2026年北京市西城区高三下学期二模数学试卷和答案

这是一份2026年北京市西城区高三下学期二模数学试卷和答案，共6页。
（1）已知集合 ? = {? ∣ ? = 4? + 1, ? ∈ ?}，集合 ? = {1,3,5,7}，则
(A) ? ⊆ ?(B) ? ⊆ ℂ??(C) ? ∩ ? = ?(D) ? ∪ ? ≠ ?
（2）已知复数 ? 满足 i ⋅ ? + 2i = 3，则 ? =
(A) 2 − 3i(B) −2 − 3i(C) 2 + 3i(D) −2 + 3i
双曲线 ?2 − ?2 = 1 的右顶点到其渐近线的距离为
3
(A) 1(B) √2(C) √3
2
(D) √2
2
在平面直角坐标系 ??? 中，角 ? 以 ?? 为始边，?(−1,2) 为 ? 终边上一点，则 tan 2? =
4
3
− 4
3
4
5
− 4
5
已知函数 ?(?) 在 ? 上单调递增，设 ?(?) = ?(−?) − ?(?)，则函数 ?(?) 是
奇函数，且在 ? 上单调递增
偶函数，且在 ? 上单调递增
奇函数，且在 ? 上单调递减
偶函数，且在 ? 上单调递减
在长方形 ???? 中，?? = 4，?? = 1，? 是边 ?? 上一点，则 ?⃗⃗⃗?⃗⃗→ + ?⃗⃗⃗?⃗⃗→ 的最小值为
(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4
设函数 ?(?) = (? − ?)ln (? + ?)，若不等式 ?(?) < 0 的解集为 ∅，则
(A) ? + ? > 1(B) ? + ? < 0(C) ?2 + ?2 ≥ 1
2
(D) ?2 + ?2 ≤ 1
4
已知正方体 ? 和平面 ?，则“正方体 ? 的 8 个顶点中存在 6 个到平面 ? 的距离相等”是“平面 ? 将正方体 ? 分成体积相等的两部分”的
充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
某工厂 2023 年的年产值为 ?，这一年工厂制定 10 年规划，欲通过技术革新、管理优化等手
段，促使工厂产值的年平均增长率为 ?%，以期 2033 年的年产值达到 2023 年的 4 倍. 实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期. 已知 2025 年的工厂年产值恰好达到规划中 2026 年的既定目标，如果从 2026 年起未来 8 年（含 2026 年）的年平均增长率与前 2 年实际年
平均增长率相同，那么 2033 年工厂的年产值为
(A) 6?(B) 8?(C) 9?(D) 12?
已知无穷数列 {??} 的各项均为正数，且对任意的正整数 ?，总存在正整数 ?, ?(? ≠ ?) 满足 ?? =
?? + ??，则
{??} 可能为常数列
{??} 可能为等差数列
{??} 不可能为等比数列
{??} 可能为递减数列
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
在 △ ??? 中，若 ? = 5，? = 6，? = 8，则最大角的余弦值为.
在 (?3 − 2)4 的展开式中，常数项为. （用数字作答）
?
已知向量 ? = (−1, √3)，单位向量 ? = (1,0)，向量 ? 满足 ∣ ? − ? ∣= 1，则 ? ⋅ ? 的一个取值为
.
设函数 ?(?) = {lg 2 ? − 1,0 < ? ≤ 4, 集合 ? = {? ∣∣ ?(?) ∣= ?}，其中 ? ≥ 0. 若集合 ? 中
? − 6,? > 4,
共有 3 个元素，则 ? 的取值范围是；若集合 ? 中共有 4 个元素，则这 4 个元素乘积的最小值为.
在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条
“利萨如曲线”. 曲线 ?: ?2 + 4?4 − 4?2 = 0 是一条常见的“利萨如曲线”. 给出以下四个结论：
① 若 ?(?, ?) 为曲线 ? 上一点，则 ∣ ? ∣≤ 1，∣ ? ∣≤ 1；
② 曲线 ? 上两点间距离的最大值为 √6；
③ 曲线 ? 所围成的区域的面积小于 3；
④ 过原点的直线与曲线 ? 最多有 3 个公共点.其中，所有正确结论的序号是.
三、解答题共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（16）（本小题 14 分）
如图，在三棱锥 ? − ??? 中，?? ⊥ 平面 ???，?? = ?? = 1，?? = √2，直线 ?? 与底
面 ??? 所成角的大小为 ?.
6
（I）求证：?? ⊥ 平面 ???；
（II）求平面 ??? 与平面 ??? 夹角的余弦值.
（17）（本小题 13 分）
已知函数 ?(?) = sin 2?sin (? + ?) + cs 2?sin ?，其中 ? ∈ (− ? , ?).
22 2
求函数 ?(?) 的最小正周期；
从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数 ?(?) 存在且唯一确定.
