2026届北京五中高考考前提分数学仿真卷含解析

这是一份2026届北京五中高考考前提分数学仿真卷含解析，共19页。试卷主要包含了已知函数，则的值等于，设函数，若函数有三个零点，则，双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为( )
A．B．C．D．
2．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A．B．
C．D．
3．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是
A．10B．9C．8D．7
4．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）
A．依次成等差数列B．依次成等差数列
C．依次成等差数列D．依次成等差数列
5．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则( )
A．，B．，
C．，D．，
6．已知函数，则的值等于（ ）
A．2018B．1009C．1010D．2020
7．设函数，若函数有三个零点，则（ ）
A．12B．11C．6D．3
8．如图网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）
A．B．C．D．
9．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3B．C．6D．
11．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．
14．已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数等于______.
15．若非零向量，满足，，，则______.
16．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
18．（12分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.
19．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.
20．（12分）在平面直角坐标系xy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；
（2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值.
21．（12分）如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点.
（1）证明：平面；
（2）若底面是正三角形，，在底面的投影为，求到平面的距离.
22．（10分）已知，，分别为内角，，的对边，且.
（1）证明：；
（2）若的面积，，求角.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.
【详解】
∵双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，
∴可设双曲线的方程为，一个焦点为，
∴，∴，故的标准方程为.
故选：B
【点睛】
此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.
2、D
【解析】
设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，
该金字塔的侧棱长为，
所以需要灯带的总长度约为，故选D．
3、B
【解析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．
【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

所以

因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
，此时
所以选B
【点睛】
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．
4、C
【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】
依次成等差数列，，
正弦定理得，
由余弦定理得 ，，即依次成等差数列，故选C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
5、C
【解析】
根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.
【详解】
表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以.
表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.
6、C
【解析】
首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．
【详解】
解： ．
，
，
的周期为，
，， ，，
．
．
故选：C
【点睛】
本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．
7、B
【解析】
画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】
作出函数的图象如图所示，
令，
由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），
所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），
由，可得的值分别为，
则
故选B．
【点睛】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
8、C
【解析】
利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.
【详解】
几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为
故选：C.
【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.
9、B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】
解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：
可知点,，
在处有最小值，最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.
10、A
【解析】
根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果.
【详解】
由题可知：双曲线的渐近线方程为
取右焦点，一条渐近线
则点到的距离为，由
所以，则
又
所以
所以焦距为：
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题.
11、A
【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.
【详解】
依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.
【点睛】
本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.
12、D
【解析】
首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.
【详解】
作出可行域如图所示
设圆心为，则
,
过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，
所以，，
故.
故选：D.
【点睛】
本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.
【详解】
由题意作出区域，如图中阴影部分所示，
易知，故 ，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.
【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
14、
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
作出可行域如图，
则要为三角形需满足在直线下方，即，；
目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，
该直线截距最大在过点时，此时，
直线：，与：的交点为，
该点也在直线：上，故，
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
15、1
【解析】
根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.
【详解】
，即
解得或（舍）
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.
16、4038.
【解析】
由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．
【详解】
由知：
得函数的图象关于点对称
又函数的图象关于点对称
则函数图象与函数图象的交点关于点对称
则
故，
即
本题正确结果：
【点睛】
本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）见解析
【解析】
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.
则N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.
∴＝，＝.
∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.
∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝，
∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，
∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.
18、 (1) 直线l的普通方程为x＋y－4＝0. 曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. (2)4
【解析】
（1）将直线l参数方程中的消去，即可得直线l的普通方程，对曲线C的极坐标方程两边同时乘以，利用可得曲线C的直角坐标方程；
（2）求出点到直线的距离，再求出的弦长，从而得出△MON的面积．
【详解】
解：(1)由题意有，
得，
x＋y＝4，
直线l的普通方程为x＋y－4＝0.
因为ρ＝4sin
所以ρ＝2sinθ＋2csθ，
两边同时乘以得，
ρ2＝2ρsinθ＋2ρcsθ，
因为，
所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，
∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4.
(2)∵原点O到直线l的距离
直线l过圆C的圆心(，1)，
∴|MN|＝2r＝4，
所以△MON的面积S＝ |MN|×d＝4.
【点睛】
本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.
19、（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为
【解析】
（1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定.
【详解】
（1）证明：因为，，，
所以，即.
又因为，，所以，
，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：连接，因为，是的中点，所以.
由（1）知，平面平面，所以平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则平面的一个法向量是，，，.
设，，
，，
代入上式得，，，所以.
设平面的一个法向量为，，，
由，得.
令，得.
因为二面角的平面角的大小为，
所以，即，解得.
所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.
20、（1），，；（2）.
【解析】
（1）利用公式即可求得曲线的极坐标方程；联立直线和曲线的极坐标方程，即可求得交点坐标；
（2）设出点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.
【详解】
（1）曲线的极坐标方程：
联立，得，又因为都满足两方程，
故两曲线的交点为，.
（2）易知，直线.
设点，则点到直线的距离
（其中）.
面积的最大值为.
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题.
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，利用中位线的性质得出，，利用空间平行线的传递性可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）推导出平面，并计算出，由此可得出到平面的距离为，即可得解.
【详解】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，
、分别为、的中点，则，同理可得，.
平面，平面，因此，平面；
（2）由于在底面的投影为，平面，
平面，，
为正三角形，且为的中点，，
，平面，且，
因此，到平面的距离为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得
（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.
【详解】
（1）由已知得，
由余弦定理得，∴.
（2）由（1）及正弦定理得，即，
∴，∴，
∴.
，
∴，，.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.