山东德州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份山东德州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题，共36页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则是的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
3.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. 5D.
5.已知不共线的平面向量，两两夹角相等，，则（ ）
A. 3或36B. C. 或6D. 6
6.如图所示，在中，是的中点，点在上，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.若角，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法不正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，则为钝角
C. 若为非零向量，且，则
D. 若，则存在唯一的实数使得
10.已知，其中为锐角，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知两个非零向量的夹角为，定义运算.设，则（ ）
A.
B. 在上的投影向量的模为
C. ，均有
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则与的夹角为 .
13.已知，且，则 .
14.如图正方形的边长为分别为边上的点，若为的中点且，则 ；若的周长为2，则的大小为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量，且.
(1)求；
(2)求与的夹角.
16.(本小题15分)
已知平面向量，函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若锐角满足，求的值.
17.(本小题15分)
如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形.其中在半径上，记.
(1)当时，求矩形的面积；
(2)角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值.
18.(本小题17分)
如图1，在中，为直角，与相交于点，连接，记.
(1)用表示向量；
(2)设，求的值；
(3)如图2，过点的直线与边分别交于点，设（均为非零实数），求的值.
19.(本小题17分)
把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.已知向量的“广义坐标”分别为.
(1)求的“广义坐标”；
(2)求向量与的夹角的余弦值；
(3)以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】0.5
14.【答案】/ ； /
15.【答案】解：（1）因为，所以，解得
所以
因为，所以，所以
所以
所以，
（2）由（1）知，，
所以，
，
设的夹角为，则：
因为，所以即向量与向量的夹角为

16.【答案】解：（1）由
，
取，解得，
故的单调增区间为，
（2）由（1）知，则，
所以.

17.【答案】解：（1）在中，，则，
在中，，
所以，
所以，
设矩形的面积为，则.
（2）在中，.
在中，，
所以，
所以，
设矩形的面积为，
则，
，
由，得，
所以当，即时.
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为.

18.【答案】解：（1）由题意，.
（2）解法一：由，因为三点共线，
所以存在非零实数使得，
所以，
所以，解得①，
又因为三点共线，
所以存在非零实数使得.
所以.
又，所以，解得②.
由①②解得.
解法二：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，
而，
因为三点共线，所以
由，得.
（3）解法一：由（2）知，
因为三点共线，
所以存在非零实数使得，
因为，所以.
消去得，所以.
解法二：由（2）知，
因为，所以,
所以,
因为三点共线，所以，则.

19.【答案】解：（1）由题意得，
故，
故的“广义坐标”为；
（2）由题意得，
故
，
，故，
，故，
所以向量与的夹角的余弦值为；
（3）在平面直角坐标系中，，
设，向量在平面直角坐标系中的坐标为，
所以，
所以，解得，
故向量的“广义坐标”为