2026届北京海淀人大附高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

这是一份2026届北京海淀人大附高三第二次诊断性检测数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了设复数满足为虚数单位)，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．B．
C．D．
2．给出个数 ，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )
A．；B．；
C．；D．；
3．若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
5．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（ ）
A．若是等差数列，则一定有B．若是等比数列，则一定有
C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有
7．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为
A．B．C．2D．
8．设复数满足为虚数单位)，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）
A．B．C．D．
11．已知是虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．2D．
12．点为的三条中线的交点，且，，则的值为( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________.
14．已知实数x，y满足，则的最大值为____________.
15．设为锐角，若，则的值为____________．
16．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：
（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？
（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？
附：
18．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．

（1）证明：AP∥平面EBD；
（2）证明：BE⊥PC．
19．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.
20．（12分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
21．（12分）已知函数，．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若，当时，函数，求函数的最小值．
22．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.
【详解】
由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥
半个圆柱体积为：
四棱锥体积为：
原几何体体积为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.
2、A
【解析】
要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.
【详解】
因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.
【点睛】
本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.
3、D
【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；
【详解】
，
对应的点，
对应的点位于复平面的第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
4、B
【解析】
先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.
【详解】
为真命题；命题是假命题，比如当,
或时，则 不成立.
则，，均为假.
故选:B
【点睛】
本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.
5、D
【解析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【详解】
解：因为，，则，且，
所以，，
又,
即,则，
即，
故选：D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
6、C
【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.
【详解】
A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；
B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；
C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；
D：当 时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.
故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.
7、B
【解析】
求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.
【详解】
设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故 ，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.
【点睛】
本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
8、B
【解析】
易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
9、B
【解析】
设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】
设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，
所以，
则
，
当时，，
当时，，
当且仅当时取等号，此时，
，
点在以为焦点的椭圆上，，
由椭圆的定义得，
所以椭圆的离心率，故选B.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
10、C
【解析】
根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，并且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD ，，再求得其它的棱长比较下结论.
【详解】
如图所示：
由三视图得：该几何体是一个三棱锥，且平面SAC 平面ABC，，
过S作，连接BD，则 ，
所以 ， ，，，
该几何体中的最长棱长为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
11、A
【解析】
根据复数的基本运算求解即可.
【详解】
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
12、B
【解析】
可画出图形，根据条件可得，从而可解出，然后根据，进行数量积的运算即可求出．
【详解】
如图：
点为的三条中线的交点
，
由可得：，
又因，，
.
故选：B
【点睛】
本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值.
【详解】
由等比数列的性质可得，，
由于与的等差中项为，则，则，，
，，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
14、1
【解析】
直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．
【详解】
由题意，
又，∴，即，
∴的最大值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
15、
【解析】
∵为锐角，，∴，
∴，，
故.
16、
【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．
【详解】
解：如图，
直线过定点，，
而抛物线的焦点为，，
弦的中点到准线的距离为，
则弦的中点到直线的距离等于．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【解析】
（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；
（2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.
【详解】
解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，
由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，
估计购买“小爱同学”的女性有人.
估计购买“天猫精灵”的女性有人.
则，
∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.
（2）由题可知， ，
∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【点睛】
本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）连结AC交BD于点O，连结OE，利用三角形中位线可得AP∥OE，从而可证AP∥平面EBD；
（2）先证明BD⊥平面PCD，再证明PC⊥平面BDE，从而可证BE⊥PC．
【详解】
证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE
因为四边形ABCD为平行四边形
∴O为AC中点，
又E为PC中点，
故AP∥OE，
又AP平面EBD，OE平面EBD
所以AP∥平面EBD ；
（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点
所以PC⊥DE
因为平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD平面ABCD＝CD，
又BD平面ABCD，BD⊥CD
∴BD⊥平面PCD
又PC平面PCD，故PC⊥BD
又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE
故PC⊥平面BDE
又BE平面BDE，
所以BE⊥PC．
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.
19、（1）当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，确定单调区间；
（2）题意说明,利用导数求出的最小值，由（1）可得的最小值，从而得出结论．
【详解】
解：（1）定义域为
当时，即在上增；
当时，即得得
综上所述，当时，在上增；
当时，在上减，在上增
（2）由题
在上增
由（1）当时，在上增，所以此时无最小值；
当时，在上减，在上增，
即，解得
综上
【点睛】
本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化为，求出两函数的最小值后可得结论．
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；
（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证．
【详解】
（1）∵，分别是，的中点
∴
∵平面，平面
∴平面.
（2）∵为正三角形，且D是的中点
∴
∵平面平面，且平面平面，平面
∴平面
∵平面
∴
∵且
∴
∵，平面，且
∴平面.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．
21、（1）见解析 （2）的最小值为
【解析】
（1）由题可得函数的定义域为，
，
当时，，令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，可得；令，可得或，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增．
（2）方法一：当时，，，
设，，则，
所以函数在上单调递减，所以，当且仅当时取等号．当时，设，则，所以，
设，，则，
所以函数在上单调递减，且，，
所以存在，使得，所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，所以，当且仅当时取等号．所以当时，函数取得最小值，且，
故函数的最小值为．
方法二：当时，，，
则，
令，，则，
所以函数在上单调递增，
又，所以存在，使得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，所以函数在上单调递减，
所以函数的最小值为．
22、（1）；（2）7.
【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．
详解：（1）∵ ，
∴，
∵为锐角，
∴；
（2）由余弦定理得：
.
点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
“小爱同学”智能音箱
“天猫精灵”智能音箱
合计
男
45
60
105
女
55
40
95
合计
100
100
200
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828