2026届东北育才中学高三第二次联考数学试卷含解析

这是一份2026届东北育才中学高三第二次联考数学试卷含解析，共11页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，设为等差数列的前项和，若，则，两圆和相外切，且，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第三象限
C．的共轭复数D．
2．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（ ）
A．2B．C．1D．
4．设为等差数列的前项和，若，则
A．B．
C．D．
5．两圆和相外切，且，则的最大值为（ ）
A．B．9C．D．1
6．设（是虚数单位），则（ ）
A．B．1C．2D．
7．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
9．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A．收入最高值与收入最低值的比是
B．结余最高的月份是月份
C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同
D．前个月的平均收入为万元
11．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．函数的图象可能是下面的图象( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为_________.
14．已知函数，若对于任意正实数，均存在以为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是_______.
15．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.
16．已知二面角α﹣l﹣β为60°，在其内部取点A，在半平面α，β内分别取点B，C．若点A到棱l的距离为1，则△ABC的周长的最小值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
18．（12分）在锐角中，分别是角的对边，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域．
19．（12分）在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
20．（12分）如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面．
求证：平面；
若，，求证：平面平面.
21．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．
22．（10分）已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.
【详解】
因为，，，所以的周期为4，故，
故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共
轭复数为，C错误；，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.
2、C
【解析】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
3、D
【解析】
说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．
【详解】
由知函数的周期为4，又是奇函数，
，又，∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．
4、C
【解析】
根据等差数列的性质可得，即，
所以，故选C．
5、A
【解析】
由两圆相外切，得出，结合二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】
因为两圆和相外切
所以，即
当时，取最大值
故选：A
【点睛】
本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.
6、A
【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．
【详解】
∵，∴．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
7、C
【解析】
试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
8、B
【解析】
由且可得，故选B.
9、A
【解析】
首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
样本空间样本点为个，
具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，
有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是，
但合并计算时会有重复，重复数量为，
事件的样本点数为：个．
故不同的样本点数为8个，.
故选：A
【点睛】
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
10、D
【解析】
由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；
结余最高为月份，为，故项正确；
至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；
前个月的平均收入为万元，故项错误．
综上，故选．
11、A
【解析】
根据排除，，利用极限思想进行排除即可．
【详解】
解：函数的定义域为，恒成立，排除，，
当时，，当，，排除，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
12、C
【解析】
因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得,由题意得到，据此求得离心率的取值范围.
【详解】
设，直线AB的参数方程为，(为参数)
代入圆，
化简得：，
，
，
，
存在点，使得，
，即，
，
，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.
14、
【解析】
根据三角形三边关系可知对任意的恒成立,将的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论,转化为的最小值与的最大值的不等式,进而求出的取值范围.
【详解】
因为对任意正实数,都存在以为三边长的三角形,
故对任意的恒成立,
,令,
则,
当,即时,该函数在上单调递减,则；
当,即时,,
当,即时,该函数在上单调递增,则,
所以,当时,因为,,
所以,解得；
当时,,满足条件；
当时,,且,
所以,解得,
综上,,
故答案为:
【点睛】
本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.
15、②③
【解析】
根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.
16、
【解析】
作A关于平面α和β的对称点M，N，交α和β与D，E，连接MN，AM，AN，DE，根据对称性三角形ADC的周长为AB+AC+BC＝MB+BC+CN，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解.
【详解】
作A关于平面α和β的对称点M，N，交α和β与D，E，
连接MN，AM，AN，DE，
根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BC＝MB+BC+CN，
当M，B，C，N共线时，周长最小为MN设平面ADE交l于，O，连接OD，OE，
显然OD⊥l，OE⊥l，
∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，
∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根据余弦定理，
故MN2＝1+1﹣2×1×1×cs120°＝3，
故MN．
故答案为：．
【点睛】
此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【解析】
试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；
（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.
【详解】
（1），，
由正弦定理得：，
即，
，，，
又，.
（2）在锐角中，，．
．
，，，，
函数的值域为．
【点睛】
本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得，结合范围，可求，进而可求的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，由正弦定理可求得的值．
【详解】
解：（1）由，得，
因为，
所以，
可得：．
（2）中，，
所以.
所以：，
由正弦定理，得，解得，
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20、证明见解析；证明见解析.
【解析】
利用线面平行的判定定理求证即可；
为中点，为中点，可得，，，可知，故为直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求证即可.
【详解】
解： 证明：为中点，为中点，
，
又平面，平面，
平面；
证明：为中点，为中点，
，又，，
则，故为直角三角形，，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又∵平面，
平面平面.
【点睛】
本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.
21、见解析
【解析】
（1）当时，函数，其定义域为，
则，设，，
易知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即；当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，为，无极大值．
（2）由题可得函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，
当时，，，
所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，
所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
所以函数有且仅有一个零点．
综上，函数有且仅有一个零点．
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意，求得，，因而得出，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数，最后利用，求出的最小正周期；
（2）由（1）得，再利用整体代入求出函数的值域.
【详解】
（1） 因为 ， ，
所以，
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以
，
所以，
故函数在区间上的值域为.
【点睛】
本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.