北京市平谷区第五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份北京市平谷区第五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(−1,2)，b=(2,t)，且a//b，那么t等于( )
A. −4B. −1C. 1D. 4
2.在▵ABC中，若A=60∘，a= 3，b= 2，则B的大小为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 45∘或135∘
3.平面向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则(a+c)⋅b=( )
A. −5B. 5C. 1D. −1
4.在△ABC中，若a= 3，b=1，∠A=π3，则∠C=( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
5.下列关于向量的命题正确的是( )
A. 若a=b，则a//bB. 若a=b，则a=b或a=−b
C. 若a//b,b//c，则a//cD. 若a=b,b=c，则a=c
6.在▵ABC中，a=2bcsC，则▵ABC的形状一定为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED=( )
A. 3 1010B. 1010C. 510D. 515
8.已知圆锥的底面周长为4π，侧面积为8π，则该圆锥的体积为( )
A. 3π3B. 2 3π3C. 4 3π3D. 8 3π3
9.若向量a与b满足(a−2b)⋅b=2，且|b|=2，则a在b上的投影向量的模为( )
A. 2B. 4C. 5D. 8
10.设a，b为两个非零向量，则“a⋅b>0”是“存在实数λ>0，使得a=λb”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的个数为( )
①若acsA=bcsB，则△ABC一定为等腰三角形
②若AC⋅AB>0，则△ABC一定为锐角三角形
③若C=π3，c=2，则△ABC面积的最大值为 3
A. 0B. 1C. 2D. 3
12.设锐角▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A=π3,a= 3，则b2+c2+bc的取值范围为( )
A. (1,9]B. (3,9]C. (5,9]D. (7,9]
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
13.已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为 ．
14.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知a=2,b= 6,c=4，则csB= ．
15.在△ABC中，a=4,A=30 ∘,请给出一个b值 ，使该三角形有两解．
16.设单位向量a，b满足a⊥b.若c=a+2b，则c= ；若a+tb与ta+b的夹角为π3，且t>1，则实数t= ．
17.已知▵ABC中，AB=AC=4，，点D在线段BC上，且，则AB⋅AD的值为 ．
18.如图，▵AB1C1,▵B1B2C2,▵B2B3C3是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有5个不同的点P1,P2,P3,P4,P5，设mi=AC2⋅APi(i=1,2,⋯,5)，则m1+m2+…+m5= ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.已知e1=(k−1,1)，e2=(2,−k)，且e1⊥e2．
(1)求k的值；
(2)设a=e1+e2，b=4e1+e2，记a与b的夹角为θ，求csθ的值．
20.在▵ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=7,b=5,∠A=π3
(1)求sinB的值；
(2)求▵ABC的面积．
21.如图，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cs∠ADC=17．
(1)求sin∠BAD
(2)求BD，AC的长
22.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A、B，C的对边，且acsB= 3bsinA．
(1)求角B的值；
(2)记知b=2 7，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高ℎ．
条件①：a=4 3；
条件②：c=2 3；
条件③：csA=5 714．
(注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.)
23.在▵ABC中，b=2 6，csin2B=4 63sinA+B．
(1)求csB，
(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在，求▵ABC的周长．
条件①：c=10；
条件②：csA= 63；
条件③：▵ABC的面积为5 2
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.D
5.D
6.A
7.B
8.D
9.C
10.B
11.B
12.D
13.24π
14.78/0.875
15.b∈4,8
16. 5 ； ； ； ； ；；2+ 3
17.8
18.452
19.解：(1)根据题意，e1⊥e2，
所以2k−1−k=0，得k=2；
(2)由(1)知e1=(1,1)，e2=(2,−2)，
e1⋅e2=0,e1= 2,e2=2 2，
a⋅b=e1+e2⋅4e1+e2=4e12+e22+5e1⋅e2=16，
a= e1+e22= e12+2e1⋅e2+e22= 10，
b= 4e1+e22= 16e12+8e1⋅e2+e22=2 10，
所以csθ=a⋅bab=16 10×2 10=45．

20.解：(1)在▵ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=bsinAa=5sinπ37=5 314．
(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，得49=25+c2−5c，即c2−5c−24=0，
而c>0，解得c=8，所以▵ABC的面积S=12bcsinA=12×5×8sinπ3=10 3．

21.解：(1)在△ADC中，∵cs∠ADC=17，∠ADC为锐角，
∴sin∠ADC= 1−cs2∠ADC= 1−(17)2= 4849=4 37，
则sin∠BAD=sin(∠ADC−∠B)
=sin∠ADC·csB−cs∠ADC·sinB
=4 37×12−17× 32=3 314．
(2)在△ABD中，由正弦定理得：
BD=AB⋅sin∠BADsin∠ADB=8×3 3144 37=3，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC2=AB2+CB2−2AB·BCcsB
=82+52−2×8×5×12=49，
即AC=7．
22.π6；
ℎ=4 217．
23.解：(1)因为b=2 6，csin2B=4 63sinA+B，所以c⋅sin2B=23b⋅sinA+B，
由正弦定理得sinCsin2B=23sinBsinA+B，而三角形中有sinC=sinA+B，
所以sin2B=23sinB，再由二倍角公式得2sinBcsB=23sinB，且sinB≠0，
所以csB=13．
(2)若选条件①：c=10．
因为b=2 6，由(1)可知csB=13，所以由余弦定理可得：b2=a2+c2−2ac⋅csB，
即24=a2+100−20a⋅13，得3a2−20a+228=0，Δ=−202−4×3×228=−2336