2026届本溪市重点中学高考数学押题试卷含解析

这是一份2026届本溪市重点中学高考数学押题试卷含解析，共19页。试卷主要包含了 “”是“”的，i是虚数单位，若，则乘积的值是，已知实数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知是函数的极大值点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
4．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是 ( )
A．1B．2C．D．
5． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
7．i是虚数单位，若，则乘积的值是( )
A．－15B．－3C．3D．15
8．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
9．已知实数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（ ）
A．3.132B．3.137C．3.142D．3.147
11．若θ是第二象限角且sinθ =，则=
A．B．C．D．
12．已知函数，则下列结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为π
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________.
14．设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的一次函数与轴的交点为，且互不相等，则称为关于函数的平均数，记为.当_________时，为的几何平均数.（只需写出一个符合要求的函数即可）
15．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于__________.
16．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值.
18．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点．
（1）当在区间上变动时，求中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值．
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长.
20．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.
（1）请利用正态分布的知识求；
（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？
附：①；②若；则，，.
21．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.
22．（10分）已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；
（2）设数列，其前项和为，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
2、C
【解析】
根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.
【详解】
解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，
因为是奇函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为.
故选：
【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
3、B
【解析】
方法一：令，则，，
当，时，，单调递减，
∴时，，，且，
∴，即在上单调递增，
时，，，且，
∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；
当时，存在使得，即，
又在上单调递减，∴时，，所以，
这与是函数的极大值点矛盾．
综上，．故选B．
方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．
4、D
【解析】
设等比数列的公比为q，，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．
【详解】
由题意，正项等比数列中，，
可得，即，
与的等差中项为4，即，
设公比为q，则，
则负的舍去，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．
5、B
【解析】
或，从而明确充分性与必要性.
【详解】
，
由可得：或，
即能推出，
但推不出
∴“”是“”的必要不充分条件
故选
【点睛】
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.
6、D
【解析】
先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以只需将的图象向右平移个单位.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
7、B
【解析】
，∴，选B．
8、B
【解析】
设，代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求出离心率．
【详解】
，
设，则，
两式相减得，
∴，．
故选：B．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．
9、C
【解析】
利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
解：对于实数， ，不成立
对于不成立．
对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出．
对于指数函数单调递减性质，因此不成立．
故选：．
【点睛】
利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
10、B
【解析】
结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可
【详解】
如图，由几何概型公式可知：.
故选：B
【点睛】
本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题
11、B
【解析】
由θ是第二象限角且sinθ =知：，．
所以．
12、D
【解析】
由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D.
【详解】
由题知，最小正周期，所以A正确；当时，
，所以B正确；当时，，所以C正确；由
的图象向左平移个单位，得
，所以D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、27
【解析】
利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.
【详解】
由等比数列的性质可知，则，
.
当且仅当时取得最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.
14、
【解析】
由定义可知三点共线，即，通过整理可得，继而可求出正确答案.
【详解】
解：根据题意，由定义可知：三点共线.
故可得：，即，整理得：，
故可以选择等.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.
15、
【解析】
利用导数的几何意义即可解决.
【详解】
由已知，，，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题.
16、1
【解析】
按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可．
【详解】
9元的支付有两种情况，或者，
①当9元采用方式支付时，
200元的支付方式为，或者或者共3种方式，
10元的支付只能用1张10元，
此时共有种支付方式；
②当9元采用方式支付时：
200元的支付方式为，或者或者共3种方式，
10元的支付只能用1张10元，
此时共有种支付方式；
所以总的支付方式共有种．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）16.
【解析】
（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（2）利用极径的几何意义，联立曲线，直线，直线的极坐标方程，得出，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出的面积最小值.
【详解】
（1）曲线：，即
化为直角坐标方程为：；
（2），即
同理
∴
当且仅当，即（）时取等号
即的面积最小值为16
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.
18、（1）．（2）的周长为，时，的周长为
【解析】
（1）设的方程为，根据题意由点到直线的距离公式可得，将直线方程与抛物线方程联立可得，设､坐标分别是､,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得，由（1）可得，再利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）设的方程为
于是
联立
设､坐标分别是､
则
设的中点坐标为，则
消去参数得：
（2）设，，由抛物线定义知
，，
∴
由（1）知
∴
，，
的周长为
时，的周长为
【点睛】
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
19、
【解析】
由，化简得，由，所以直线的直角坐标方程为，因为曲线的参数方程为，整理得，直线的方程与曲线的方程联立，，整理得，设，则，根据弦长公式求解即可.
【详解】
由，化简得，
又因为，所以直线的直角坐标方程为，
因为曲线的参数方程为，消去，整理得，
将直线的方程与曲线的方程联立，，消去，整理得，
设，则，
所以，
将，代入上式，整理得.
【点睛】
本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.
20、（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费
【解析】
（1）根据正态分布的性质可求的值.
（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.
【详解】
（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得
又，，
所以
；
（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，
得10元的情况为低于平均值，概率，
得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，
得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，
得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.
所以变量的分布列为：
某家长获赠话费的期望为.
所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.
【点睛】
本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.
21、（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为
【解析】
（1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定.
【详解】
（1）证明：因为，，，
所以，即.
又因为，，所以，
，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：连接，因为，是的中点，所以.
由（1）知，平面平面，所以平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则平面的一个法向量是，，，.
设，，
，，
代入上式得，，，所以.
设平面的一个法向量为，，，
由，得.
令，得.
因为二面角的平面角的大小为，
所以，即，解得.
所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.
22、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1），分，，三种情况推理即可；
（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到证明.
【详解】
（1）由，得.
当时，方程的，因此在区间
上恒为负数.所以时，，函数在区间上单调递减.
又，所以函数在区间上恒成立；
当时，方程有两个不等实根，且满足，
所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间
上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；
当时，在区间上，函数在区间
上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；
综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为.
（2）由第（1）知：若时，.
若，则，
即成立.
将换成，得成立，即
，
以此类推，得，
，
上述各式相加，得，
又，所以.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.
获赠的随机话费（单位：元）
概率