当 ? ∈ [0, ?] 时，求函数 ?(?) 的最大值和最小值.
2
条件①：?( ? ) = ?(?)；
124
条件②：函数 ?(?) 在 (? , ?) 上单调递减；
3
条件③：函数 ?(? + ?) 为偶函数.
6
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题 13 分）
随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动. 某市 2015 年到 2025
年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
120
102
108
86
92
75
62
68
65
48
48
29
30
32
32
35
22
25
26
14
20
16
140
120
次数/万人次
100
80
60
40
20
0
20152016201720182019202020212022202320242025
年份
未成年人 成年人
假设各年的参观情况互不影响.
在 2016 年到 2025 年这 10 年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；
从 2015 年至 2020 年这 6 年中任选 1 年，再从 2021 年至 2025 年这 5 年中任选 2
年，记选出的 3 年中该市年参观文博馆总人次超过 120 万的年数为 ?，求 ? 的分布列和数学期望；
记 2015 年至 2025 年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为 ?2 和 ?2、年参
12
观文博馆总人次的方差为 ?2，给出 ?2, ?2, ?2 的大小关系. （结论不要求证明）
3123
（19）（本小题 15 分）
已知椭圆 ?: ?2 + ?2 = 1(? > ? > 0) 的左焦点为 ?(−1,0)，点 ?(−1, 2√3) 在椭圆 ? 上.
?2?23
求椭圆 ? 的方程；
过点 ?(−3,0) 的直线与 ? 交于 ?, ? 两点，过点 ? 作 ?? 垂直直线 ?? 于点 ?，记 △
??? 和 △ ??? 的面积分别为 ?△??? 和 ?△???，求证：?△??? = ?△???.
（20）（本小题 15 分）
已知函数 ?(?) = 1+ln ?，其中 ? > 0.
??
（I）当 ? = 1 时，求曲线 ? = ?(?) 在点 (1, ?(1)) 处的切线方程；
（II）对于 ? ∈ (0, +∞)，讨论 ?(?) 与 ?(1) 的大小；
?
当 0 < ? < 1 时，证明：方程 ?(?) = 1 存在两个根 ?1, ?2，且 ?1?2 > 1.
（21）（本小题 15 分）
给定正整数 ?(? ≥ 3)，记集合
?? = {(?1, ?2, … , ??) ∣ ?? = 0 或 1(? = 1,2, … , ?), 且 ?2 + ?2 + ⋯ + ?2 ≠ 0}.
12?
对于由 ?? 中的三个元素组成的子集 {(?1, ?2, … , ??), (?1, ?2, … , ??), (?1, ?2, … , ??)}，若满足对于任意 ? ∈ {1,2, … , ?}，?? + ?? + ?? 均为偶数，则称该三元子集具有性质 ?.
在 ?3 的子集中，写出一个具有性质 ? 的三元子集；（结论不要求证明）
证明：在 ?3 的子集中，不可能选出 10 个两两交集为空集，且具有性质 ? 的三元子集；
在 ?2026 的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质 ? 的三元子集？说明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（ 1 ）D
（ 2 ）B
（ 3 ）C
（ 4 ）A
（ 5 ）C
（ 6 ）B
（ 7 ）C
（ 8 ）D
（ 9 ）B
（10）D
（11）  1
20
（12） 32
（13） 0 （答案不唯一）（14） (1, 2)140
（15）①③④
注：（14）题第一空 3 分，第二空 2 分；（15）题全部选对得 5 分，有两个选对且无错选得 4 分，有一个
选对且无错选得 3 分，其他得 0 分.
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为 PA  平面 ABC ，
所以 PA  BC ， PA  AC ， AC 为 PC 在平面 ABC 内的射影，
所以直线 PC 与底面 ABC 所成角为PCA ,即PCA  π2 分
6
3
在Rt△PAC 中，由 PA 1 ， PCA  π ，得 AC ．
6
2
在△ABC 中，又因为 AB  1 ， BC ，
所以 AC 2  AB2  BC 2 ，即 BC  AB ．4 分
又因为 BC  PA ， PAAB  A ，
所以 BC  平面 PAB ．6 分
（Ⅱ）在平面 PAB 内，过 B 作 Bz //PA . 由（Ⅰ）得 BA, BC, Bz 两两垂直.
如图建立空间直角坐标系 B  xyz ，则

