广东惠州市惠东县2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测数学试卷（含答案）

这是一份广东惠州市惠东县2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z=2+i，则z+z=( )
A. 4B. −4C. 2iD. −2i
2.已知向量a，b满足a=1，b=2，a,b=π3，则a⋅b=( )
A. 3B. 1C. 2D. 3
3.已知▵ABC的直观图▵A′B′C′是直角三角形，如图所示，其中O′B′=A′B′=B′C′=2，则AC的长度为( )
A. 8B. 4 2C. 4 3D. 4
4.已知z1，z2∈C，则下列说法正确的是( )
A. 若z3∈C，z1z3=z2z3，则z1=z2B. 若z1=z2，则z1=z2
C. 若z1+z2=z1−z2，则z1⋅z2=0D. z1+z2=z1−z2
5.已知圆台的上底面积，下底面积分别为π、4π，体积为7π，则该圆台的外接球表面积为( )
A. 16πB. 20πC. 24πD. 28π
6.在▵ABC中，AN=13NC，P是BN上一点，若AP=mAB+29AC，则实数m的值为( )
A. 19B. 13C. 1D. 3
7.已知梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=4，点M为边CD上的动点，若∠AMB=α，则csα的范围是( )
A. 0,17B. −17,1C. 12,17D. −17,0
8.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径(即杯口直径)6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠( )
A. 63颗B. 126颗C. 378颗D. 504颗
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为4πR2B. 圆锥的侧面积为 5πR2
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
10.设复数z满足z−i=1，则以下结论正确的是( )
A. z在复平面上对应的轨迹是圆B. |z|的最大值为2
C. |z|的最小值为0D. 复数z的虚部取值范围是[−1,1]
11.在▵ABC中，已知AB=4，AC=2，∠BAC=2π3，若CD=2DB，则( )
A. S▵ACD=3S▵ABDB. 3AD=2AB+AC
C. CA是AB在AC上的投影向量D. AB⋅BC=−8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义运算abcd=ad−bc.若复数x=1−i1+i，y=4ixi2x+i，则|x|= ，y= ．
13.如图，AB为半圆的直径，点C为AB⌢的中点，点M为线段AB上的一动点(含端点A、B).若AB=2，则AC+MB的取值范围是
14.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部是棱长为3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 cm3．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)作图题：如图所示，已知同起点的三个向量a，b，c，求作向量a+b+c．
(2)设两个非零向量e1，e2不共线，AB=e1+2e2，BC=2e1+8e2，CD=e1−2e2．
①若ke1+4e2和e1+ke2共线，求实数k的值；
②求证：A、B、D三点共线．
16.(本小题15分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csinC=3a+2bsinA+3b+asinB．
(1)求角C的大小；
(2)若CA⋅CB=−8，求c的最小值及▵ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知函数fx=2sin2x−π6+2sinx⋅csx−π6．
(1)求函数fx的周期、单调增区间、对称中心；
(2)当x∈π6,2π3时，求函数fx的值域；
(3)当x∈0,m时，方程fx=−1有3个不同的实数根，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=−2sin2x+2csx+t，其中t为常数．
(1)当x∈[−2π3,π3]时，f(x)≤0恒成立，求实数t的取值范围;
(2)设函数f(x)在(−π,−π2)上有两个零点m，n，
①求t的取值范围;
②证明：csm>sinn
19.(本小题17分)
已知定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy+3，且当x>0时，fx>−3．
(1)求f0的值，并证明：Fx=fx+3为奇函数；
(2)求证：fx在R上是增函数；
(3)若f1=2，求不等式fx2+x+f1−2x>9的解集．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.B
5.B
6.A
7.D
8.B
9.ABC
10.ABC
11.BC
12.1；−2
13. 2, 10
14.27−7π4
15.解：(1)如图：保持a不变，将b平移，使其起点落在a的终点上，
然后将向量c平移，使其起点落在平移后的b的终点上，
最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是a+b+c，
(2)①ke1+4e2和e1+ke2共线，则有ke1+4e2=λe1+ke2=λe1+λke2，λ∈R，
因为非零向量e1，e2不共线，所以有k=λ且4=λk，得k2=4 即k=±2；
②BD=BC+CD=2e1+8e2+e1−2e2=2+1e1+8−2e2=3e1+6e2，
因为BD=3e1+2e2=3AB，所以AB和BD共线，所以A、B、D三点共线．

16.解：(1)根据正弦定理边角转换可得：可得3c2=(3a+2b)a+(3b+a)b，
整理得a2+b2−c2=−ab，
则csC=a2+b2−c22ab=−12，
又0