北京市顺义区第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷（含答案）

这是一份北京市顺义区第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.“点A在直线l上，l在平面α内”用数学符号表示为 ( )
A. A∈l，l∈αB. A⊂l，l⊂αC. A⊂l，l∈αD. A∈l，l⊂α
2.已知平面向量a=x, 1, b=−4, 2，且a//b，则x的值为( )
A. ±2B. −2C. 0D. 2
3.在▵ABC中，a=2, c=4, ∠B=π3，则b=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
4.如图，在▵ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则CE=( )
A. −14AB−54ACB. −14AB−34ACC. 14AB−54ACD. 14AB−34AC
5.已知m,n是两条不同的直线，α, β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m//n, n⊂α，则m//αB. 若α⊥β, m⊥β, n⊥m，则n⊥α
C. 若m⊂α, n⊂β, α//β，则m//nD. 若m⊥α, n⊥β, m⊥n，则α⊥β
6.在▵ABC中，AB=3，AC=2，BC= 10，则AB⋅AC等于( )
A. −32B. −23C. 23D. 32
7.在△ABC中，“csAsinB”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.在▵ABC中，AC=4AD, BE=ED，设AE=λAB+μACλ, μ∈R，则λ+μ=( )
A. −38B. 58C. 34D. 1
9.海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为30 6海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为20 3海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为( )
A. 24 3海里B. 20 3海里C. 20 6海里D. 24 6海里
10.祈年殿(图1)是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季;中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月;外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1，CC1形成的几何体ABC−A1B1C1(图2)中，AB=AC≈8米，∠BAC≈144∘，则平面A1B1C1与平面ABC所成角的正切值约为( )
A. 78sin18∘B. 34sin18∘C. 78cs18∘D. 34cs18∘
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.在▵ABC中，a=2,b=2 3,A=π6，则B= ．
12.已知向量a=1, 3, b=2, 1，则向量a⋅b= ，向量a, b夹角的大小为 ．
13.如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为4，高为6，圆锥的高为3，则这个木质工艺品的体积为 ；表面积为 ．
14.如图，已知正方形ABCD边长为4，E为线段CD的中点，若F为线段BE上的动点，G为DF的中点，则2AG+DA的最小值为 ．
15.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1内的动点，且A1F//平面AD1E，有以下四个说法：
①A1F可能与B1E相交；
②A1F与D1E不可能平行；
③A1F与BE是异面直线；
④三棱锥F−AC1D1的体积为定值；
其中，所有正确说法的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知a=2, b=3，a与b的夹角为2π3．
(1)求a⋅b；
(2)求2a−b；
(3)当k为何值时，2a+b⊥ka−3b？
17.在▵ABC中，a2+c2−b2=ac．
(1)求∠B；
(2)若S▵ABC=6 3, a=4，求边b．
18.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，四边形ABB1A1为正方形．
(1)若▵ABC为等边三角形，BC=4，直接写出直三棱柱ABC−A1B1C1的体积．
(2)求证：A1C//平面AB1D；
(3)在第一问的条件下，直接写出异面直线AD与A1C所成角的余弦值．
19.在▵ABC中，2a−ccsB=bcsC．
(1)求∠B；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在，求▵ABC的面积．
条件①：a=8, b=5；
条件②：a=3, csA=1314；
条件③：asinB=3 32, b=7．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂直，平面PBA⊥平面ABCD，M是线段PQ上的一点，且DM//平面ACP.求证：
(1)平面ADQ//平面BCP；
(2)M是线段PQ的中点；
(3)PB⊥平面ABCD．
21.已知n∈N∗, n≥2, a=x1, x2, ⋯, xn为n维向量，若−1−1，
1+xixj−(xi+xj)=(1−xi)(1−xj)>0，xi+xj