A(1, 0, 0) ，B(0, 0, 0) ，C(0, 2, 0) ，P(1, 0, 1) ，BC  (0, 2, 0) ，



BP  (1, 0, 1) ， AP  (0, 0, 1) ， AC  (1, 2, 0) ．8 分
设平面 PAC 的法向量为 m  (x1, y1, z1 ) ，

m 
z  0,
则

AP  0,

即 1
x
 2 y
 0.

m  AC  0,
11
2
令 y1  1 ，则 x1 ．于是 m  ( 2, 1, 0) ．设平面 PBC 的法向量为 n  (x2 , y2 , z2 ) ，


n  0,
 2 y
 0,
则BC即2

x  z  0.

n  BP  0,
 22
令 x2  1，则 z2  1 ．于是 n  (1, 0,  1) ．12 分
所以csm, n 
m  n 3 ，
| m || n |3
即平面 PAC 与平面 PBC 夹角的余弦值为 3 .14 分
3
（17）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x)  sin 2x sin( π  )  cs 2x sin
2
 sin 2x cs  cs 2x sin 
 sin(2x  ) ，4 分
所以 f (x) 的最小正周期T  2π  π .6 分
2
选择条件① ：

ππ
由 f ()f () ，得sin(
124
3
ππ
π  )  sin( π
62
 ) ，
所以sin cs  cs sin  cs ，即tan .
663
结合 ( π , π) ，得  π ，即 f (x)  sin(2x  π)9 分
2 2
由
[0, ] ，得2x  [,] .
x π
66
ππ 7π

2666
, )
结合函数 y  sin x 在( π π
2 2
π 3π
上单调递增，在(,) 上单调递减，
22
得当2x  π  π ，即 x  π 时， f (x)
 1 ；
626
max
当 2x  π  7π ，即 x  π 时， f (x) 1 .13 分
662
选择条件③ ：
min2
由 g(x)  f (x  π)  sin(2x  π  ) 为偶函数，得 g (0)  1 或 g (0)   1 ，
63
即sin( π  )  1 ，结合 ( π , π) ，得  π .
32 26
故 f (x)  sin(2x  π) .9 分
6
以下解答过程与选择条件①相同，略.
（18）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）设事件“这一年与其前一年相比，该市未成年人参观次数出现增长”为 A ，
由图可知，在2016 年到2025 年这10 年中，有8 年的未成年人参观次数比上一年的
未成年人参观次数出现增长，故 P( A)  8  4 .4 分
105
（Ⅱ）由题意， X 的取值集合为{0, 1, 2, 3}，5 分
由图知：在2015 年至2020 年这6 年中，只有2019 年和2020 年这2 年的参观总人次超过120 万；
在余下的5 年中，只有2024 年和2025 年这2 年的参观总人次超过120 万，
4C212C2 +4C1 C11
所以 P( X  0)  3  ；P( X  1)  32 3  ；
5
5
6C256C22
2C1 C1 +4C242C21
P( X  2)  2 32 ； P( X  3)  2 .
5
5
6C2156C230
X
0
1
2
3
P
1
5
1
2
4
15
1
30
故变量 X 的分布列为：
…8 分
所以 E( X )  0  1  1 1  2  4  3 1  17 .10 分
52153015
123
s2  s2  s2 .13 分
（19）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）由题意，得c  1 ，且 1
a2
 4 3b2
 1 ， a2  b2  c2 ，3 分
2
解得 a  3 ， b .
x2y2
所以椭圆C 的方程为
 1 .5 分
32
由题意，直线 AB 的斜率存在，故设 AB：y  k (x  3)6 分
设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，

