北京市第九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份北京市第九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题，共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复平面内表示复数的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.( )
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
4.“”是的（ ）
A. 充分必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1， 则（ ）
A. B. C. 2D. 4
6.函数y=sin x-cs x的最小值为 ( )
A. 2B. -2C. -1D. --1
7.函数是（ ）
A. 周期为π的偶函数B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为π的奇函数D. 周期为2π的奇函数
8.的图象可以由y＝sin x的图象作（ ）的变换得到
A. 先向左平移个单位，然后将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变
C. 先将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，然后向右平移个单位
D. 先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位
9.若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
11.若，则（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=A(x+) ( A>0,>0,||)的图象离原点最近的对称轴为x=,若满足|,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y=2(2x-)是“近轴函数”,则的取值范围是（ ）
A. [,]B. [-,-]
C. [-,-][,]D. [-,]
13.已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
14.如图，是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3 m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ）
A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56 m
B. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45 m
C. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15 m
D. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04 m
15.已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的一个周期是
C. 在区间上单调递增D. 的最大值为
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
16.已知角的顶点位于坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 .
17.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为 .
18.如图是以为圆心的一个圆，其中弦的长为2 ，则 .
19.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 .
20.已知，都是定义在上的函数，若存在实数m，n使对任意都成立，则称为，在上生成的函数.
①函数为，在上生成的函数；
②为，在上生成的函数；
③函数为，在上生成的函数；
④若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，则，；
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
已知向量，．
(1)求；
(2)求；
(3)求与的夹角的余弦值．
22.(本小题7分)
如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为.
(1)求的值及的值；
(2)求的值.
23.(本小题9分)
已知函数f（x）=sin2x+acs2x（a＞0）的最大值为2.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求曲线y=f（x）的对称轴方程和f（x）的单调递增区间.
24.(本小题9分)
已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)当，求的最大值和最小值．
25.(本小题9分)
如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.
(1) 当时，求点绕转动的弧度数；
(2) 分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；
(3) 求的最小值.
26.(本小题9分)
对于集合Ω={θ1，θ2，…，θn}和常数θ0，定义：为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．
（1）若集合，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；
（2）若集合，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
（3）若集合，α∈[0，π），β∈[π，2π），相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】B
14.【答案】B
15.【答案】C
16.【答案】
17.【答案】.
18.【答案】2
19.【答案】6
20.【答案】①④
21.【答案】（1）因为，，
所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
则，
又，，
则，
即与的夹角的余弦值为．

22.【答案】解：（1）依题意，由三角函数定义得，且为第二象限的角，
故，
所以，
则．
（2）.

23.【答案】解：（1）因为a＞0时，f（x）=sin2x+acs2x的最大值为=2，
所以a=，f（x）=sin2x+cs2x=2sin（2x+）；
（2）令2x+=，k∈Z，
则x=，k∈Z，即对称轴为x=，k∈Z，
令2x+，k∈Z，
则，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[-+kπ，]，k∈Z．
24.【答案】解：（1），
，
，
所以的最小正周期为：.
（2）由（1）可知，，
因为，所以.
所以当时，，当时，.
所以当，的最大值为，最小值为.

25.【答案】解：（1）当t=1时，点A绕O1转动1弧度，点A与点B处转过的弧长相等，则点B绕O2转动的弧度数为．
（2）转动时间为t秒，点A绕O1转动t弧度，点B绕O2转动2t弧度，
y1=2sint,，
当，解得，
由t≥0，得，k∈N．
所以满足条件的t的集合为．
（3），当时，y2-y1有最小值为．
26.【答案】解：（1）当集合为，θ0=0时，
集合Ω相对θ0的“余弦方差μ==；
（2）当集合时，
集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”
μ=
=
==
∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；
（3）当集合，α∈[0，π），β∈[π，2π）时，
集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”
μ=
=[（）cs2θ0+（1+sin2α+sin2β）sinθ0csθ0+（）sin2θ0]
要是上式是一个常数，则1+sin2α+sin2β=0且=
由α∈[0，π），β∈[π，2π）取α=，β=可满足上式．