2026届北师大万宁附中高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届北师大万宁附中高三第二次调研数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，是恒成立的，某空间几何体的三视图如图所示，若函数在时取得极值，则，若复数等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．B．
C．D．
2．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）
A．16B．17C．18D．19
3．已知，则，不可能满足的关系是（）
A．B．C．D．
4．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为( )
A．10B．50C．60D．140
5．是恒成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）
A．B．C．16D．32
7．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．
8．若函数在时取得极值，则（ ）
A．B．C．D．
9．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（ ）
A．B．4C．2D．
10．已知斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津的往返机票平均价格变化最大
C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当
D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加
12．已知数列满足,(),则数列的通项公式( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.
14．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
15．设命题：，，则：__________．
16．如图，在平面四边形中，，则_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以为直径的圆，且米，景观湖边界与平行且它们间的距离为米．开发商计划从点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作．设．
（1）用表示线段并确定的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将的长度设计到最长，求的最大值．
18．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；
(2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.
19．（12分）在四棱椎中，四边形为菱形，，，，，，分别为，中点..
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．（12分）已知函数，记的最小值为.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若正实数，满足，求证：.
21．（12分）数列满足，且.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
2、B
【解析】
由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可.
【详解】
解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.
若输出 ，则不符合题意，排除；
若输出，则，符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.
3、C
【解析】
根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．
【详解】
∵；
∴，；
∴，，故正确；
，故C错误；
∵
，故D正确
故C．
【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题
4、C
【解析】
从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米
所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C
5、A
【解析】
设 成立；反之，满足 ，但，故选A.
6、A
【解析】
几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.
7、D
【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．
8、D
【解析】
对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在时取得极值，
所以，解得.
故选D
【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
9、D
【解析】
由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．
【详解】
，．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．
10、C
【解析】
设，，，，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由△得，利用韦达定理结合已知条件得，，代入上式即可求出的取值范围．
【详解】
设直线的方程为：， ，，，，
联立方程，消去得：，
△，
，
且，，
，
线段的中点为,，
，，
，，
，
，
把 代入，得，
，
，
故选：
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．
11、D
【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.
【详解】
对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.
对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.
对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.
对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.
12、A
【解析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．
【详解】
数列满足：，，
可得
以上各式相加可得：
，
故选：．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1296
【解析】
先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.
【详解】
由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.
故答案为：1296
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.
14、0.08
【解析】
先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.
【详解】
首先求得，
．
故答案为：0.08.
【点睛】
本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
15、，
【解析】
存在符号改任意符号，结论变相反.
【详解】
命题是特称命题，则为全称命题，
故将“”改为“”，将“”改为“”，
故：，.
故答案为：，.
【点睛】
本题考查全(特)称命题. 对全(特)称命题进行否定的方法：
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
16、
【解析】
由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．
【详解】
由题意得
，
∴．
【点睛】
突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）米.
【解析】
(1) 过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.
(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.
【详解】
解：
过点作于点
则,
在中,,
,
由正弦定理得：,
,
,
,
,因为,
化简得
,
令,,且,
因为,故
令
即,
记,
当时,单调递增；
当时,单调递减,
又,
当时,取最大值,
此时,
的最大值为米．
【点睛】
本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.
18、 (1) 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线;(2)8.
【解析】
试题分析：（1）将曲线的极坐标方程为两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线经过点，可得的值，再将直线的参数方程代入曲线的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线被曲线截得的线段的长.
试题解析：（1）由可得，即，
∴ 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线.
（2）将代入，得，∴ ，
∵ ，∴ ，∴直线的参数方程为 (为参数).
将直线的参数方程代入得，
由直线参数方程的几何意义可知，
.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明，得到平面，得到证明.
（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，
又因为是的中点，所以，又因为，，所以，
又，，，所以，
又，，所以平面，所以，
又因为是菱形，，所以，又，
所以平面，所以.
（2）由题意结合菱形的性质易知，，，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，则：，
据此可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则：，
据此可得平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；
(Ⅱ)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（Ⅰ）①当时，，即，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，，即，
∴.
综上所述，原不等式的解集为.
（Ⅱ）∵，
当且仅当时，等号成立.
∴的最小值.
∴，
即，
当且仅当即时，等号成立.
又，∴，时，等号成立.
∴.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（1）证明见解析，；（2）
【解析】
（1）利用，推出，然后利用等差数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）知，利用裂项法，即可求解数列的前n项和.
【详解】
（1）由题意，数列满足且
可得，即，
所以数列是公差，首项的等差数列，
故，所以.
（2）由（1）知，
所以数列的前n项和：
=
=
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前n项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
22、（1）的极坐标方程为，的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）先把曲线的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用 求得极坐标方程.将，化为，再利用 求得曲线的普通方程.
（2）设直线的极角，代入，得，将代入，得，由，得，即，从而求得，，从而求得，再利用求解.
【详解】
（1）依题意，曲线，即，
故，即.
因为，故，
即，即.
（2）将代入，得，
将代入，得，
由，得，得，
解得，则.
又，故，
故的面积.
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.