 x2  y2 
由 32
1， 得(2  3k 2 )x2  18k 2 x  27k 2  6  0 ，
 y  k (x  3)
故Δ  324k 4  4(2  3k 2 )(27k 2  6)  0 ，即
3  k 
3 （由题意 k  0 ）.
18k 2
且 x1  x2  2  3k 2 ,
x1x2 
27k 2  6
.
2  3k 2
33
…9 分
由 AP  MF 和 MF // y 轴，得 P(1, y1 ) ，
所以直线 BP 的方程为 y  y
 y2  y1 (x  1) ，即( y
 y )x  (x
 1) y  y
 x y
 0 .
1
x2  1
21222 1
点 N 到直线 BP 的距离 d1
点 F 到直线 BP 的距离 d2


| 2 y2  3y1  x2 y1 |
( y2  y1 )2  (x2  1)2
( y2  y1 )2  (x2  1)2
| y1  x2 y1 |
.
.12 分
因为(2 y2  3y1  x2 y1)  ( y1  x2 y1)  2 y2  4 y1  2x2 y1
 2k (x2  3)  4k(x1  3)  2x2k(x1  3)
 4k(x1  x2 )  2kx1x2  6k
18k 2
 4k  2  3k 2  2k 
27k 2  6
2  3k 2
 6k
 0 ,
所以 d1  d2 .14 分
又因为 S 1 | BP | d ， S 1 | BP | d ，
△BPN21△BPF22
所以 S△BPN  S△BPF .15 分
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）由题意， f (x)  1  ln x ，则 f (x)   ln x .2 分
xx2
所以 f (1)  1 ， f (1)  0 .
所以曲线 y  f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为 y  1 .4 分
（Ⅱ）设 g(x)  f (x)  f ( 1)  1  ln x  x(1  ln x) ， x (0,  ) ，5 分
xaxa
1 ln x
(x2 1) ln x
则 g (x)  (
ax2
 ln x) 
.
ax2
当 x  (0, 1) 时，由 x2  1  0 ， ln x  0 ，得 g(x)  0 ； 当 x (1,  ) 时，由 x2  1  0 ， ln x  0 ，得 g(x)  0 ，
所以当 x (0,  ) 时， g(x)≥0 （当且仅当 x  1 时取等号），
即 g(x) 在(0,  ) 上单调递增7 分
由 g(1)  0 ，得当0  x  1时， g(x)  g(1)  0 ，即 f (x)  f ( 1 ) ；
x
同理，得当 x  1 时， f (x)  f ( 1 ) .
x
综 上 ， 当
x  (0, 1)
时， f (x) 1
f ()
x
；当 x  1 时， f (x)  f ( 1 )
x
；当 x (1,  ) 时，
f (x)  f ( 1 ) .9 分
x
求导，得 f (x)   ln x .
ax2
令 f (x)  0 ，解得 x  1 .
当 x 变化时， f (x) 与 f (x) 的变化情况如下表：
所以函数 f (x) 在(0, 1) 上单调递增，在(1, ) 上单调递减.11 分
下面证明结论：当 x  1 时， ln x  x  1 .（  ）
设 m(x)  x  1  ln x ， x  1 ，则 m(x)  x 1  0 .故m(x) 在(1,  ) 单调递增.
x
所以当 x  1 时， m(x)  m(1)  0 ，即ln x  x  1 .
因为 f (1)  0  1 ， f (1)  1  1， f ( 2 )  a (1  ln 2  2 ln 1 )  a [2  2( 1 1)]  1（利用结论（  ））.
eaa22a2a
所以x1  (0, 1), x2 (1,  ) ，使得 f (x1)  f (x2 )  1 .13 分
由（Ⅱ），知当 x (1,  ) 时， f (x)  f ( 1 ) .
x
x
x
所以 f (x )  f (x )  f ( 1 ) ，即 f (x )  f ( 1 ) .
121
22
x
(0, 1)
1
(1, )
f (x)

