如图所示：
此时，
故答案为：.
本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.
16．
【解析】
变换得到，计算焦点得到答案.
【详解】
抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为．
故答案为：
本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1)(2) .
【解析】
试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.
试题解析：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
18．（1），乙公司影响度高；（2）见解析，
【解析】
（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；
（2）易得总收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.
【详解】
（1）由直方图知，，解得，
由频数分布表中知：，解得.
所以，甲公司的导游优秀率为：，
乙公司的导游优秀率为：，
由于，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在中的有人，
乙公司旅游总收入在中的有2人，故的可能取值为1，2，3，易知：
，;
.
所以的分布列为：
.
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.
19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取中点，连，，根据平行四边形，可得，进而证得平面平面，利用面面垂直的性质，得平面，又由，即可得到平面.
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）取中点，连，，
由，可得，
可得是平行四边形，则，
又平面，∴平面平面，
∵平面，平面，∴平面平面，
∵，是中点，则，而平面平面，
而，∴平面.
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，
得
.
本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
20．（1）见解析（2）见解析
【解析】
(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2) 函数在有两个零点，即方程在区间有两解， 令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.
【详解】
解：（1）证明：因为，
当时，，，
所以在区间递减；
当时，，
所以，所以在区间递增；
且，所以函数的极小值点为1
（2）函数在有两个零点，
即方程在区间有两解，
令，则
令，则，
所以在单调递增，
又，
故存在唯一的，使得， 即，
所以在单调递减，在区间单调递增，
且， 又因为，所以，
方程关于的方程在有两个零点，
由的图象可知，，
即.
本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.
21．（1）．（2）的周长为，时，的周长为
【解析】
（1）设的方程为，根据题意由点到直线的距离公式可得，将直线方程与抛物线方程联立可得，设､坐标分别是､,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得，由（1）可得，再利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）设的方程为
于是
联立
设､坐标分别是､
则
设的中点坐标为，则
消去参数得：
（2）设，，由抛物线定义知
，，
∴
由（1）知
∴
，，
的周长为
时，的周长为
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
22．（1），；（2）
【解析】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），再对分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.
【详解】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），
当时，联立解得交点，
当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）
当时，无交点；
综上，曲线与直线的点极坐标为，，
（2）把直线的参数方程代入曲线，得，
可知，，
所以.
本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
分组
频数
1
2
3
P