0

f (x)
↗
极大值
↘
又因为 x1 (0, 1),
1 (0, 1) ，函数 f (x) 在(0, 1) 上单调递增，
x2
1
x
所以 x1 
2
，即 x1x2  1 .15 分
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{(1, 0, 0),(0,1, 0),(1,1, 0)}3 分
由题意， S 中共有 25  1  31 个元素， 故最多能选出[31]  10 个两两交集为空集的三元子
53
集5 分
将 S5 中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，第一个数字称为第一个分量，以此类推）， 知其和等于 24  16 ； 同理， 所有第二个分量、第三个的分量、…… 的和均等于
16 .7 分
假设能选出10 个符合题意的三元子集，
由题意，这 10 个三元子集覆盖了 S5 中的 30 个元素，且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数.
故 S5 中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为(0, 0, 0, 0, 0) .
这与(0, 0, 0, 0, 0)  S5 矛盾.
所以在 S5 的子集中，不可能选出10 个两两交集为空集，且具有性质 的三元子集.
…9 分
记tn 
2n  1
3
，其中 n 为偶数.不妨设 n  2 时 Sn 有意义.
当 n  2 时， S2 的三元子集只有一个{(0, 1),(1, 0), (1, 1)} ，且具有性质 .…… 10 分所以在 S2 中最多能选出t2  1 个两两交集为空集，且具有性质 的三元子集.
记 S2 中具有性质 的三元子集为{(a1, a2 ), (b1, b2 ), (c1, c2 )} .
24  1
当 n  4 时， S4 中有24  1 个元素，故最多有
3
 5 个两两交集为空集的三元子集.
因 为 S4 的 子 集 {(0,1, a1 , a2 ), (1, 0, b1 , b2 ), (1,1, c1 , c2 )} ， {(1, 0, a1 , a2 ), (1,1, b1 , b2 ), (0,1, c1 , c2 )} ，
{(1,1, a1 , a2 ), (0,1, b1 , b2 ), (1, 0, c1 , c2 )} ，{(0, 0, a1 , a2 ), (0, 0, b1 , b2 ), (0, 0, c1 , c2 )} 和
{(1, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0), (1,1, 0, 0)} 为两两交集为空集，且具有性质 的三元子集（共5 个），

24 1
所以在 S4 的子集中，最多能选出 t4  5 个两两交集为空集，且具有性质 的三元子
3
集.12 分
设{(d1 , d2 , d3 , d4 ), (e1 , e2 , e3 , e4 ), ( f1 , f2 , f3 , f4 )} 为 S4 中上述具有性质 的三元子集中的任意一个，
6
同理，得 S6 中有2
 1 元素，即最多能有
26 1
3
个两两交集为空集的三元子集，
且对于 S6 ，可以构造出 4 个两两交集为空集，且具有性质 的三元子集，即
{(0,1, d1 , d2 , d3 , d4 ), (1, 0, e1 , e2 , e3 , e4 ), (1,1, f1 , f2 , f3 , f4 )} ，
{(1, 0, d1 , d2 , d3 , d4 ), (1,1, e1 , e2 , e3 , e4 ), (0,1, f1 , f2 , f3 , f4 )} ,
{(1,1, d1 , d2 , d3 , d4 ), (0,1, e1 , e2 , e3 , e4 ), (1, 0, f1 , f2 , f3 , f4 )} ,
{(0, 0, d1 , d2 , d3 , d4 ), (0, 0, e1 , e2 , e3 , e4 ), (0, 0, f1, f2 , f3 , f4 )} .
又因为{(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0, 0, 0), (1,1, 0, 0, 0, 0)} 为 S6 中具有性质 的三元子集，且与上述集合的
交集为空集，
26 1
所以在 S6 的子集中，最多能选出4t4  1  t6 个两两交集为空集，且具有性质 的三元子集.
3
以此类推，得在 S2026 的子集中，最多能选出4t2024  1 
22026 1
3
 t2026 个两两交集为空集，且具有性
质 的三元子集.15 分